-
Her er en oppgave fra en amerikansk matematikktest fra 2003. Dette er den første oppgaven i prøven.
-
Produktet N av 3 positive heltall er 6 ganger deres sum, og et av heltallene er summen av de to andre. Finn summen av alle mulige verdier av N.
-
Det er 3 positive heltall.
-
Vi kaller de 3 positive heltallene for a, b og c. De er alle positive, og de er alle heltall.
-
a ganger b ganger c er lik N.
-
Det er lik 6 ganger deres sum.
-
Produktet N av 3 positive heltall er 6 ganger deres sum.
-
6 ganger a pluss b pluss c.
-
1 av heltallene er summen av de andre 2.
-
La oss si, at c er summen av a og b. Vi kunne valgt hvilken som helst, men velger c.
-
a pluss b er lik c. C er summen av a og b.
-
Finn summen av alle mulige verdier for N.
-
La oss endre litt på informasjonen vi har mottatt.
-
Hvis vi kan sette noen begrensninger på tallene, kan vi komme opp med noen løsninger.
-
Vi vet at a pluss b er lik c. Nå kan vi erstatte c alle steder med a pluss b.
-
Dette uttrykket blir a b ganger a pluss b. Det er lik 6 ganger a pluss b pluss c, som jo er a pluss b.
-
På høyre side sier det 6 ganger a pluss b pluss a pluss b.
-
Det er det samme som 6 ganger 2a pluss 2b.
-
Vi har lagt a'ene og b'ene sammen.
-
Nå kan vi faktorisere det. 6 ganger 2 er 12. Nå står det 12 ganger a pluss b.
-
På venstre side står det fortsatt a b gange a pluss b.
-
a b gange a pluss b er lik 12 gange a pluss b.
-
Det er interessant. Vi kan dele begge sider med a pluss b.
-
Vi vet, at a pluss b ikke kan være lik 0. Alle tallene skal jo være positive.
-
Hvis de var 0, og vi deler på de, vil vi få et udefinert svar. Det kan vi ikke.
-
Hvis vi deler begge sider med a pluss b, får vi a gange b er lik 12.
-
Alle opplysningene, vi fikk, er nå blitt redusert til dette.
-
Produktet av a og b er lik 12.
-
Det er et bestemt antall positive heltall, der produktet av to av de gir 12. La oss prøve de.
-
Vi skriver a, b og c.
-
Nå ser vi på produktet deres.
-
Vi skrive produktet a b c her.
-
Hvis a er lik 1, er b 12.
-
c er summen av de 2, så er c 13.
-
1 ganger 12 ganger 13. 12 ganger 12 er 144 pluss 12 er 156.
-
Vi kan sørge for at dette er lik 6 ganger summen.
-
Summen er 26. 26 ganger 6 er 156, så løsningen fungerer.
-
Vi vet, at det fungerer, fordi a b skal være lik 12.
-
La oss prøve en annen.
-
2 ganger 6. Summen er 8, og produktet av alle er 96.
-
Nå prøver vi 3 og 4. 3 pluss 4 er 7. 3 ganger 4 er 12. 12 ganger 7 er 84.
-
Det er ingen andre. Vi kan ikke gå over 12, for da er det ikke heltall, men brøker.
-
Vi kan ikke bruke negative tall, for de må være positive.
-
Det er det. Det er alle de positive heltallene, der produktet er 12. Vi har faktorisert 12.
-
De vil ha oss til å finne summen av alle mulige verdier for N.
-
Det her er alle de mulige verdiene, for N. N er produktet av disse positive heltall.
-
La oss finne summen. 6 pluss 6 er 12. 12 pluss 4 er 16.
-
1 pluss 5 er 6. 6 pluss 9 er 15. 15 pluss 8 er 23.
-
2 pluss 1 er 3.
-
Vårt svar er 336.