-
Hãy xem liệu chúng ta có thể dùng
tích phân từng phân
-
để tìm ra nguyên hàm của e mũ x
nhân cosin của x, dx.
-
Và bất cứ khi nào chúng ta nhắc tới
tích phân từng phần,
-
chúng ta luôn thắc mắc hàm nào,
-
chúng ta đang tính tích của 2 hàm này,
-
hàm x hay hàm cosin của x, mà nếu lấy đạo
-
hàm của nó thì hàm đó trở nên đơn giản hơn.
-
Trong trường hợp này, không
hàm nào như vậy.
-
Và không hàm nào quá sức phức tạp
-
khi tôi lấy nguyên hàm của chúng.
-
Ở bài toán này, không cố định đặt f của x
-
hay g phẩy x bằng gì.
-
Thực ra, bạn có thể giải bài toán
theo 1 trong 2 cách.
-
Chúng ta sẽ đặt như sau.
-
Đặt f của x bằng e mũ x.
-
và g phẩy x bằng cosin của x.
-
Tôi sẽ viết xuống đây.
-
Chúng ta đang nói f của x bằng e mũ x,
-
hay f phẩy x bằng e mũ x.
-
Đạo hàm của e mũ x thì vẫn chỉ là e mũ x.
-
Và chúng ta đặt
-
g phẩy x bằng cosin của x.
-
Và nguyên hàm của g nhỏ x,
-
hay nguyên hàm của cosin x
-
thì bằng sin của x.
-
Bây giờ thì áp dụng tích phân từng phần nào.
-
Biểu thức này sẽ bằng tích của
-
f nhỏ x và g nhỏ x, hay bằng
-
e mũ x nhân sin của x,
trừ đi nguyên hàm của f phẩy x
-
mà f phẩy x bằng e mũ x.
-
e mũ x nhân g nhỏ x, trong đó g nhỏ x
bằng sin x.
-
Bây giờ trông bài toán vẫn khá phức tạp,
-
chúng ta có 1 tích phân chưa xác định
-
bao gồm sin của x.
-
Chúng ta sẽ thử giải quyết nó
-
1 cách riêng rẽ.
-
Giả sử, chúng ta đang đi tìm nguyên hàm
-
của e mũ x, và sin của x dx.
-
Chúng ta làm thế nào nhỉ?
-
Tương tự như vậy, chúng ta đặt f nhỏ x
bằng e mũ x.
-
Và chúng ta đang đặt lại,
-
mặc dù chúng ta vô tình đã có
phép đặt y hệt.
-
f của x bằng e mũ x.
-
f phẩy x bằng đạo hàm của e mũ x,
-
và vẫn là bằng e mũ x.
-
Và trong trường hợp này, chúng ta có thể nói
-
g của x bằng sin x.
-
Chúng ta sẽ tạm thời quên những
phép đặt trên này đi.
-
Và để tôi nói rõ điều này,
-
chúng ta có g phẩy x
-
bằng sin của x, suy ra
-
nguyên hàm của nó là âm cosin của x.
-
Đạo hàm của cosin là âm sin
-
còn đạo hàm của âm cosin là sin dương.
-
Chúng ta 1 lần nữa áp dụng
tích phân từng phần.
-
Chúng ta có tích của f nhỏ x và g nhỏ x,
-
là âm.
-
Tôi sẽ để dấu trừ ở trước, và
nó sẽ thành âm e mũ x
-
nhân với cosin của x, trừ đi
nguyên hàm của
-
f phẩy x nhân g của x.
-
mà f phẩy x bằng e mũ x.
-
và g của x bằng âm cosin của x.
-
Tôi sẽ viết cosin của x ở ngay chỗ này.
-
Và chúng ta có thể lấy dấu âm
-
ra ngoài dấu tích phân.
-
Như vậy chúng ta đang trừ đi
1 biểu thức âm.
-
Vậy dấu trừ sẽ chuyển thành dấu cộng.
-
Và đương nhiên, chúng ta có dx ở đây.
-
Bạn có thể nói rằng, Sal,
chúng ta đang giậm chân tại chỗ.
-
Cái chúng ta vừa viết
-
ở dưới dạng tích phân
-
chính là tích phân ban đầu.
-
Chúng ta đã quay lại vạch xuất phát.
-
Nhưng hãy thử làm 1 điều gì đó thú vị nào.
-
Thay lại hàm này,
-
để tôi khoanh nó lại
-
Thay hàm này lên trên đây.
-
Tôi sẽ viết theo cách khác.
-
Thay cả cái hàm này cho hàm trong
phương trình ban đầu của chúng ta.
-
Và xem thử chúng ta có thấy gì thú vị không.
-
Chúng ta đang có tích phân gốc,
-
ở phía bên tay trái.
-
Tích phân không xác định, hay nguyên hàm
-
của e mũ x nhân cosin của x dx bằng
-
e mũ x nhân sin x, trừ đi tất cả chỗ này.
-
Vậy chúng ta hãy trừ đi tất cả chỗ này
-
cái biểu thức đang nằm trong ô kia.
-
Nếu chúng ta trừ đi âm e mũ x
nhân cosin của x,
-
thì sẽ thành dương.
-
Nó sẽ là cộng với e mũ x nhân cosin của x.
-
Và nhớ rằng, chúng ta đang trừ đi
tất cả chỗ này.
-
Do đó, chúng ta thu được
-
âm nguyên hàm của e mũ x,
-
cosin của x, dx.
-
Kết quả này thú vị đây
-
Chúng ta vừa tính phần này,
-
Chúng ta đã thống nhất dùng
tích phân từng phần
-
để xem 2 hàm có giống nhau không.
-
Nên chúng ta đã thay hàm này ngược trở lại
-
Khi thực hiện phép trừ,
-
lấy hàm này trừ cả cụm này
-
Chúng ta được phần bên dưới này.
-
Điều thú vị ở đây là chúng ta có
-
1 phương trình trong đó biểu thức
-
ban đầu lặp lại 2 lần.
-
Thậm chí, chúng ta có thể đặt nó
-
như là 1 biến và giải biến đó.
-
Vậy sao chúng ta không thêm phần này
-
vào cả 2 bên của phương trình.
-
Để tôi giải thích.
-
Cộng tích phân của e mũ x nhân
-
cosin của x dx vào 2 bên.
-
e mũ x, cosin của x, dx.
-
Và kết quả là gì?
-
Ở bên tay trái, bạn có
-
2 nhân với tích phân gốc.
-
e mũ x, cosin của x, dx bằng với đây
-
tất cả chỗ này
-
Tôi sẽ copy nó xuống đây.
-
Như chúng ta đang nhìn thấy,
-
Nó bằng với tất cả chỗ này.
-
Và chúng ta sẽ gạch phần này đi.
-
Bây giờ, chúng ta có thể giải được
biểu thức ban đầu rồi.
-
Nguyên hàm của e mũ x nhân cosin của x dx.
-
Chúng ta chỉ cần chia cả 2 vế,
-
về cơ bản là 1 phương trình, cho 2.
-
Nếu chia vế trái cho 2,
-
chúng ta sẽ được biểu thức ban đầu.
-
Nguyên hàm của e mũ x
nhân cos của x dx
-
Ở bên phải, chúng ta có hàm tương đương
-
e mũ x nhân sin e của x, cộng e mũ x
ngâm cosin của x
-
Bây giờ, chúng ta cần cẩn thận vì
-
đây là nguyên hàm của biểu thức ban đầu,
-
nhưng nó không phải là duy nhất
-
Chúng ta phải luôn luôn nhớ rằng,
-
dù chúng ta đã xong bằng cách áp dụng tích
từng lần 2 lần.
-
chúng ta phải thay nó trở ngược lại.
-
Chúng ta nên nhớ để hằng số ở cuối.
-
Nếu bạn muốn tính đạo hàm của hàm này,
-
bất kể hẳng số là gì,
-
chúng ta sẽ có e nhân xcosx
-
Và biểu thức này trông khá ngắn gọn.