Integration by parts of (e^x)(cos x)

Hãy xem liệu chúng ta có thể dùng
tích phân từng phân

để tìm ra nguyên hàm của e mũ x
nhân cos của x, dx.

Và bất cứ khi nào chúng ta nhắc tới
tích phân từng phần,

chúng ta luôn thắc mắc hàm nào,

chúng ta đang tính tích của 2 hàm này,

hàm x hay hàm cosin của x, mà nếu lấy đạo

hàm của nó thì hàm đó trở nên đơn giản hơn.

Và trong trường hợp này, không hàm
nào như vậy.

Và không hàm nào quá sức phức tạp

khi tôi lấy nguyên hàm của chúng.

Thực ra, bạn có thể giải bài toán
theo 1 trong 2 cách.

Đặt f của x bằng e mũ x.

và g phẩy x bằng cosin x

Tôi sẽ viết xuống đây.

Chúng ta đang nói f của x bằng e mũ x,

hay f phẩy x bằng e mũ x

Đạo hàm cũ e mũ x thì vẫn chỉ là e mũ x

g phẩy x bằng cosin của x.

Và nguyên hàm của g nhỏ x

Nguyên hàm của cosin x

thì bằng sin x.

Bây giờ thì áp dụng tích phân từng phần nào.

x nhân g nhỏ x, bằng với

e mũ x nhân sinx,
trừ đi nguyên hàm của f phẩy x

mà f phẩy x bằng e mũ x.

e mũ x nhân g nhỏ x, trong đó g nhỏ x
bằng sin x

Bây giờ trông có vẻ như bài toán chưa
được đơn giản hóa đi nhiều lắm

Chúng ta có 1 tích phân chưa xác định

bao gồm sin của x

Giả sử, chúng ta đang đi tìm nguyên hàm

của e mũ x, và sinx dx.

Chúng ta làm bằng cách nào nhỉ?

Tương tự như vậy, chúng ta đặt f nhỏ x
bằng e mũ x.

f của x bằng e mũ x.

f phẩy x bằng đạo hàm của e mũ x,

và là e mũ x.

Và trong trường hợp này, chúng ta có thể nói

g của x bằng sin x.

Và để tôi nói rõ điều này,

chúng ta có g phẩy x

bằng sin của x, suy ra

nguyên hàm của nó là âm cosx.

Đạo hàm của cosin là âm sin

còn đạo hàm của âm cosin là sin dương.

Chúng ta 1 lần nữa áp dụng
tích phân từng phần

Chúng ta có f(x) nhân g(x).

f(x) nhân g(x) là âm

Tôi sẽ để dấu trừ ở trước, và
nó sẽ thành âm e mũ x

nhân với cosin của x, trừ đi
nguyên hàm của

f phẩy x ngân g của x.

f phẩy x bằng e mũ x.

và g của x bằng âm cosin của x.

Và chúng ta có thể lấy dấu âm

ra ngoài dấu tích phân.

Và đương nhiên, chúng ta có dx ở đây.

Bạn có thể nói với tôi rằng, Sal,
chúng ta đang giậm chân tại chỗ

Nhưng hãy thử làm 1 điều gì đó thú vị nào.

Và xem thử chúng ta có thấy gì thú vị không

Chúng ta đang có tích phân gốc

ở phía bên tay trái.

Tích phân không xác định, hay nguyên hàm

của e mũ x nhân cosin của xdx bằng

e mũ x nhân sin x, trừ đi tất cả chỗ này.

Chúng ta có âm nguyên hàm của e mũ x,

cosin của x, dx.

Chúng ta đã thống nhất dùng
tích phân từng phần

để tìm ra

Điều thú vị ở đây là chúng ta có

Vậy sao chúng ta không thêm

Để tôi giải thích.

Thêm tích phân của e mũ x nhân

cosin của x dx vào 2 bên.

e mũ x, cosin của x, dx.

Và kết quả là gì?

Ở bên tay trái, bạn có

gấp đôi tích phân gốc.

e mũ x, cosin của x, dx bằng với đây

tất cả chỗ này

Và phần này

Bây giờ, chúng ta có thể giải được
biểu thức ban đầu rồi.

nguyên hàm của e mũ x nhân cosin của x dx.

Nếu chia vế trái cho 2,

chúng ta sẽ được biểu thức ban đầu.

Nguyên hàm của e mũ x nhân xcosx dx

Ở bên tay phải l

e mũ x nhân sin e của x, cộng e mũ x
ngâm cosin của x

Và chúng ta đã xong bằng cách áp dụng tích
từng lần 2 lần.

Chúng ta nên nhớ để hẳng số ở cuối.

Nếu bạn muốn tính đạo hàm của hàm này,

bất kể hẳng số là gì,

chúng ta sẽ có e nhân xcosx

Và biểu thức này trông khá ngắn gọn.