Integration by parts of (e^x)(cos x)

Hãy xem liệu chúng ta có thể dùng
tích phân từng phân

để tìm ra nguyên hàm của e mũ x
nhân cosin của x, dx.

Và bất cứ khi nào chúng ta nhắc tới
tích phân từng phần,

chúng ta luôn thắc mắc hàm nào,

chúng ta đang tính tích của 2 hàm này,

hàm x hay hàm cosin của x, mà nếu lấy đạo

hàm của nó thì hàm đó trở nên đơn giản hơn.

Trong trường hợp này, không
hàm nào như vậy.

Và không hàm nào quá sức phức tạp

khi tôi lấy nguyên hàm của chúng.

Ở bài toán này, không cố định đặt f của x

hay g phẩy x bằng gì.

Thực ra, bạn có thể giải bài toán
theo 1 trong 2 cách.

Chúng ta sẽ đặt như sau.

Đặt f của x bằng e mũ x.

và g phẩy x bằng cosin của x.

Tôi sẽ viết xuống đây.

Chúng ta đang nói f của x bằng e mũ x,

hay f phẩy x bằng e mũ x.

Đạo hàm của e mũ x thì vẫn chỉ là e mũ x.

Và chúng ta đặt

g phẩy x bằng cosin của x.

Và nguyên hàm của g nhỏ x,

hay nguyên hàm của cosin x

thì bằng sin của x.

Bây giờ thì áp dụng tích phân từng phần nào.

Biểu thức này sẽ bằng tích của

f nhỏ x và g nhỏ x, hay bằng

e mũ x nhân sin của x,
trừ đi nguyên hàm của f phẩy x

mà f phẩy x bằng e mũ x.

e mũ x nhân g nhỏ x, trong đó g nhỏ x
bằng sin x.

Bây giờ trông bài toán vẫn khá phức tạp,

chúng ta có 1 tích phân chưa xác định

bao gồm sin của x.

Chúng ta sẽ thử giải quyết nó

1 cách riêng rẽ.

Giả sử, chúng ta đang đi tìm nguyên hàm

của e mũ x, và sin của x dx.

Chúng ta làm thế nào nhỉ?

Tương tự như vậy, chúng ta đặt f nhỏ x
bằng e mũ x.

Và chúng ta đang đặt lại,

mặc dù chúng ta vô tình đã có
phép đặt y hệt.

f của x bằng e mũ x.

f phẩy x bằng đạo hàm của e mũ x,

và vẫn là bằng e mũ x.

Và trong trường hợp này, chúng ta có thể nói

g của x bằng sin x.

Chúng ta sẽ tạm thời quên những
phép đặt trên này đi.

Và để tôi nói rõ điều này,

chúng ta có g phẩy x

bằng sin của x, suy ra

nguyên hàm của nó là âm cosin của x.

Đạo hàm của cosin là âm sin

còn đạo hàm của âm cosin là sin dương.

Chúng ta 1 lần nữa áp dụng
tích phân từng phần.

Chúng ta có tích của f nhỏ x và g nhỏ x,

là âm.

Tôi sẽ để dấu trừ ở trước, và
nó sẽ thành âm e mũ x

nhân với cosin của x, trừ đi
nguyên hàm của

f phẩy x nhân g của x.

mà f phẩy x bằng e mũ x.

và g của x bằng âm cosin của x.

Tôi sẽ viết cosin của x ở ngay chỗ này.

Và chúng ta có thể lấy dấu âm

ra ngoài dấu tích phân.

Như vậy chúng ta đang trừ đi
1 biểu thức âm.

Vậy dấu trừ sẽ chuyển thành dấu cộng.

Và đương nhiên, chúng ta có dx ở đây.

Bạn có thể nói rằng, Sal,
chúng ta đang giậm chân tại chỗ.

Cái chúng ta vừa viết

ở dưới dạng tích phân

chính là tích phân ban đầu.

Chúng ta đã quay lại vạch xuất phát.

Nhưng hãy thử làm 1 điều gì đó thú vị nào.

Thay lại hàm này,

để tôi khoanh nó lại

Thay hàm này lên trên đây.

Tôi sẽ viết theo cách khác.

Thay cả cái hàm này cho hàm trong
phương trình ban đầu của chúng ta.

Và xem thử chúng ta có thấy gì thú vị không.

Chúng ta đang có tích phân gốc,

ở phía bên tay trái.

Tích phân không xác định, hay nguyên hàm

của e mũ x nhân cosin của x dx bằng

e mũ x nhân sin x, trừ đi tất cả chỗ này.

Vậy chúng ta hãy trừ đi tất cả chỗ này

cái biểu thức đang nằm trong ô kia.

Nếu chúng ta trừ đi âm e mũ x
nhân cosin của x,

thì sẽ thành dương.

Nó sẽ là cộng với e mũ x nhân cosin của x.

Và nhớ rằng, chúng ta đang trừ đi
tất cả chỗ này.

Do đó, chúng ta thu được

âm nguyên hàm của e mũ x,

cosin của x, dx.

Kết quả này thú vị đây

Chúng ta vừa tính phần này,

Chúng ta đã thống nhất dùng
tích phân từng phần

để xem 2 hàm có giống nhau không.

Nên chúng ta đã thay hàm này ngược trở lại

Khi thực hiện phép trừ,

lấy hàm này trừ cả cụm này

Chúng ta được phần bên dưới này.

Điều thú vị ở đây là chúng ta có

1 phương trình trong đó biểu thức

ban đầu lặp lại 2 lần.

Thậm chí, chúng ta có thể đặt nó

như là 1 biến và giải biến đó.

Vậy sao chúng ta không thêm phần này

vào cả 2 bên của phương trình.

Để tôi giải thích.

Cộng tích phân của e mũ x nhân

cosin của x dx vào 2 bên.

e mũ x, cosin của x, dx.

Và kết quả là gì?

Ở bên tay trái, bạn có

2 nhân với tích phân gốc.

e mũ x, cosin của x, dx bằng với đây

tất cả chỗ này

Tôi sẽ copy nó xuống đây.

Như chúng ta đang nhìn thấy,

Nó bằng với tất cả chỗ này.

Và chúng ta sẽ gạch phần này đi.

Bây giờ, chúng ta có thể giải được
biểu thức ban đầu rồi.

Nguyên hàm của e mũ x nhân cosin của x dx.

Chúng ta chỉ cần chia cả 2 vế,

về cơ bản là 1 phương trình, cho 2.

Nếu chia vế trái cho 2,

chúng ta sẽ được biểu thức ban đầu.

Nguyên hàm của e mũ x
nhân cos của x dx

Ở bên phải, chúng ta có hàm tương đương

e mũ x nhân sin e của x, cộng e mũ x
ngâm cosin của x

Bây giờ, chúng ta cần cẩn thận vì

đây là nguyên hàm của biểu thức ban đầu,

nhưng nó không phải là duy nhất

Chúng ta phải luôn luôn nhớ rằng,

dù chúng ta đã xong bằng cách áp dụng tích
từng lần 2 lần.

chúng ta phải thay nó trở ngược lại.

Chúng ta nên nhớ để hằng số ở cuối.

Nếu bạn muốn tính đạo hàm của hàm này,

bất kể hẳng số là gì,

chúng ta sẽ có e nhân xcosx

Và biểu thức này trông khá ngắn gọn.