Line Integral Example 2 (part 1)

Digamos que eu tenha uma função
de x e y; f de x e y

é igual a x mais y quadrado.

Se tentarmos desenhar isso,
vamos ver se consigo

um bom resultado nisso.

Este é o meu eixo y -- vou
usar um pouco de perspectiva aqui.

-- este é o meu eixo x -- eu fiz
os eixos negativos x e y,

poderia fazer isso nesta direção
-- este é meu eixo x aqui

Se eu fosse representar graficamente
quando y é zero, isto será

-- deixa eu desenhá-la
de amarelo -- isto será apenas

uma linha reta parecida
com algo assim.

E para qualquer dado,
teremos

uma parábola em y.

y vai parecer
com algo assim.

Vou apenas nisso
no quadrante positivo.

Isto vai parecer
com algo assim.

Quando você vai para
o y negativo, você verá

a outra metade da
parábola, mas eu não vou

me preocupar
muito com isso.

Então você terá esta superfície

que é parecida com algo assim.

Talvez eu tente desenhar
isso de novo.

Mas este é o teto com
o qual vamos lidar agora.

E vou ter um caminho
no plano xy.

Vou começar no ponto 2,0.

x é igual a 2, y é 0.

Vou "viajar" como fizemos no último vídeo,

vou viajar ao longo do círculo, mas desta vez

o raio do círculo será dois.

Mover no sentido anti-horário do círculo.

isto esta no plano xy, apenas para ser capaz
de visualiza-lo apropriadamente.

este bem aqui e um ponto 0,2.

xxx o eixo y.

este e o meu caminho; vou voltar xxx

eu vejo xxx aqui, vou pegar

outro xxx aqui e xxx

desenhei isso nessas duas xxx de verde.

esse e meu xxx.

e oque quero fazer e xxx a xxx

desse pequeno predio que tem o telhado em f

de xy e igual a x mais y ao quadrado, e quero encontrar

a area da superficied das suas paredes.

voce tera esta parede bem aqui, cuja base e o eixo de x.

voce tera esta parede, que xxx

isto vai parecer com uma parede xxx

neste lado curvo bem ali.

vou fazer minha melhor tentativa para -- isto sera

xxx

havera como uma parede parabolica aqui.

Vou fazer essa parede de trás xxx o eixo y.

Vou fazer isso em laranja,
vou usar o magenta.

Esta é a parede de trás
xxx o eixo y.

Então você tem esta parede
da frente xxx eixo x.

então você tem estranha e
curva cortina ou parede -- fazer

isso talvez em azul -- que vai ao longo
desta curva bem aqui, esta

parte do círculo de raio 2.

Espero que você tenha
conseguido esta visualização.

É um pouco difícil; não
estou usando nenhum programa

gráfico neste momento.

Mas eu quero XXX a área de superfície,

a área de superfície combinada destas três paredes.

E em uma notação muito simples poderíamos
dize, bem, a área da superfície

daquelas paredes -- desta parede mais desta parede mais desta

parede -- isso será igual à integral
de linha ao longo desta

curva, ou ao longo deste contorno -- contudo você pode chamar isso

-- de f de xy, -- isto é x mais y ao quadrado -- ds, onde ds

é apenas um pequeno comprimento
ao longo do contorno.

arrumar o tempo

às vezes vemos esta notação
bem aqui.

Você verá isto com frequência
nos livros de física.

E vamos lidar
com mais um monte.

E vamos colocar um círculo
no intervalo do sinal.

Tudo isso significa que o contorno
com que estamos lidando é um

contorno fechado; nós voltamos
para onde nós começamos.

Mas como resolvemos isso?

Um bom lugar para começar
é encontrar

o contorno mesmo.

E para simplificar isso, vamos
dividi-lo em três

pedaços e isso basicamente é
fazer três

integrais de linha separadas.

Este não é um contorno muito contínuo.

a primeira parte.

vamos fazer a primeira parte da
curva onde nós vamos

ao longo do círculo de raio 2.

isto é muito fácil de construir
se nós temos x -- deixa eu

fazer cada parte do contorno
de uma cor diferente, se eu fizer

essa parte do contorno laranja
-- se dissermos que x é igual a

dois cosseno de t e que y é igual a dois
seno de t e se dissermos que t --

e isto é realmente apenas
xxx o que vimos no último vídeo

-- se dissermos que t --
e que isto de t é a

maior ou igual a zero e
é menor ou igual a pi

sobre dois -- t será o ângulo que

vamos xxx o círculo bem aqui.

Isto vai na verdade
descrever este caminho.

E se você sabe como eu construí
isto é um pouco

confuso, você pode querer
rever o vídeo xxx

equações paramétricas.

Esta é a primeira parte do nosso caminho.

Se quiséssemos apenas encontrar a
área da superfície desta parede

bem aqui, sabemos que vamos
ter que encontrar

dx, dt e dy, dt.

Vamos tirar isso do caminho agora mesmo.

Se dizemos que dx, dt será igual
a menos dois, seno de t,

dy, dy será igual a dois cosseno de t;
apenas as

derivadas desses.

Vimos isso várias vezes antes.

Queremos a área de superfície desta parede laranja, nós podemos

pegar a integral -- e se algo estiver confuso, há

dois vídeos antes deste onde derivamos esta fórmula

-- mas poderíamos pegar a integral de t é igual a zero

a pi sobre dois, nossa função de x mais y ao quadrado e

então vezes o ds.

X mais y ao quadrado dará a altura

de cada pequeno bloco.

xxx

que é ds, mas nós sabemos que podemos reescrever o ds como

a raiz quadrada -- xxx -- de dx da

derivada de x com respeito a t ao quadrado -- então isto é xxx dois

seno de t ao quadrado -- mais a derivada de y com

respeito a t ao quadrado, dt.

Isto nos dará a seção laranja, e então podemos nos preocupar

com as outras duas paredes.

Como podemos simplificar isso?

Bem, isto será igual à integral de zero a pi

sobre dois de x mais y ao quadrado

deixa eu escrever tudo em termos de t.

x é igual a dois cosseno de t;

deixa eu escrever isso.

arrumar o tempo

todas as vezes esse radical maluco.

isso parece uma difícil xxx ou integral to resolver,

mas vamos descobrir que não é tão ruim.

isto será igual a quatro seno ao quadrado de t mais

quatro cosseno ao quadrado de t.

não quero esquecer o dt.

xxx -- deixa eu simplificar esta expressão então eu

não tenho que continuar a reescrevê-la.

isto é o mesmo que a raiz quadrado de quatro vezes

o seno quadrado de t mais o cosseno quadrado de t.

nós sabemos o que é isso: apenas um.

então tudo isso simplifica para a raiz

quadrada de quatro, que é dois.

Então tudo isso simplifica em dois, que é bom para

resolver nossa xxx

Isso simplifica bastante as coisas.

xxx

não quero desperdiçar muito espaço; tenho que resolver

mais duas paredes -- a integral de t é igual a zero xxx

quero esclarecer bem isso.

escolhi a parametrização mais simples

que eu pude para x e y.

mas poderia ter escolhido outras parametrizações, mas

então eu teria que mudar o t em acordo.

Enquanto você for consistente em como você faz isso,

isso deve funcionar.

não há apenas uma parametrização para esta curva;

isso dependo do quão rápido você quer ir

ao longo da curva.

Assista aos vídeos de funções paramétricas se você quiser

se aprofundar mais nisso.

De qualquer forma, isso simplifica.

temos um dois aqui; dois vezes cosseno de t, que é

quatro cosseno de t.

aqui temos dois seno ao quadrado seno de t ao quadrado.

isto é quatro seno ao quadrado de t.

temos que multiplicar esta dois de novo,

isso nos dá um oito.

oito vezes seno ao quadrado de t, dt.

você sabe, seno ao quadrado de t; que parece com

uma coisa difícil de encontrar a xxx, mas podemos

lembrar que seno ao quadrado de, qualquer coisa -- poderíamos dizer que

seno ao quadrado de u é igual a 1/2 vezes um

menos cosseno de 2u.

podemos xxx essa identidade.

posso tentar o t aqui; seno ao quadrado de t é igual a 1/2

vezes um menos cosseno de 2t.

deixa eu reescrever isso desse jeito porque isso tornará

a integral muito mais fácil de resolver.

xxx

xxx

de t mais oito vezes esta coisa.

oito vezes esta coisa; isto é o mesmo que

seno xxx

Oito vezes isto -- oito vezes 1/2 é quatro -- quatro vezes um menos cosseno

de 2t -- xxx -- e

xxx

Agora, este deve ser razoavelmente
xxx conseguir

a antiderivada de f.

Vamos pegar isso.

A antiderivada disso é antiderivada do coseno

de t; este é o seno de t.

A derivada do seno é cosseno.

Isto será quatro seno de t -- os escalares não afetam

nada -- deixa .eu distribuir este quatro

isto é quatro vezes um que é quatro menos quatro cosseno de 2t.

a antiderivada de quatro é 4t -- mais 4t -- e a

antiderivada de quatro cosseno de xxx?

Vamos ver isso será seno de 2t.

A derivada do seno de 2t é dois cosseno de 2t.

Vamos ter um sinal de menos aqui, e colocar um dois

ali, e agora isto vai funcionar.

qual é a derivada de menos dois seno de t?

pegue a derivada de xxx dois vezes

menos dois é menos quatro.

e a derivada do seno de 2t em relação a

2t é cosseno de 2t.

E a derivada do seno de 2t com relação a

2t é cosseno de 2t.

Lá vamos nós; nós resolvemos
nossa antiderivada.

Agora vamos avaliar isso de zero o pi sobre dois.

E o que conseguimos?

Conseguimos quatro seno -- deixa eu
escrever isso, porque não quero

passar muito rápido -- seno de pi sobre
dois mais quatro vezes pi sobre dois --

isto é dois pi menos dois seno de
duas vezes pi sobre dois seno de

pi, e xxx
tudo isso xxx zero

Isto é bem direto porque

seno de zero é zero.

quatro vezes zero é zero, e seno de
dois vezes zero, também é zero.

Tudo com os zeros funcionou muito bem.

E o que temos aqui?

Seno de pi sobre dois -- na minha cabeça,
penso seno de noventa graus;

é mesma coisa -- isto é um.

E seno de pi é zero,
isto é 180 graus.

Então tudo isso cancela.

Ficamos com quatro mais dois pi.

Assim fomos capazes de
descobrir a área desta

primeira parede curva aqui,
e francamente,

esta é a parte mais difícil.

Agora vamos descobrir
a área desta curva.

Você vai descobrir
que essas

outras curvas enquanto elas vão
ao longo dos eixos são muito

mais simples, mas vamos ter que
encontrar

uma parametrização
diferente para isso.

Se pegamos esta curva
bem aqui, vamos fazer

uma parametrização para isso.

Quer saber de uma coisa?

Deixa eu continuar isso no
próximo vídeo, porque eu percebi

que eu me alonguei um pouco.

Vou fazer as próximas duas paredes e
então vamos somar tudo.