Negative Exponent Intuition

Intuition on why a^-b = 1/(a^b) (and why a^0 =1)

Többen kérdezték tőlem, hogy miért ez a szabály, hogy az

'a' a mínusz 'b' hatványon egyenlő 1 per 'a' a 'b' hatványon.

És mielőtt ihletet adnék a miértre,

szeretném ha tudnátok, hogy ez valójában csak egy definíció.

Nem is tudom.

A matematikát nem egy ember találta fel.

Egy amolyan egyezményként jött létre.

De hogy ez miért így van,

miért így definiálták, azt mindjárt megmutatom.

Amit mutatni fogok az az okok egyike,

és látni fogjuk hogy ez egy jó definíció,

mert ahogy tanuljuk a kitevők szabályait, minden más szabály a kitevőkről következetes marad a negatív kitevőkkel kapcsolatban

és mikor valamit a nulladik hatványra emelünk.

Nézzük akkor a pozitív kitevőket.

Úgy gondolom ezek elég intuitívek.

Tehát a pozitív kitevők, 'a' az elsőn, 'a' a négyzeten,

'a' a köbön, 'a' a negyediken.

Mennyi 'a' az elsőn? Ez 'a' lesz,

majd 'a' a négyzeten, mit is csináltunk?

Szoroztuk 'a'-val, igaz?

'a' a négyzeten nem más mint 'a' szorozva 'a'.

És mennyi lesz az 'a' a köbön?

Szorozzuk újból.

És 'a' a negyediken?

Újból megszorozzuk 'a'-val.

Vagy a másik irány, mikor csökkentjük a kitevőt. Mit is teszünk?

Szorzunk 1/a-val, vagy osztunk 'a'-val.

És hasonlóan, csökkentjük újra, osztunk 'a'-val.

És hogy 'a' a négyzetenből 'a' az elsőnt kapjunk, osztunk 'a'-val.

Nézzük tovább ezt a folyamatot, hogy rájöjjünk mennyi az 'a' a nulladikon.

Ez az első nehezebb.

Tehát 'a' a nulladikon.

Mondjuk hogy mi vagyunk a matematika atyjai,

és definiálnunk kell az 'a' a nulladikont.

És persze, ez lehet hogy 17, lehet hogy a pi.

Nem tudjuk.

Rajtunk áll hogy meghatározzuk, mennyi 'a' a nulladikon.

De milyen szép is lenne, ha 'a' a nulladikon megőrizné ezt a rendszert, nem?

Hogy minden alkalommal mikor csökkentjük a kitevőt, osztunk 'a'-val, igaz?

Tehát mikor 'a' az elsőről megyünk az 'a' a nulladikonra,

nem lenne szép, ha ott is 'a'-val osztanánk?

Csináljuk hát ezt.

Tehát mikor 'a' az elsőnről, ami 'a',

és osztunk 'a'-val, igaz?

Tehát csak osztunk 'a'-val és ennyi.

Mennyi lesz 'a' osztva 'a'-val?

Nos, ez 1.

Tehát emiatt --

vagyis ez az egyik magyarázata annak, amiért a számok nulladik hatványa 1.

Mert ha vesszük ezt a számot

és osztjuk önmagával egyszer, egyet kapunk.

Ez tehát elég logikus,

de most nézzük a negatív tartományt.

Mennyinek kellene lennie az 'a' a mínusz elsőnnek?

Nos, megint csak jó lenne megtartani a folyamatot,

mely szerint minden egyes alkalommal mikor csökkentjük a kitevők osztunk 'a'-val.

Tegyük most is ezt, tehát 1/a.

Vagyis vesszük az 'a' nulladik hatványát majd osztjuk 'a'-val.

'a' a nulladikon az 1, és mennyi 1 osztva 'a'-val?

Ez 1 per 'a'.

Na csináljuk végig mégegyszer,

és azt hiszem érthetővé válik a rendszer.

Vagy lehet már érthető is.

Mennyi 'a' a mínusz másodikon?

Újra csak azt szeretnénk-- butaság lenne most változtatni ezen a módszeren.

Minden alkalommal mikor csökkentjük a kitevőt, osztunk 'a'-val.

Tehát hogy 'a' a mínusz elsőnből eljussunk az 'a' a mínusz másodikonig,

újra csak elosztjuk 'a'-val.

És mennyit kapunk?

Ha vesszük az 1/a-t és osztjuk 'a'-val, amit kapunk 1 per 'a' a négyzeten.

És folytathatjuk ezt a folyamatot tovább balra,

és azt fogjuk kapni, hogy 'a' a mínusz 'b'-n egyenlő 1 per 'a' a 'b' kitevőn.

Remélhetőleg ez választ ad arra a

nagy rejtélyre, hogy miért is lesz

egy szám nulladik hatványa 1.

Először is tartsuk észben hogy ez csak egy definíció.

Valaki úgy döntött hogy eggyel kellene egyenlőnek lennie, de jó oka volt rá.

A jó ok pedig az volt, hogy ezt a folyamatot akarták továbbvinni.

És ez az oka annak is, hogy negatív kitevőket a következőképpen definiáljuk.

És ami a legszebb ebben a dologban

hogy nem csak maga a rendszer marad meg mikor csökkentjük a kitevőket vagyis osztunk 'a'-val,

illetve mikor növeljük a kitevőket, szorzunk 'a'-val,

de ahogy látni fogjuk a videóban a kitevők szabályairól, mindegyik szabály a kitevőkkel kapcsolatban változatlan marad.

Minden szabály a kitevőkről következetes marad a nulladik hatvány definíciójával

valamint a negatív hatványokkal is.

Remélem nem volt összezavaró

és érthetőbbé tudtam tenni azt,

ami tényleg az elején egy kicsit misztikusnak tűnhet.