Integration by parts of (e^x)(cos x)

Gəlin görək, e üstü x vur kosinus(x)-in

hissə-hissə inteqralını tapa biləcəyikmi.

Hissə-hissə inteqrallamadan danışdıqda

funksiyalara baxırıq, burada

bu ikisinin hasilini tapırıq,

sadələşdirmək üçün

x və ya kosinus(x)-in
törəməsini tapırıq

Bu halda isə heç biri sadələşmir.

Onların inteqralını tapdıqda

heç biri mürəkkəb olmur.

Bunlardan biri f(x)-i, digəri isə

g(x)-in törəməsidir.

İstənilən halda bunu hesablaya bilərsiniz.

Gəlin bunu təyin edək.

Deyək ki, f(x) e üstü x-dir.

g(x)-in törəməsi də kosinus(x)-ə
bərabərdir.

Gəlin aşağıdan yazaq.

f(x) e üstü x-ə bərabərdir,

f(x)-in törəməsi də e üstü x-ə
bərabərdir.

e üstü x-in törəməsi elə e üstü x-dir.

g(x)-i də kosinus(x)-ə

bərabər edək.

g(x)-in də inteqralı, yəni

kosinus(x)-in inteqralı

sinus(x)-ə bərabər olacaq.

Gəlin indi hissə-hissə inteqrallamanı
tətbiq edək.

Bu da f(x) vur g(x), yəni

e üstü x vur

sinus(x) olur, çıx inteqralda f(x)-in
törəməsi,

yəni e üstü x-in törəməsi.

e üstü x vur g(x), yəni sinus(x).

Hələ ki həll edib bitirməmişik,

burada qeyri-müəyyən inteqral və

onda da sinus(x) var.

Gəlin baxaq, həll edə biləcəyikmi,

ayrı-ayrı həll edək.

Deyək ki, bunun inteqralın tapmağa
çalışırıq.

e üstü x-in inteqralı, sinus(x) dx.

İndi nə edəcəyik?

Yenə də f(x) e üstü x-ə bərabərdir.

Bunu yenidən təyin edirik,

lakin yenidən eyni cür təyin edəcəyik.

Yəni f(x) bərabərdir e üstü x-ə.

f(x)-in törəməsi onun inteqralına
bərabərdir,

yəni e üstü x-ə.

Bu halda g(x) də

sinus(x)-ə bərabər olur.

İndi beynimizdə bunu əksinə olaraq,
təyin edirik.

Gəlin bunu silək,

g(x)-in törəməsi,

sinus(x)-ə bərabərdir,

bu da mənfi kosinus(x)-in inteqralına
bərabər olur.

Kosinusun törəməsi mənfi sinusdur,

mənfi kosinusun törəməsi
müsbət sinusdur.

Gəlin bir daha hissə-hissə inteqrallamanı
tətbiq edək.

Burada f(x) vur g(x) var.

f(x) vur g(x), burada

mənfi qarşıya keçir,

mənfi e üstü x vur kosinus(x) çıx
inteqralda f(x)-in

törəməsi vur g(x).

f(x)-in törəməsi e üstü x olur.

g(x) isə mənfi kosinus(x)-dir.

Bura kosinus(x)-i yazaq,

sonra da mənfini inteqralın

xaricinə çıxara bilərik.

Yəni mənfini çıxırıq.

Bu da müsbət olacaq.

Burada da dx var.

Amma hələ də biz bitirməmişik.

Burada gördüyünüz kimi

əvvəlki inteqralı

hissə-hissə yazdıq.

Dövr etdik.

Gəlin edək.

Gəlin bunu əvəzləyək,

bura yazaq.

Bunu yenidən əvəzləyək.

Gəlin başqa cür yazaq.

İlkin bərabərliyimizdə bunu əvəzləyək.

Gəlin buna baxaq.

Burada, solda

ilkin inteqralmızı aldıq.

Qeyri-müəyyən inteqralda e üstü x

kosinus(x) dx, e üstü x vur sinus(x)-ə

bərabərdir, çıxılsın bu hissə.

Gəlin bu hissəni çıxaq.

Bunu bu ifadədən çıxırıq.

Mənfi e üstü x kosinus(x) çıxdıqda

müsbət olacaq.

Müsbət e üstü x vur kosinus(x) olacaq.

Bunu çıxırıq.

Buna bu ifadədən çıxaq.

Çıxılsın inteqralda e üstü x vur

kosinus(x) dx.

Maraqlıdır.

Burada etdiklərimizə bir daha baxın.

Burada etdiyimiz kimi bunu da

hissə-hissə inteqrallama ilə
həll etdik.

Bunu geri əvəzlədik.

Bunu çıxdıq.

Bunu çıxdıqda

bu ifadə alınır.

Burada, tənlikdə iki dəfə

bu ifadə

işlənir.

Bunu bir dəyişən kimi qəbul edib

ona əsasən də həll edə bilərik.

Bunu bərabərliyin hər iki tərəfinə

niyə əlavə etmirik?

Bunu silək.

Gəlin hər iki tərəfə

inteqralda e üstü x vur kosinus(x) dx-i
əlavə edək.

e üstü x vur kosinus(x) dx.