-
Iemand vroeg mij om wat intuitie waarom
-
a tot de macht min b gelijk is aan 1 gedeeld door a tot de macht b.
-
En voor dat ik je de intuïtie geef,
-
moet je je realiseren dat het eigenlijk een definitie is.
-
Ik weet het niet.
-
De uitvinder van de wiskunde was niet één persoon.
-
Het was meer een soort conventie die opkwam.
-
Maar ze definiëerden dit,
-
en deden dat om de volgende redenen.
-
Wat ik je ga laten zien is één van de redenen,
-
en we zullen merken dat het een goede definitie is,
-
omdat zodra je de exponent regels leert, alle andere exponent regels voor negatieve exponenten hieruit volgen.
-
en ook die voor het verheffen tot de macht nul.
-
Dus laten we eens beginnen met de positieve exponenten.
-
Die zijn tamelijk intuïtief, denk ik.
-
De positieve exponenten:
a tot de macht 1, a kwadraat,
-
a tot de macht 3, a tot de macht 4.
-
Wat is a tot de macht 1?
a tot de macht 1, hadden we afgesproken, is a
-
En wat hebben we gedaan om een kwadraat te maken?
-
We hebben vermenigvuldigd met a, toch?
-
a kwadraat is gewoon a keer a.
-
En wat hebben we gedaan om a tot de derde macht te berekenen?
-
We hebben opnieuw vermenigvuldigd met a.
-
En wat hebben we toen gedaan om a tot de vierde macht te berekenen?
-
We hebben opnieuw vermenigvuldigd met a.
-
Als we nu de andere kant opgaan, en de exponent steeds kleiner maken, wat moeten we dan doen?
-
Dan gaan we delen!
(ofwel vermnigvuldigen met 1 gedeeld door a)
-
En voor de volgende stap,
delen we opnieuw door a.
-
En om van a kwadraat naar a te gaan,
moeten we dus door a delen.
-
Laten we nu proberen om erachter te komen wat
a tot de macht nul is.
-
Dit is de eerste moeilijke:
-
a tot de macht nul.
-
Stel je bent de uitvinder, de stichtende moeder van de wiskunde,
-
en je moet definiëren wat een tot de macht nul is.
-
Misschien is het zeventien,
of misschien is het wel pi.
-
Ik weet het niet.
-
Jij mag beslissen wat een tot de macht nul is.
-
Maar zou het niet aardig zijn om het patroon te behouden?
-
Dat elke keer als je de exponent verlaagt,
je gewoon door a deelt?
-
Dus als we van a tot de macht 1
gaan naar a tot de macht 0,
-
zou het niet mooi zijn als we gewoon delen door a?
-
Laten we dat eens doen.
-
Dus we gaan van a tot de macht 1,
die is gewoon a,
-
en dan delen door a,
-
We gaan het gewoon proberen,
we gaan delen door a.
-
Wat is a gedeeld door a?
-
Nou, dat is gewoon 1.
-
Aha, dat is waar de definitie--
-
dus dat is een intuïtie achter waarom
iets tot de nulde macht gelijk aan één is.
-
Omdat wanneer je een getal neemt,
-
en het deelt door hetzelfde getal,
je gewoon 1 krijgt.
-
Klinkt vrij redelijk.
-
maar nu laten we gaan kijken in het negatieve domein.
-
Dus wat zou a tot de macht min 1 moeten zijn?
-
Nogmaals, het is mooi als we
dit patroon behouden kunnen,
-
waarbij we elke keer als we de exponent verlagen,
we gewoon delen door a.
-
Laten we opnieuw delen door a,
(of vermenigvuldigen met 1 gedeeld door a)
-
Dus we nemen a tot de macht 0
en delen het door a.
-
a tot de macht nul is 1,
wat krijgen we dan als we 1 delen door a?
-
Het is:
1 gedeeld door a
-
Nu, laten we het nog een keer doen,
-
en dan denk ik dat je het patroon in de gaten krijgt.
-
Nou, waarschijnlijk heb je het al in de gaten.
-
Wat is
a tot de macht de min 2?
-
het zou dom zijn om nu van patroon te veranderen.
-
Elke keer als we de exponent verlagen,
delen we door a.
-
Dus om van a tot de macht -1
naar a tot de macht -2 te gaan,
-
Gaan we gewoon weer delen door a.
-
En wat krijgen we nu?
-
Als je 1 gedeeld door a neemt, en dat deelt door a,
dan krijg je 1 gedeeld door a kwadraat.
-
En je zou dit patroon kunnen herhalen, helemaal naar links,
-
tot aan a tot de macht min b, wat gelijk is aan
1 gedeeld door a tot de macht b.
-
Hopelijk, gaf je dat een beetje intuïtie over de vraag waarom--
-
Nou, ten eerste, je weet, het grote mysterie is,
-
iets tot de nulde macht, waarom is dat gelijk aan 1?
-
Ten eerste, houd in gedachten dat gewoon een definitie is.
-
Iemand besloot dat het gelijk moet zijn aan 1,
maar met een goede reden.
-
En de goede reden was
om dit patroon aan te houden.
-
En dat is dezelfde reden waarom op deze manier
negatieve exponenten gedefinieerd zijn.
-
En wat hier extra cool aan is:
-
Niet alleen wordt het patroon behouden:
Als je exponenten verlaagt, deel dan door a,
-
En als je exponenten verhoogt,
vermenigvuldig dan met a,
-
Maar zoals je in de exponentregels video's zult zien,
blijven alle exponentregels gelden.
-
Alle exponentregels zijn in overeenstemming met
deze definitie van iets tot de nulde macht
-
en deze definitie van iets tot de de negatieve macht.
-
Hopelijk bracht dit je niet in verwarring
-
en gaf het je een klein beetje intuïtie en verhelderde het
iets wat, eerlijk gezegd,
-
de eerste keer dat je leert, heel duister lijkt.
