-
-
-
Diyelim ki elimde x ve y cinsinden bir fonksiyon var; f eşittir x artı y kare.
-
-
-
Bunu çizmeye çalışayım.
-
-
-
Bu benim y eksenim - çizime biraz derinlik katacağım. Bu da benim x eksenim - x ve y nin kalan negatif kısımlarını böyle çizmekle yetineceğim - işte x eksenim.
-
-
-
-
-
y sıfıra eşitken grafiğini çizecek olsaydım, böyle bir doğru olurdu.
-
-
-
-
-
Diğer tüm değerler için y cinsinden bir parabol çizeceğiz.
-
-
-
y şöyle bir şeye benzeyecek.
-
Pozitif çeyrekte çiziyorum.
-
Şöyle bir şeye benzeyecek.
-
-
-
Aslında eksi y yönünde de parabolün diğer yarısını göreceksiniz, ama şimdi bunu düşünmeyelim.
-
-
-
-
-
Yani yüzeyiniz bu.
-
Şöyle bir şeye benzeyecek.
-
Belki de tekrardan çizmeliyim.
-
Burası tavanımız olacak.
-
Ve bir de x y düzleminde bir izimiz olacak.
-
2 virgül 0 noktasından, x'in 2, y'nin 0 olduğu noktadan başlayacağım.
-
-
-
Bir önceki videoda olduğu gibi bir çember boyunca hareket edeceğim, ama bu defa çemberin yarıçapı 2 olacak.
-
-
-
-
-
Çember üzerinde saat yönünün tersi yönde hareket ediyoruz.
-
Doğru görsellemeniz için bunun x y düzleminde olduğunu hatırlatayım.
-
-
-
Şu nokta 0, 2.
-
Ve y ekseni boyunca geri dönüyorum.
-
İzim böyle, y ekseni boyunca döneceğim, şurada sola sapacağım, burada bir sol daha ve x ekseni boyunca geri geleceğim.
-
-
-
-
-
-
-
Bu yeşil renklerde çizdim.
-
Eğrim böyle.
-
Şimdi bu küçük binanın yüzey alanını hesaplamak istiyorum. Binanın tavanı f x y eşittir x artı y kare olacak. Duvarlarının yüzey alanını bulmak istiyoruz.
-
-
-
-
-
-
-
Burada tabanı x ekseni olan duvar var.
-
Şurada da eğri boyunca duran duvar var, bu ilginç bir duvar.
-
-
-
-
-
Şöyle kıvrılıyor ve sonra y ekseni boyunca gidiyor.
-
-
-
-
-
Şurada yarım parabol şeklinde bir duvar olacak.
-
-
-
-
-
Bu da y ekseni üzerindeki duvar.
-
Sonra x ekseni üzerindeki ön duvar var.
-
Ve bu, yarıçapı 2 olan çemberin parçası üzerindeki duvar.
-
-
-
-
-
Umarım görselleyebiliyorsunuz.
-
Grafik programı kullanmadığım için görsellemek daha zor olabilir.
-
-
-
Bu üç duvarın toplam yüzey alanını bulmak istiyorum.
-
-
-
Bu yüzey alanın, bu eğri üzerinde, f x y, yani x artı y kare, d s'nin çizgi integrali olduğunu söyleyebiliriz. Buradaki d s eğrinin küçük bir parçasıdır.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bu kapalı bir eğri olduğu için, buna kapalı bir çizgi integrali deriz.
-
-
-
Bazen şöyle bir notasyona da rastlayabilirsiniz.
-
-
-
Bunu fizik kitaplarında görürsünüz.
-
-
-
İntegral işaretinin üzerine bir çember çizeriz.
-
Bunun anlamı, kullandığmız eğrinin kapalı olduğudur. Başladığımız yere geri döneriz.
-
-
-
Peki bunu nasıl çözeriz?
-
Eğriyi bulmak iyi bir başlangıç olur.
-
-
-
İşimizi kolaylaştırmak için bunu üç parçaya bölelim ve üç ayrı çizgi integrali bulalım.
-
-
-
-
-
Çünkü bu, pek sürekli bir eğri değil.
-
Birinci kısım.
-
Öncelikle yarıçapı 2 olan çembere bakalım.
-
-
-
Bu izi oluşturmak için, x eşittir 2 kosinüs t ve y eşittir 2 sinüs t diyelim. t 0'dan Pi bölü 2'ye giderse geçen videoda gördüğümüz gibi bu eğriyi çizmiş oluruz. Burada t açımız olacak.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bu, bu izi tanımlar.
-
Eğer bunu nasıl oluşturduğumu anlamakta zorlanıyorsanız, parametrik denklemler videosunu izlemek isteyebilirsiniz.
-
-
-
-
-
Bu, izimizin ilk kısmı.
-
Bu duvarın yüzey alanını hesaplamak için d x d t ve d y d t'yi bulmamız gerekecek.
-
-
-
-
-
Bunu aradan çıkaralım.
-
d x d t eşittir eksi 2 sinüs t ve d y d t eşittir 2 kosinüs t. Yalnızca bunların türevlerini aldım.
-
-
-
-
-
Bunu daha önce defalarca görmüştük.
-
Bu işlemlerde zorlanırsanız, kullanacağımız formülü oluşturduğumuz iki video daha olduğunu unutmayın. Bu turuncu duvarın alanını bulmak için, t eşittir 0'dan t eşittir Pi bölü 2'ye x artı y kare çarpı d s'nin integralini alırız.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x artı y kare her kutucuğun yüksekliğini verir.
-
-
-
Kutucuğun eni ise d s'dir. d s'yi karekök d x d t kare, eksi 2 sinüs t kare, artı y'nin t'ye göre türevi kare, çarpı d t olarak yazabiliriz.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bu, turuncu kısmı verecek, sonra da diğer iki duvarı hesaplarız.
-
-
-
Bunu nasıl sadeleştirebiliriz?
-
-
-
-
-
Her şeyi t cinsinden yazayım.
-
x eşittir 2 kosinüs t.
-
Bunu yazayım.
-
2 kosinüs t artı y, yani 2 sinüs t, ve bunun tamamının karesini alacağız.
-
-
-
Çarpı bu çılgın köklü ifade.
-
Şu anda çok zor bir terstürev veya integral gibi görünüyor, ama o kadar da karmaşık olmadığını birazdan göreceğiz.
-
-
-
Bu, 4 sinüs kare t artı 4 kosinüs kare t olacak.
-
-
-
4'ü dışarı alabiliriz.
-
d t'yi unutmayalım.
-
Şu ifadeyi sadeleştireyim de devamlı yazmak zorunda kalmayayım.
-
-
-
Bu eşittir karekök 4 çarpı sinüs kare t artı kosinüs kare t.
-
-
-
Bunun ne olduğunu biliyoruz, 1.
-
Bunun tamamı karekök 4 olarak sadeleşir, yani 2.
-
-
-
Bunun tamamı 2 olur. Böylece terstürevim kolaylaşır.
-
-
-
Bu, işlemleri bayağı kolaylaştırır.
-
-
-
-
-
-
-
Şunu açıkça belirtmek istiyorum. x ve y için mümkün olan en kolay parametrik denklemleri seçtim.
-
-
-
-
-
Başka parametrik denklemler de seçebilirdim, ama o zaman t'yi ona göre değiştirmem gerekirdi.
-
-
-
Tutarlı olursanız, sonucu her şekilde bulursunuz.
-
-
-
Bu eğri için sadece bir parametrik denklem yoktur, eğri üzerinde hangi hızla gitmek istediğinize göre, farklı denklemler seçebilirsiniz.
-
-
-
-
-
Bu konuda daha derinlemesine bilgi için parametrik fonksiyon videolarını seyredebilirsiniz.
-
-
-
Neyse, bu ifade sadeleşir.
-
Burada 2 var; 2 çarpı kosinüs t, yani 4 kosinüs t.
-
-
-
Şurada da 2 sinüs t, kare, yani 4 sinüs kare t.
-
-
-
-
-
Bunu yine 2 ile çarpmam lazım, yani 8 olur.
-
-
-
8 çarpı sinüs kare t d t.
-
Sinüs kare t'nin terstürevini bulmak zor gibi görünebilir, ama sinüs kare u'nun 1 bölü 2 çarpı 1 eksi kosinüs 2 u olduğunu unutmayın.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bu özdeşliği kullanalım.
-
t'yi deneyelim; sinüs kare t eşittir 1 bölü 2 çarpı 1 eksi kosinüs 2 t.
-
-
-
Böyle yazarsam integrali çözmek çok kolaylaşır.
-
-
-
0'dan Pi bölü 2'ye 4 kosinüs t artı 8 çarpı bu ifadenin integrali.
-
-
-
-
-
8 çarpı bu ifade, bu ifade, sinüs kare t ile aynı şey.
-
-
-
8 çarpı 1 bölü 2 eşittir 4 - 4 çarpı 1 eksi kosinüs 2 t ve d t.
-
-
-
-
-
Bunun terstürevini bulmak artık kolaylaştı.
-
-
-
Terstürevi bulalım.
-
Kosinüs t'nin terstürevi sinüs t.
-
-
-
Sinüsün türevi kosinüs.
-
Bu, 4 sinüs t - skalerler bunu değiştirmez- şimdi bu 4'ü dağıtayım.
-
-
-
4 çarpı 1 yani 4 eksi 4 kosinüs 2 t.
-
4'ün terstürevi 4 t - artı 4 t- ve eksi 4 kosinüs 2 t'nin terstürevi nedir?
-
-
-
Sinüs 2 t olacak.
-
-
-
Sinüs 2 t'nin türevi, 2 kosinüs 2 t olur.
-
Burada bir eksi işareti ve 2 olacak. Şimdi oldu.
-
-
-
Eksi 2 sinüs 2 t'nin türevi nedir?
-
İçteki 2 çarpı eksi 2 eşittir eksi 4.
-
-
-
Ve sinüsün türevi de kosinüs 2 t.
-
-
-
Böylece terstürevi almış olduk. Şimdi bunun 0 ve Pi bölü 2 için değerini bulalım.
-
-
-
-
-
Ne elde ederiz?
-
4 sinüs Pi bölü 2 artı 4 çarpı Pi bölü 2 - yani 2 Pi - eksi 2 sinüs 2 çarpı Pi bölü 2, yani sinüs Pi. Eksi bunun tamamının 0'daki değeri.
-
-
-
-
-
-
-
Bu tarafı kolay, çünkü sinüs 0 eşittir 0.
-
-
-
4 çarpı 0 eşittir 0, sinüs 2 çarpı 0, bu da 0.
-
0'lı kısımlar güzelce sadeleşir.
-
Peki, burada ne kalır?
-
Sinüs Pi bölü 2 - sinüs 90 derece - 1.
-
-
-
ve sinüs Pi eşittir 0, bu 180 derece.
-
Bu da sadeleşir.
-
Böylece 4 artı 2 Pi kalır.
-
Bu ilk kıvrımlı duvarın alanını bulmuş olduk, sorunun en zor kısmı da buydu.
-
-
-
-
-
-
-
Eksenler boyunca uzanan kısımların çok daha kolay bulunduğunu göreceksiniz, ama bunlar için farklı parametrik denklemler bulmamız gerekiyor.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Neyse, buna bir sonraki videoda devam edelim, çünkü bu video biraz uzun oldu.
-
-
-
Diğer iki duvarı buluruz ve hepsini toplarız.
