Integral: Trigonometriyi kullanarak yerine koyma 3 (Uzun Soru)

Trigonometriyi ve trigonometrik birimleri kullanarak yerine koyma tekniği ile integrali çözme üzerine bir örnek

elimde 6x-x^2-5

belirsiz integrali

var

bunun basit bir integral olmadığı da belli

elimde ifade ve türevi yok

bu yüzden u ile yerine koyma tekniği işe yaramaz

videonun başlığından da anlayacağınız gibi

daha hoş bir şey yapacağız

yerine koyma tekniğini trigonometriyi kullanarak yapacağız

ama bu integral trigonometri ile yerine koyma

işlemine pek elverişli durmuyor

trigonometri kullanarak yerine koyma tekniğini

karekök içinde 1-x^2 veya yine karekök içinde x^2-1

veya kök içinde x^2+1 varken kullanıyorum

bu tip değerler varken trigonometriyi yerine koyma

tekniğinide kullanmayı tercih ediyorum

ama bu integral henüz ona yatkın görünmüyor

elimde karekök var

elimde de x^2 de var ama bu şekile benzemiyor

bakalım onu şuradakilere çevirebilir miyiz

bunları burdan sileyim

bakalım kareyi tamamlamayabilir miyiz

deneyelim

bunu yeniden yazayım

eğer kareyi tamamlama size tanıdık gelmiyorsa,

onun hakkında yığınla video var

-5 - burada boş yere ihtiyacım var -

eksi x^2

bu 6x ama dışarıda eksi var

o zaman eksi 6x olacak, değil mi?

eksi ve eksi 6x'i pozitif yapar

bunu tam kareye çevirmek istiyorum

bu denkleme kaç eklersem burayı -6 yapar?

-3 eklersem

bu sayınn yarısını alıyorsunuz, -3'e eşit oluyor

ve karesini alıyorsunuz

sonra buraya 9 yazıyorsunuz

kafama göre 9'lar ekleyemem

aslında buraya 9 eklemedim

ne yaptım?

9'u çıkardım

oraya 9'u koydum ama aslında -9 olacak çünkü

dışarıda negatif işareti var

buraya koyduğum 9'u sıfırlaması için

buraya -9'u koyuyorum

9 eklemeliyim

9'u ekleyeyim

+9'u da buraya ekleyeyim

eğer şimdi yaptığımı kavrayamadıysanız, bunu dışarıya

çıkarıp çarpın, sonda da dx var

elimizde x^2 + 6x olacak-burada gördüğünüz terimler-

daha sonra -9 ve buradaki +9 olacak

ve bu ikisi birbirini götürecek, en sonunda da

önceden elimizde olanı bulmuş olacağız

bunun farkına varmanız için denklemi değiştirmedim

bundan dolayı bu 9 negatif

0 olması içim 9 ekledim

bunu istediğim biçime gelmesi için yaptım

buradaki sayı 4 olur ve buradaki terim kaç

olur?

bu x eksi 3'ün karesi

x eksi 3'ün karesi

burada biraz cebir yapıyorum, belirsiz integral

integrale dönüştü, karekök içinde 4-(x-3)^2 dx

integrali

istediğim biçime dönüşmeye başladı ama hala

burda 1'in olmasını diliyorum

o zaman 4'ü dışarı atalım

bu o zaman-renkleri değiştiriyorum

karekök içinde 4 çarpı 1 eksi (x-3)^2 bölü 4'e eşit

olur

sadece 4'ü dışarı çıkardım

bunu tekrar çarparsam, buna tekrar geri döneceğim

ve burda dx var

bu şimdi istedğim biçime dönüşmeye başladı

daha da sadeleştireyim

eğer 4'ü çıkarırsam, 2 çarpı kök içinde

1 eksi x-3 bölü 2'nin karesi dx

olur

1 eksi x-3/2 nin karesi dx

bu 2 nereden geldi

eğer iki tarafın da karesini alırsam, x eksi 3 bölü ikinin

karesini alırsam

x eksi 3 bölü 4'e eşit olur

buraya kadar hiç kalkulus yapmadım

bu belirsiz integrali şu belirsiz integral

gibi yazdım

birbirlerine eşitler

ama bu birdenbire bana tanıdık gelen bir

biçime dönüştü

son videoda cos^2 tetanın 1 eksi sin^2

teta'ya eşit olduğunu göstermiştim

bunu diğer türlü de yapabilrsiniz

sin^2 eşittir 1 eksi

cos^2 de diyebilirsiniz

hiçbir fark yok

ikisi de işinize yarayacaktır

ancak bu şu şekilde çok kötü görünüyor

eğer bu sin^2 teta'ya eşit dersem

bu direkt şu ifadeye benzer

o zaman bu yerine koyma işlemini yapayım

x-3/2'nin karesinin sin^2 tetaya eşit

olduğunu yazayım

eğer ki tarafın da karesini alırsam

x-3/2 eşittir sin tetaya eşittir derim

bunun şimdi neye dönüştüğünü biliyoruz

teta'yı bulmak için yerine koyma işlemini yapacağız

şimdilik teta'yı x cinsinden çözelim

x cinsinden teta'yı bulmak için

iki tarafın da ark sinüsünü alabiliriz

teta eşittir arcsin'e eşittir diyeceğiz çünkü

sinüsün ark sinüsü teta'ya eşittir

teta arc sin (x-3/2) ye eşittir

gayet iyi

yerine koyma işlemini yapabilmemiz için dx'i bulmamız lazım

teta cinsinden x'i

bulacağız

bunu yapayım

eğer denklemin iki tarafının da 2 ile çarparsak

x-3 eşittir sin teta veya

x eşittir 2sin teta + 3 deriz

teta'ya göre iki tarafın da türevini alırsak

dx/dteta eşittir 2 cos teta buluruz, 3'ün türevi

0 zaten

veya iki tarafı da d teta ile çarparız ve dx eşittir

2cos teta d teta'yı buluruz

en baştaki belirsiz integralimizde yerine koyma

işlemini yapmaya hazırız

bu o zaman şimdi 2 çarpı kök içinde

1 eksi -bunun

yerine sin^2 teta

koyuyorum

çarpı dx

dx'in buna eşit olduğunu söylemiştim

dx 2cos teta d teta'ya eşit

bunu nasıl sadeleştirebilirim ?

burada gördüğünüz cos^2 teta'ya eşit

cos^2 teta'nın karekökünü

alacağız

burda görmüş olduğunuz terimin, cos^2 teta'nın

kökünü alacağız, değil mi?

bunun kökünü alarsak cos teta'ya

eşit olacaktır

integral 2 çarpı cos^2 teta'nın karekökü

yani 2 cos teta

çarpı 2 cos teta'ya eşit olur

burada gördüğünüz, oradakine eşit

karekök ve sin'li terim de

buna eşit

1-sin^2 cos^2'ye eşit, karekökü alınca da

cos^2'yi elde edersiniz

bunun hepsi çarpı d teta

bu 4 çarpı cos^2 teta

d teta'ya eşit olacaktır

kendi başına çözülmesi kolay olmayan bir integral

bilmiyorum burada u'yu kullanarak yer

değiştirme tekniğini kullanamam

o zaman ne yapabiliriz?

trigonometrik birimlerimizi kullanırız

çoğu kalkulus veya trigonometri kitaplarının

iç kapağında olsa da

bunu ezbere bilip bilmediğinizi bilmiyorum

cos^2 teta 1/2 çarpı 1+cos 2 teta

diye yazılabilir

bunu birkaç videoda kanıtlamıştım

artık yerine koyma işlemini yapalım

bunu şununla değiştireyim

integral o zaman 4 çarpı cos^2 teta,

ama buradaki cos^2 tetayı yazacağım

4 çarpı 1/2 çarpı 1 artı

cos 2teta d teta

bu çözmesi daha kolay gibi görünüyor

o zaman bu nedir

4 çarpı 1/2 2 eder

integral 2 artı 2 cos

2 teta d teta olur

bunun ters türevi gayet kolay olacak

burada gördüğünüz nedir?

bunun türevi d/dtetaya göre

sin 2 teta'dır değil mi?

bunun hepsinin türevi

sin 2teta'nın türevi nedir?

içerinin türevini alalım-bununki 2-

çarpı dışarının cos2tetanın türevi

bu da 2 teta'nın türevi tabi ki

bunun teta'ya göre ters türevi 2 teta artı

bunun ters türevi o da

sin 2teta

artı c olacaktır

en baştaki ters türevin

x cinsinden olduğunu unutmayalım

bunu sadece t cinsinde bırakamayız

yerine koyma işlemini tekrar yapacağız

teta'nın arcsin x-3/2'ye

eşit olduğunu hatırlayalım

bunu bu tarafa

yazayım

eğer bu teta'yı direk burda yerine koyarsam

sin çarpı 2 arc sin x eksi 3 bölü 2

bulacağım

2 çarpı arc sin x-3/2 bulacağım

bu işimizi görecektir ve soruyu çözmiş olacağız

yine de yeterli değil

direkt bir cevap değil

bunu sadeleştirebiliyor muyuz ona bakalım ki

sin teta cinsinden olsun

arcsin'in sin'ini alınca

x-3/2'ye sadeleşir

daha iyi anlatayım

burdaki terimlerin hepsini sin teta cinsinden yazacak olursam

sin teta eşittir sin (arcsin x eksi 3 bölü 2'ye

derim

x eksi 3 bölü 2 diyeceğim

bunu eğer sin teta türünden yazacak olursam

yerine koyma işlemini yapabilirim

sin teta buna eşittir ve her şey

sadeleşir

bakalım bunu yapabilecek miyiz?

diğer trigonometrik birimi bilmeyebilirsiniz ama

sin 2 teta-sin teta artı teta diye de yazılır-

sin teta çarpı cos teta

artı sin teta + cos tetaya eşit olur

ve 2 sin teta

cos teta'ya

denk gelir

bazı insanlar bunu önceden ezberlerler ve eğer

trigonometrik yer değiştirme tekniği üzerine bir sınav olacaksanız

canınız acımaz

bunu şu şekilde yeniden yazalım

elimizdeki belirsiz integrali veya ters türevimizi

2 teta artı,

sin 2 teta yerine 2 sin teta çarpı cos teta şeklinde

yazacağız ve tabii ki en sonda c var

her şeyi sin teta cinsinden yazmak istiyorum ama

burda cos teta var

o zaman ne yaparız?

cos^2 tetanın 1 eksi sin^2 teta'ya eşit olduğunu biliyoruz

cos teta'nın karekök içinde

1 eksi sin^2 teta'ya eşit

olduğunu da

biraz karmaşık bir hale dönüştürüyormuş gibi oluyoruz

ama bu sin teta cinsinden

o zaman bunu yapalım

yerine koyma işlemini gerçekleştirelim

ters türevimiz 2 teta artı sin teta çarpı cos teta

çarpı karekök içinde

1 eksi sin^2 teta

artı c

sona yaklaştık

bu soru düşündüğünüzden galiba

daha zordu

sin teta'nın x-3/2'ye eşit olduğunubiliyoruz

ters yer değiştirme işlemini yapalım

2 çarpı teta var

ilk terim sadece 2 teta

arc sin'den kurtulamıyoruz

elimizde sadece teta varsa teta

arc sin (x-3)/2'ye eşittir

renkleri değiştireyim ve ayrıca elimizde artı

2 sin teta var

artı 2 sin teta (x-3)/2'dir

2 çarpı x-3/2 çarpı karekök içinde 1 eksi

sin teta'nın karesi

sin teta neydi

x-3/2 nin karesi

ayrıca +c de var

bakalım bunu daha fazla sadeleştirebiliyor muyuz

çünkü sona geldik

bu 2 arc sin x-3/2 artı bu iki terim olacak

-ikiler birbirini götürecek- artı x -3 çarpı

karekök içinde-buradakilerin hepsini çarpalım-

x-3^2 bölü 4

olacaktır

bu sadeleştirme, bunu tırnak işaretleri ile yazayım,

beklediğimden daha fazla zaman alıyor

bakalım bunu daha da sadeleştirebilir miyiz

eğer çarparsak bu terime odaklanayım,

dışarıyı çarpayım veya bununla çarpalım ve

2'ye böleyim

bunu çarpalım

2/2 diyelim

bunu neden yapıyorsun diye sorabilirsiniz?

çünkü bunu yeniden yazabilirim-bunun hepsini yeniden yazayım

elimde 2 arc sin x-3/2 var

ve paydadaki 2'yi buraya alayım

artı x-3 bölü 2 yazıyorum

buraya yazdığım 2 şuradaki 2'ydi

buradaki ikiyi

4'ün karekökü olarak da yazabilirim

4'ün karekökü çarpı

bunun hepsinin kökü

1 eksi x eksi 3'ün karesi bölü 4

bence ne yaptığımı anladınız

sorunun başında yaptıklarımı tersine

çeviriyorum

bunu olabildiğince kolaylaştırmaya odaklanmış olabilirim

ama çok yaklaştım

2 çarpı arc sin x-3/2-bunu yazmaktan yoruldum

artı x-3/2, 4'ün karekökü çarpı

bunların karekökü

4 çarpı bu değerlerin kareköküne eşittir

4 eksi x-3'ün karesi

artı c

sonuna geldik

2 arcsin x-3/2 artı x eksi 3 bölü 2 çarpı

karekök içinde 4 eksi x eksi 3'ün karesi

x-3'ün karesini açınca da x^2-6x+9

buradaki ifade de sadeleşecektir 6x-x^2

ve 4 eksi 9'dan -5

olacaktır

ki bu en baştaki

ters türevimizdir

işte sorunun en sonunda geldik

ters türevin 2 arc sin x-3/2 artı x-3/2 çarpı

6x-x^2-5'in

karekökü

tahtamın en tepesindeki denklemin ters türevi

bu bulduğumuz

değere eşit

o zaman bu karekök içinde 6x-x^2-5 dx'in

ters türevine eşit

benim yorulduğum kadar siz de yorulmuşsunuzdur

açıkçası elim ağrıyor

umarım bu sizi az a olsa tatmin etmiştir

bazen kolay sorular çözdüğüm için şikayetler alıyorum

bu soru karmaşık ve çözülmesi kolay olmayan bir soruydu