< Return to Video

Integration by parts of (e^x)(cos x)

  • 0:00 - 0:01
  • 0:01 - 0:03
    ลองดูว่าเราใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วน
  • 0:03 - 0:09
    เพื่อหาปฏิยานุพันธ์ของ e กำลัง x
    โคไซน์ของ x dx ได้ไหม
  • 0:09 - 0:11
    เมื่อใดก็ตามที่เราพูดถึงการอินทิเกรตตามส่วน
  • 0:11 - 0:13
    เราจะถามเสมอว่า ฟังก์ชันใดในนี้ --
  • 0:13 - 0:15
    ที่เรากำลังหาผลคูณฟังก์ชันสองตัวนี้ --
  • 0:15 - 0:18
    ฟังก์ชันใดในนี้ e กำลัง x
    หรือโคไซน์ของ x, ที่เรา
  • 0:18 - 0:20
    หาอนุพันธ์ของมันแล้วจะง่ายขึ้น
  • 0:20 - 0:22
    และในกรณีนี้ ไม่มีอันไหนจะง่ายลง
  • 0:22 - 0:24
    ไม่มีอันไหนจะซับซ้อนขึ้น
  • 0:24 - 0:26
    เมื่อผมหาปฏิยานุพันธ์
  • 0:26 - 0:29
    ตรงนี้ มันจึงเป็นการสุ่มว่าผมจะเลือก
  • 0:29 - 0:31
    อันไหนเป็น f ของ x
    และอันไหนเป็น g ไพรม์ของ x
  • 0:31 - 0:34
    ที่จริง คุณแก้ปัญหานี้ยังไงก็ได้
  • 0:34 - 0:36
    งั้นลองกำหนดอันนี้
  • 0:36 - 0:39
    ลองกำหนด f ของ x เท่ากับ e กำลัง x กัน
  • 0:39 - 0:43
    และกำหนด g ไพรม์ของ x ว่า
    เท่ากับโคไซน์ของ x
  • 0:43 - 0:44
    ขอผมเขียนมันลงไปนะ
  • 0:44 - 0:49
    เรากำลังบอกว่า f ของ x เท่ากับ e กำลัง x
  • 0:49 - 0:52
    หรือ f ไพรม์ของ x เท่ากับ e กำลัง x
  • 0:52 - 0:55
    อนุพันธ์ของ e กำลัง x ก็แค่ e กำลัง x
  • 0:55 - 0:58
    และเราบอกได้ว่า g -- เราจะกำหนด -- g
  • 0:58 - 1:01
    ไพรม์ของ x เท่ากับโคไซน์ของ x
  • 1:01 - 1:04
    และปฏิยานุพันธ์ของ g ของ x นั้นก็ --
  • 1:04 - 1:06
    ปฏิยานุพันธ์ของโคไซน์ของ x
  • 1:06 - 1:11
    จะเท่ากับไซน์ของ x
  • 1:11 - 1:13
    ทีนี้ ลองใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วนกัน
  • 1:13 - 1:15
    อันนี้จะเท่ากับ f
  • 1:15 - 1:19
    ของ x คูณ g ของ x ซึ่งเท่ากับ e
  • 1:19 - 1:29
    กำลัง x คูณไซน์ของ x ลบปฏิยานุพันธ์ของ f
  • 1:29 - 1:32
    ไพรม์ของ x -- f ไพรม์ของ x คือ e กำลัง x
  • 1:32 - 1:36
    e กำลัง x คูณ g ของ x ซึ่งเหมือนเดิม
    คือไซน์ของ x
  • 1:36 - 1:43
  • 1:43 - 1:46
    ทีนี้ มันอาจดูเหมือนว่าเราไม่ได้ทำอะไรให้ดีขึ้น
  • 1:46 - 1:47
    ตอนนี้เรามีอินทิกรัลไม่จำกัดเขตที่
  • 1:47 - 1:49
    เกี่ยวข้องกับไซน์ของ x
  • 1:49 - 1:50
    ลองดูว่าเราแก้มันได้ไหม ลองดู
  • 1:50 - 1:53
    ว่าเราแก้อันนี้แยกกันได้ไหม
  • 1:53 - 1:56
    สมมุติว่าเราอยากหาปฏิยานุพันธ์
  • 1:56 - 2:00
    ปฏิยานุพันธ์ของ e กำลัง x, ไซน์ของ x dx
  • 2:00 - 2:01
    เราทำได้อย่างไร?
  • 2:01 - 2:06
    เหมือนเดิม เราให้ f ของ x เท่ากับ e กำลัง x
  • 2:06 - 2:07
    และตอนนี้เราจะกำหนดใหม่
  • 2:07 - 2:10
    ถึงแม้ว่าเราจะกำหนดใหม่คล้ายเดิมมาก
  • 2:10 - 2:13
    เราจะบอกว่า f ของ x เท่ากับ e กำลัง x
  • 2:13 - 2:16
    f ไพรม์ของ x ก็เท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น
  • 2:16 - 2:18
    ซึ่งยังคงเป็น e กำลัง x
  • 2:18 - 2:21
    แล้วเราบอกได้ว่า g ของ x ในกรณีนี้
  • 2:21 - 2:23
    เท่ากับไซน์ของ x
  • 2:23 - 2:26
    เราจะกำหนดมันไว้ในใจตอนนี้
  • 2:26 - 2:30
    แล้ว -- ขอผมบอกให้ชัดนะ --
    g ไพรม์ของ x, ขอผม
  • 2:30 - 2:35
    โอ๊ย ได้แล้ว -- เราได้ g ไพรม์
  • 2:35 - 2:41
    ของ x เท่ากับไซน์ของ x ซึ่งหมายความว่า
  • 2:41 - 2:45
    ปฏิยานุพันธ์ของมันคือลบโคไซน์ของ x
  • 2:45 - 2:47
    อนุพันธ์ของโคไซน์คือลบไซน์
  • 2:47 - 2:49
    อนุพันธ์ของลบโคไซน์คือบวกไซน์
  • 2:49 - 2:53
    เหมือนเดิม ใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วนกัน
  • 2:53 - 2:57
    เรามี f ของ x คูณ g ของ x
  • 2:57 - 3:00
    f ของ x คูณ g ของ x เป็นลบ --
  • 3:00 - 3:03
    ผมจะใส่ลบข้างหน้านะ -- มันคือลบ e
  • 3:03 - 3:13
    กำลัง x คูณโคไซน์ของ x ลบปฏิยานุพันธ์ของ
  • 3:13 - 3:14
    f ไพรม์ของ x, g ของ x
  • 3:14 - 3:19
    f ไพรม์ของ x คือ e กำลัง x
  • 3:19 - 3:22
    แล้ว g ของ x คือลบโคไซน์ของ x
  • 3:22 - 3:24
    ผมจะใส่โคไซน์ของ x ตรงนี้
  • 3:24 - 3:26
    แล้วลบ เราดึงมันออก
  • 3:26 - 3:27
    จากเครื่องหมายอินทิกรัลได้
  • 3:27 - 3:29
    แล้วเราจะลบ ลบ
  • 3:29 - 3:32
    มันกลายเป็นบวก
  • 3:32 - 3:36
    แน่นอน เรามี dx ของเราตรงนี้
  • 3:36 - 3:39
    แล้วคุณอาจถามว่า ซาล เราไม่เห็นคืบหน้าเลย
  • 3:39 - 3:40
    อันนี้ตรงนี้ ตอนนี้เรา
  • 3:40 - 3:43
    เขียนมันในรูปของอินทิกรัล
  • 3:43 - 3:44
    เป็นอินทิกรัลเดิมของเรา
  • 3:44 - 3:47
    เราวนกลับมาเหมือนเดิม
  • 3:47 - 3:49
    แต่ลองทำสิ่งที่น่าสนใจกัน
  • 3:49 - 3:54
    ลองแทนอันนี้กลับไป --
  • 3:54 - 3:56
    ขอผมเขียนแบบนี้นะ
  • 3:56 - 4:03
    ลองแทนอันนี้กลับไปบนนีี้
  • 4:03 - 4:05
    หรือ ขอผมเขียนอีกแบบหนึ่ง
  • 4:05 - 4:14
    ลองแทนอันนี้ลงไปในสมการเดิม
  • 4:14 - 4:16
    แล้วดูว่าเราจะได้อะไรน่าสนใจไหม
  • 4:16 - 4:18
    สิ่งที่เราจะได้ คืออินทิกรัลเดิมของเรา
  • 4:18 - 4:20
    ทางซ้ายมือตรงนี้
  • 4:20 - 4:22
    อินทิกรัลไม่จำกัดเขต หรือปฏิยานุพันธ์ของ e
  • 4:22 - 4:27
    กำลัง x โคไซน์ของ x dx เท่ากับ e
  • 4:27 - 4:39
    กำลัง x ไซน์ของ x ลบทั้งหมดนี่ตรงนี้
  • 4:39 - 4:41
    ลองลบทั้งหมดนี้ดูกัน
  • 4:41 - 4:43
    เราจะลบทั้งหมดนี้
  • 4:43 - 4:46
    ถ้าคุณลบ ลบ e กำลัง x โคไซน์ของ x
  • 4:46 - 4:47
    มันจะเป็นบวก
  • 4:47 - 4:51
    มันจะเป็นบวก e กำลัง x, โคไซน์ของ x
  • 4:51 - 4:54
  • 4:54 - 4:57
    แล้วนึกดู เราจะลบทั้งหมดนี้
  • 4:57 - 4:58
    แล้วเราจะลบ
  • 4:58 - 5:09
    แล้วเราจะได้ลบปฏิยานุพันธ์ของ e กำลัง x
  • 5:09 - 5:10
    โคไซน์ของ x dx
  • 5:10 - 5:14
  • 5:14 - 5:15
    ทีนี้ อันนี้น่าสนใจ
  • 5:15 - 5:18
    นึกดูที่เราทำคือ เรานำส่วนนี่ตรงนี้มา
  • 5:18 - 5:20
    เราบอกว่า เราใช้การอินทิเกรตแบบแยกส่วน
  • 5:20 - 5:22
    เพื่อหาว่า มันเท่ากับอันนี้
  • 5:22 - 5:23
    เราแทนอันนี้กลับเข้าไป
  • 5:23 - 5:25
    เมื่อคุณลบมัน
  • 5:25 - 5:27
    เมื่อคุณลบอันนี้จากอันนี้
  • 5:27 - 5:29
    เราได้พจน์นี่ตรงนี้
  • 5:29 - 5:32
    ทีนี้ สิ่งที่น่าสนใจตรงนี้คือว่า เรามี
  • 5:32 - 5:34
    สมการโดยเรามีพจน์ของเรา
  • 5:34 - 5:35
    พจน์เดิมของเราสองครั้ง
  • 5:35 - 5:37
    เรากำหนดพจน์นี้เป็นตัวแปร
  • 5:37 - 5:39
    แล้วแก้หาตัวแปรนั้นได้
  • 5:39 - 5:41
    ทำไมเราไม่บวกตัวนี้
  • 5:41 - 5:43
    ทั้งสองข้างของสมการล่ะ?
  • 5:43 - 5:44
    ขอผมบอกให้ชัดนะ
  • 5:44 - 5:48
    ลองบวกอินทิกรัลของ e กำลัง x โคไซน์
  • 5:48 - 5:52
    ของ x dx ทั้งสองข้างกัน
  • 5:52 - 5:55
    e กำลัง x, โคไซน์ของ x, dx
  • 5:55 - 5:56
    แล้วคุณจะได้อะไร?
  • 5:56 - 5:57
    ทางซ้ายมือ คุณได้
  • 5:57 - 6:00
    2 คูณอินทิกรัลเดิมของเรา
  • 6:00 - 6:05
    e กำลัง x, โคไซน์ของ x, dx เท่ากับทั้งหมดนี้
  • 6:05 - 6:07
    เท่ากับอันนี้
  • 6:07 - 6:09
    ผมจะลอกและวางมันลงไป
  • 6:09 - 6:12
    ลอกและวาง
  • 6:12 - 6:16
    มันเท่ากับทั้งหมดนั้น
  • 6:16 - 6:20
    แล้วส่วนนี้ ส่วนนี่ตรงนี้ หักล้างกัน
  • 6:20 - 6:23
    และตอนนี้เราแก้หาพจน์เดิมได้
  • 6:23 - 6:26
    ปฏิยานุพันธ์ของ e กำลัง x โคไซน์ของ x dx
  • 6:26 - 6:29
    เราแค่ต้องหารทั้งสองข้างของ
  • 6:29 - 6:31
    สมการนี้ด้วย 2
  • 6:31 - 6:34
    ถ้าคุณหารทางซ้ายมือด้วย 2
  • 6:34 - 6:36
    คุณจะเหลือพจน์เดิม
  • 6:36 - 6:39
    ปฏิยานุพันธ์ของ e กำลัง x โคไซน์ของ x dx
  • 6:39 - 6:43
    และทางขวามือ คุณมีสิ่งที่ต้องเท่ากับ
  • 6:43 - 6:47
    e กำลัง x ไซน์ของ x บวก
    e กำลัง x โคไซน์ของ x ส่วน 2
  • 6:47 - 6:49
    และตอนนี้เราต้องระวังเพราะอันนี้
  • 6:49 - 6:52
    คือปฏิยานุพันธ์ของพจน์เดิมแค่ตัวหนึ่ง
  • 6:52 - 6:53
    แต่มันไม่ได้มีตัวเดียว
  • 6:53 - 6:56
    เราต้องนึกดูว่า ถึงแม้เราจะลำบาก
  • 6:56 - 6:59
    และได้คำตอบมา --
    เราใช้การอินทิเกรตตามส่วนสองครั้ง
  • 6:59 - 7:01
    และเราต้องแทนค่ากลับไป
  • 7:01 - 7:05
    เราต้องนึกดูว่า เราควรมีค่าคงที่ตรงนี้
  • 7:05 - 7:08
    ถ้าคุณหาอนุพันธ์ของตัวนี้
  • 7:08 - 7:10
    ไม่ว่าค่าคงที่เป็นเท่าใด
  • 7:10 - 7:13
    คุณจะได้ e กำลัง x โคไซน์ของ x
  • 7:13 - 7:15
    และมันเป็นพจน์ที่ดูดีทีเดียว
  • 7:15 - 7:16
Title:
Integration by parts of (e^x)(cos x)
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:16

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.