< Return to Video

2003 AIME II Problem 1

  • 0:01 - 0:11
    Her er en oppgave fra en amerikansk matematikktest fra 2003. Dette er den første oppgaven i prøven.
  • 0:11 - 0:24
    Produktet N av 3 positive heltall er 6 ganger deres sum, og et av heltallene er summen av de to andre. Finn summen av alle mulige verdier av N.
  • 0:24 - 0:31
    Det er 3 positive heltall.
  • 0:31 - 0:38
    Vi kaller de 3 positive heltallene for a, b og c. De er alle positive, og de er alle heltall.
  • 0:38 - 0:47
    a ganger b ganger c er lik N.
  • 0:47 - 0:57
    Det er lik 6 ganger deres sum.
  • 0:57 - 1:02
    Produktet N av 3 positive heltall er 6 ganger deres sum.
  • 1:02 - 1:10
    6 ganger a pluss b pluss c.
  • 1:10 - 1:20
    1 av heltallene er summen av de andre 2.
  • 1:20 - 1:30
    La oss si, at c er summen av a og b. Vi kunne valgt hvilken som helst, men velger c.
  • 1:30 - 1:37
    a pluss b er lik c. C er summen av a og b.
  • 1:37 - 1:42
    Finn summen av alle mulige verdier for N.
  • 1:42 - 1:47
    La oss endre litt på informasjonen vi har mottatt.
  • 1:47 - 1:54
    Hvis vi kan sette noen begrensninger på tallene, kan vi komme opp med noen løsninger.
  • 1:54 - 2:03
    Vi vet at a pluss b er lik c. Nå kan vi erstatte c alle steder med a pluss b.
  • 2:03 - 2:33
    Dette uttrykket blir a b ganger a pluss b. Det er lik 6 ganger a pluss b pluss c, som jo er a pluss b.
  • 2:33 - 2:37
    På høyre side sier det 6 ganger a pluss b pluss a pluss b.
  • 2:37 - 2:44
    Det er det samme som 6 ganger 2a pluss 2b.
  • 2:44 - 2:46
    Vi har lagt a'ene og b'ene sammen.
  • 2:46 - 2:53
    Nå kan vi faktorisere det. 6 ganger 2 er 12. Nå står det 12 ganger a pluss b.
  • 2:53 - 3:02
    På venstre side står det fortsatt a b gange a pluss b.
  • 3:02 - 3:08
    a b gange a pluss b er lik 12 gange a pluss b.
  • 3:08 - 3:13
    Det er interessant. Vi kan dele begge sider med a pluss b.
  • 3:13 - 3:19
    Vi vet, at a pluss b ikke kan være lik 0. Alle tallene skal jo være positive.
  • 3:19 - 3:27
    Hvis de var 0, og vi deler på de, vil vi få et udefinert svar. Det kan vi ikke.
  • 3:27 - 3:34
    Hvis vi deler begge sider med a pluss b, får vi a gange b er lik 12.
  • 3:34 - 3:38
    Alle opplysningene, vi fikk, er nå blitt redusert til dette.
  • 3:38 - 3:42
    Produktet av a og b er lik 12.
  • 3:42 - 3:50
    Det er et bestemt antall positive heltall, der produktet av to av de gir 12. La oss prøve de.
  • 3:50 - 3:54
    Vi skriver a, b og c.
  • 3:54 - 4:00
    Nå ser vi på produktet deres.
  • 4:00 - 4:04
    Vi skrive produktet a b c her.
  • 4:04 - 4:08
    Hvis a er lik 1, er b 12.
  • 4:08 - 4:12
    c er summen av de 2, så er c 13.
  • 4:12 - 4:22
    1 ganger 12 ganger 13. 12 ganger 12 er 144 pluss 12 er 156.
  • 4:22 - 4:27
    Vi kan sørge for at dette er lik 6 ganger summen.
  • 4:27 - 4:35
    Summen er 26. 26 ganger 6 er 156, så løsningen fungerer.
  • 4:35 - 4:40
    Vi vet, at det fungerer, fordi a b skal være lik 12.
  • 4:40 - 4:42
    La oss prøve en annen.
  • 4:42 - 4:56
    2 ganger 6. Summen er 8, og produktet av alle er 96.
  • 4:56 - 5:17
    Nå prøver vi 3 og 4. 3 pluss 4 er 7. 3 ganger 4 er 12. 12 ganger 7 er 84.
  • 5:17 - 5:24
    Det er ingen andre. Vi kan ikke gå over 12, for da er det ikke heltall, men brøker.
  • 5:24 - 5:27
    Vi kan ikke bruke negative tall, for de må være positive.
  • 5:27 - 5:35
    Det er det. Det er alle de positive heltallene, der produktet er 12. Vi har faktorisert 12.
  • 5:35 - 5:42
    De vil ha oss til å finne summen av alle mulige verdier for N.
  • 5:42 - 5:46
    Det her er alle de mulige verdiene, for N. N er produktet av disse positive heltall.
  • 5:46 - 5:52
    La oss finne summen. 6 pluss 6 er 12. 12 pluss 4 er 16.
  • 5:52 - 6:00
    1 pluss 5 er 6. 6 pluss 9 er 15. 15 pluss 8 er 23.
  • 6:00 - 6:02
    2 pluss 1 er 3.
  • 6:02 - 6:06
    Vårt svar er 336.
Title:
2003 AIME II Problem 1
Description:

more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:08

Norwegian Bokmal subtitles

Revisions