Integration by parts of (e^x)(cos x)

Нека проверим дали можем
да използваме интегриране по части,

за да намерим примитивната функция
на е на степен х по косинус х, dx.

Когато става дума за интегриране
по части,

винаги търсим коя от тези функции,

чието произведение е дадено,

т.е. х или косинус х, ще бъде тази,

на която производната е по-лесна
функция.

В този случай нито една от тях
няма да е по-лесна.

И нито една от тях няма да се
усложни много,

когато намерим примитивната
ѝ функция.

Тук няма значение коя ще изберем

да е f от х и коя да е g' от х.

Всъщност можеш да решиш интеграла
и по двата начина.

Нека да изберем ето тази

да е равно на f от х, т.е. е на степен х.

И нека изберем g' от х да е равна
на косинус х.

Нека го запиша.

Казваме, че f от х е равно на е
на степен х,

или f' от х е равно на е на степен х.

Производна от е на степен х е равна
на е на степен х.

Може да кажем, че g' от х

е равно на косинус х.

Примитивната функция на g от х,

т.е. примитивната функция
от косинус х,

ще бъде равна на синус х.

Нека сега приложим интегрирането
по части.

Този интеграл е равен

на f от х по g от х, което е равно

на е на степен х по синус х, минус
примитивната функция

от f' от х. f' от х е равно на е
на степен х.

е на степен х по g от х, която е
синус х, dх.

Не изглежда сякаш сме напреднали
с решението.

Сега имаме неопределен интеграл,

който включва синус х.

Нека проверим дали можем
да го решим,

т.е. дали можем да го решим отделно.

Нека имаме дадена следната
примитивна функция.

Търсим примитивната функция на
е на степен х по синус х, dx.

Как да го направим?

Подобно на горната стъпка, избираме
f от х да е равно на e на степен х.

Сега полагаме (заместваме)
функциите с техните съответни,

въпреки, че тук заместваме точно
със същите функции.

Избираме f от х да е равно на е
на степен х.

f' от х е равно просто на производна
от f,

т.е. отново е равна на е на степен х.

Сега може да изберем g от х

да е равно на синус х.

Тези равенства засега ще ги оставим
на заден план.

Нека сега да изясня това.

Ето, имаме g' от х,

която е равна на синус х,

А това означава, че примитивната ѝ
функция е равна на минус косинус х.

Производната на косинус
е минус синус,

а производната от минус косинус,
е плюс синус.

Нека отново да приложим
интегриране по части.

Имаме f от х по g от х.

f от х по g от х е отрицателна
стойност.

Ще поставя знак минус отпред.

Имаме минус е на степен х по косинус х,
минус примитивната функция

от f' от х по g от х.

f' от х е е на степен х.

Тогава g от х е минус косинус х.

Ще поставя косинус х ето тук,

а минуса може да изнесем

извън интеграла.

Изваждаме отрицателна стойност.

Тогава тук знакът става плюс.

Разбира се ето тук имаме dx.

Може би ще кажеш "Сал, не
напредваме с решението".

Този израз представихме

чрез интеграл,

който беше нашият първоначален
интеграл.

Завъртяхме се и стигнахме до
изходна позиция.

Нека опитаме да направим нещо
интересно.

Нека заместим обратно този израз.

Добре, нека го запиша ето така.

Нека да заместим обратно този
интеграл в израза тук горе.

Всъщност нека го запиша
по следния начин.

Нека заместим обратно този израз
в първоначалното уравнение.

Нека видим дали ще получим
нещо интересно.

Това, което имаме, е първоначалният
интеграл

от лявата страна тук.

Неопределен интеграл или
примитивна функция

от е на степен х по косинус х, dx,

е равно на е на степен х по синус х,
минус целия този израз.

Нека просто извадим целия този
израз.

Изваждаме целия този израз.

Ако извадим минус е на степен х
по косинус х,

ще стане с плюс.

Ще стане плюс е на степен х
по косинус х.

Изваждаме целия този израз.

Тогава тук ще стане минус.

Тоест минус примитивната
функция от е на степен х

по косинус х, dx.

Това вече е интересно.

Припомни си, че това, което
направихме, е да вземем тази част.

Избрахме да използваме интегриране
по части,

за да открием, че е равно на същия
резултат.

Заместихме обратно в предния израз.

Направихме разликата.

Когато извадихме втория израз
от първия,

получихме ето този трети израз.

Това, което е интересно тук,
е че получихме

уравнение, в което присъства

два пъти първоначалният интеграл.

Дори можем да заместим с
променлива

и да я намерим от уравнението.

Тогава защо просто не прибавим
този израз

към двете страни на уравнението?

Нека да го изясня.

Нека да прибавя интеграл от е
на степен х

по косинус х, dx към двете страни.

е на степен х, косинус х, dx.

И какво се получава?

Е, отляво имаме

2 пъти по първоначалния интеграл.

е на степен х по косинус х, dx е равно
на целия този ираз.

Равно е на ето това.

Ще го копирам.

Копирам го и поставям.

Равно е на всичко това.

А тези два члена тук се унищожават.

Сега можем да изразим
първоначалния интеграл.

Примитивната функция на
е на степен х по косинус х, dx.

Просто следва да разделим
двете страни

на това уравнение на 2.

Ако разделим лявата страна на 2,

отляво остава първоначалният
интеграл.

Примитивната функция на
е на степен х по косинус х, dx.

Отдясно остава това, на което трябва
да е равна.

е на степен х по синус х, плюс е
на степен х по косинус х, върху 2.

Сега искаме да бъдем внимателни,

защото това е примитивна функция
на нашия първоначален израз,

но не е единствената.

Работихме усилено, но следва да си
спомним,

че използвахме интегриране по части
два пъти.

И трябваше да заместим обратно
в първия израз.

Следва да си припомним, че тук
трябва да има константа.

Тогава, ако намериш производната
от този израз,

без значение каква е константата,

ще получиш е на степен х по косинус х.

Действително този израз изглежда
много хубаво.