Integration by parts of (e^x)(cos x)

Gəlin görək, e üstü x vur kosinus(x)-in

hissə-hissə inteqralını tapa biləcəyikmi.

Hissə-hissə inteqrallamadan danışdıqda

funksiyalara baxırıq, burada

bu ikisinin hasilini tapırıq,

sadələşdirmək üçün

x və ya kosinus(x)-in
törəməsini tapırıq.

Bu halda isə heç biri sadələşmir.

Onların inteqralını tapdıqda

heç biri mürəkkəb olmur.

Bunlardan biri f(x)-in, digəri isə

g(x)-in törəməsidir.

İstənilən halda bunu hesablaya bilərsiniz.

Gəlin bunu təyin edək.

Deyək ki, f(x) e üstü x-dir.

g(x)-in törəməsi də kosinus(x)-ə
bərabərdir.

Gəlin aşağıdan yazaq.

f(x) e üstü x-ə bərabərdir,

f(x)-in törəməsi də e üstü x-ə
bərabərdir.

e üstü x-in törəməsi elə e üstü x-dir.

g(x)-i də kosinus(x)-ə

bərabər edək.

g(x)-in də inteqralı, yəni

kosinus(x)-in inteqralı

sinus(x)-ə bərabər olacaq.

Gəlin indi hissə-hissə inteqrallamanı
tətbiq edək.

Bu da f(x) vur g(x), yəni

e üstü x vur

sinus(x) olur, çıx inteqralda f(x)-in
törəməsi,

yəni e üstü x-in törəməsi.

e üstü x vur g(x), yəni sinus(x).

Hələ ki həll edib bitirməmişik,

burada qeyri-müəyyən inteqral və

onda da sinus(x) var.

Gəlin baxaq, həll edə biləcəyikmi,

ayrı-ayrı həll edək.

Deyək ki, bunun inteqralını tapmağa
çalışırıq.

e üstü x-in inteqralı, sinus(x) dx.

İndi nə edəcəyik?

Yenə də f(x) e üstü x-ə bərabərdir.

Bunu yenidən təyin edirik,

lakin yenidən eyni cür təyin edəcəyik.

Yəni f(x) bərabərdir e üstü x-ə.

f(x)-in törəməsi onun inteqralına
bərabərdir,

yəni e üstü x-ə.

Bu halda g(x) də

sinus(x)-ə bərabər olur.

İndi beynimizdə bunu əksinə olaraq
təyin edirik.

Gəlin bunu silək,

g(x)-in törəməsi,

sinus(x)-ə bərabərdir,

bu da mənfi kosinus(x)-in inteqralına
bərabər olur.

Kosinusun törəməsi mənfi sinusdur,

mənfi kosinusun törəməsi
müsbət sinusdur.

Gəlin bir daha hissə-hissə inteqrallamanı
tətbiq edək.

Burada f(x) vur g(x) var.

f(x) vur g(x), burada

mənfi qarşıya keçir,

mənfi e üstü x vur kosinus(x) çıx
inteqralda f(x)-in

törəməsi vur g(x).

f(x)-in törəməsi e üstü x olur.

g(x) isə mənfi kosinus(x)-dir.

Bura kosinus(x)-i yazaq,

sonra da mənfini inteqralın

xaricinə çıxara bilərik.

Yəni mənfini çıxırıq.

Bu da müsbət olacaq.

Burada da dx var.

Amma hələ də bitirməmişik.

Burada gördüyünüz kimi

əvvəlki inteqralı

hissə-hissə yazdıq.

Dövr etdik.

Gəlin edək.

Gəlin bunu əvəzləyək,

bura yazaq.

Bunu yenidən əvəzləyək.

Gəlin başqa cür yazaq.

İlkin bərabərliyimizdə bunu əvəzləyək.

Gəlin buna baxaq.

Burada, solda

ilkin inteqralımızı aldıq.

Qeyri-müəyyən inteqralda e üstü x

kosinus(x) dx, e üstü x vur sinus(x)-ə

bərabərdir, çıx bu hissə.

Gəlin bu hissəni çıxaq.

Bunu bu ifadədən çıxırıq.

Mənfi e üstü x kosinus(x) çıxdıqda

müsbət olacaq.

Müsbət e üstü x vur kosinus(x) olacaq.

Bunu çıxırıq.

Bunu bu ifadədən çıxaq.

Çıx inteqralda e üstü x vur

kosinus(x) dx.

Maraqlıdır.

Burada etdiklərimizə bir daha baxın.

Burada etdiyimiz kimi bunu da

hissə-hissə inteqrallama ilə
həll etdik.

Bunu geri əvəzlədik.

Bunu çıxdıq.

Bunu çıxdıqda

bu ifadə alınır.

Burada, tənlikdə iki dəfə

bu ifadə

işlənir.

Bunu bir dəyişən kimi qəbul edib

ona əsasən də həll edə bilərik.

Bunu bərabərliyin hər iki tərəfinə

niyə əlavə etmirik?

Bunu silək.

Gəlin hər iki tərəfə

inteqralda e üstü x vur kosinus(x) dx-i
əlavə edək.

e üstü x vur kosinus(x) dx.

Nə alırıq?

Sol tərəfdə

2 vur, əvvəlki inteqral alınır.

e üstü x vur kosinus(x) dx bu ifadəyə
bərabər olur.

Buna bərabər olur.

Bunu kopyalayıb yapışdırıram.

Yapışdıraq.

Buna bərabər olur.

Bu hissə ixtisar olunur.

İndi bu ifadəni həll edə bilərik.

İnteqralda e üstü x vur kosinus(x) dx.

Hər iki tərəfi buna bölürük,

yəni 2-yə.

Sol tərəfi 2-yə bölsək,

ilkin ifadəmizi almış olacağıq.

İnteqralda e üstü x vur kosinus(x) dx.

Sağ tərəfdə isə buna bərabər olacaq.

e üstü x vur sinus(x) üstəgəl e üstü
x vur kosinus(x) böl 2.

İndi diqqətli olmalıyıq,

çünki bu ilkin ifadəmizin inteqralına
bərabərdir,

ancaq tək bu deyil.

Biz həmçinin xatırlamalıyıq ki,
çətin olsa belə

hissə-hissə inteqrallamanı ik dəfə
istifadə etməliyik.

Bunu geri əvəzlədik.

Burada sabitimiz var.

Bu ifadənin törəməsini alsaq,

sabitin nə olmasına baxmayaraq,

e üstü x vur kosinus(x) alınacaq.

Budur, həll etdik.