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L'Hopital's Rule to solve for variable

  • 0:01 - 0:03
    여기 굉장히 흥미로운 문제가 있습니다
  • 0:03 - 0:07
    다음 조건을 만족하는 a를 찾아야 합니다
  • 0:07 - 0:10
    x가 0으로 갈 때
  • 0:10 - 0:11
    √(4＋x)－√(4－ax)
  • 0:11 - 0:14
    √(4＋x)－√(4－ax)
  • 0:14 - 0:18
    전체를 x로 나눈 식의 극한이 3/4이라고 합니다
  • 0:18 - 0:20
    항상 그랬듯이
  • 0:20 - 0:23
    일단 영상을 중지하시고 먼저 풀어 보시길 권합니다
  • 0:23 - 0:24
    그럼 여러분이 몇 번 시도해 보셨다고 가정하고
  • 0:24 - 0:26
    이제 같이 한 번 풀어 봅시다
  • 0:26 - 0:28
    먼저 직접적으로
  • 0:28 - 0:31
    이 극한을 푸려고 시도해 보겠습니다
  • 0:31 - 0:33
    그러니까 제 말은
  • 0:33 - 0:36
    x＝0을 바로 대입해서 계산해 봅시다
  • 0:36 - 0:37
    x＝0을 바로 대입해서 계산해 봅시다
  • 0:37 - 0:40
    x가 0으로 갈 때
  • 0:40 - 0:43
    √(4＋x)－√(4－ax)
  • 0:43 - 0:47
    √(4＋x)－√(4－ax)
  • 0:47 - 0:49
    전체를 x로 나눈 것의 극한입니다
  • 0:49 - 0:51
    그러면 먼저 이 항은
  • 0:51 - 0:52
    그냥 √4가 됩니다
  • 0:52 - 0:54
    4＋0＝4입니다
  • 0:54 - 0:55
    그리고 이 항도 또한
  • 0:55 - 0:56
    √4가 됩니다
  • 0:56 - 0:58
    왜냐하면 a가 어떤 값이든
  • 0:58 - 0:59
    x＝0이니 ax＝0이 되기 때문입니다
  • 0:59 - 1:01
    결국 근호 안에는 4－0이 남게 되어
  • 1:01 - 1:03
    오른쪽 항은 그냥 √4가 됩니다
  • 1:03 - 1:04
    즉 2가 됩니다
  • 1:04 - 1:06
    이 근호 식 전체가 2가 됩니다
  • 1:06 - 1:08
    그냥 x＝0을 대입하셨다면
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    이 부분은 2가 되고
  • 1:10 - 1:12
    이쪽 근호 식 전체도
  • 1:12 - 1:14
    역시 2가 됩니다
  • 1:14 - 1:15
    그러면 분자는 2－2가 됩니다
  • 1:15 - 1:16
    그리고 x가 0으로 갈 때
  • 1:16 - 1:18
    분모도 0으로 갑니다
  • 1:18 - 1:20
    이 결과는
  • 1:20 - 1:23
    부정형임을 알 수 있습니다
  • 1:23 - 1:25
    이렇게 부정형 극한을 만났을 때
  • 1:25 - 1:29
    로피탈의 정리가 적용될 가능성이 있습니다
  • 1:29 - 1:31
    다시 말해 0/0꼴이나 무한대/무한대
    꼴이 나온 경우입니다
  • 1:31 - 1:33
    그러면 이 극한은
  • 1:33 - 1:36
    x가 0으로 갈 때
  • 1:36 - 1:38
    x가 0으로 갈 때
  • 1:38 - 1:41
    x가 0으로 갈 때
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    분자의 도함수 나누기
  • 1:43 - 1:46
    분모의 도함수의 극한과 같습니다
  • 1:46 - 1:49
    그러면 먼저 분자의 도함수는 어떻게 됩니까?
  • 1:49 - 1:50
    아 일단
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    분모의 도함수부터 해 봅시다
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    왜냐하면 x의 도함수는
  • 1:55 - 1:56
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    x에 대해서 x를 미분하면
  • 1:58 - 2:00
    쉽게 1이 됨을 알 수 있기 때문입니다
  • 2:00 - 2:01
    이제 분모를 쉽게 끝냈으니
  • 2:01 - 2:04
    분자의 도함수를 구해 봅시다
  • 2:04 - 2:06
  • 2:06 - 2:09
    이 분자를 x로 미분하면
  • 2:09 - 2:13
    자 일단 첫 번째 항은 (4＋x)의 1/2제곱이고
  • 2:13 - 2:15
    그러므로 첫째 항의 도함수는
  • 2:15 - 2:18
    1/2에다가
  • 2:18 - 2:21
    (4＋x)의 －1/2제곱을 곱한 게 됩니다
  • 2:22 - 2:24
    그리고 비슷한 방식으로 둘째 항의 도함수도 구합시다
  • 2:24 - 2:26
    먼저 여기－a가 있으니 연쇄법칙을 고려해야 합니다
    첫째 항에 연쇄법칙을 적용하면
  • 2:27 - 2:29
    4＋x니까 그냥 1입니다
  • 2:29 - 2:31
    그냥 이 부분에다 1을 곱하면 됐었습니다
  • 2:31 - 2:32
    그런데 둘째 항에서의 연쇄 법칙은
  • 2:32 - 2:36
    4－ax가 있으니까 x에 대해 미분하면 －a가 됩니다
  • 2:36 - 2:38
    그러므로 －a를 곱해 줘야 합니다
  • 2:38 - 2:40
    그러니 －a가 나오고 앞의 －부호와 상쇄되어
  • 2:40 - 2:42
    ＋a가 됩니다
  • 2:42 - 2:45
    ＋a에다가
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    1/2을 곱하고
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    4－ax의
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    －1/2제곱을 곱해 줍니다
  • 2:54 - 2:57
    이 둘째 항의 도함수를 구하기 위해서
  • 2:57 - 2:59
    지수 법칙과 연쇄 법칙을 사용했습니다
  • 2:59 - 3:01
    그럼 이제 이 식은
  • 3:01 - 3:04
    그럼 이제 이 식은
  • 3:04 - 3:07
    어떤 수/1 꼴이 됩니다
  • 3:07 - 3:09
    그러면 분자 부분을 봅시다
    x가 0으로 갈 때
  • 3:09 - 3:12
    이 부분을 보면 4＋0이므로
  • 3:12 - 3:15
    4의 －1/2입니다
  • 3:15 - 3:17
    4의 －1/2제곱이니 1/2입니다
  • 3:17 - 3:19
    4의 1/2제곱은 2이고
  • 3:19 - 3:21
    4의 －1/2제곱은 1/2입니다
  • 3:21 - 3:24
    그리고 x가 0으로 가니까
  • 3:24 - 3:26
    이 부분은 4의 －1/2제곱이 됩니다
  • 3:26 - 3:29
    다시 한 번 1/2이 됩니다
  • 3:29 - 3:30
    그러면 이 식이 결국
  • 3:30 - 3:34
    이 부분은 1/2×1/2이니 1/4이고
  • 3:34 - 3:35
    첫째 항까지 계산했습니다
  • 3:35 - 3:39
    둘째 항을 보면 a×1/2×1/2입니다
  • 3:39 - 3:43
    그러므로 a/4가 됩니다
  • 3:43 - 3:44
    이 식을 다시 써 보면
  • 3:44 - 3:48
    (a＋1)/4가 됩니다
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    이제 이 극한값이 3/4와 같아야 합니다
  • 3:51 - 3:53
    이제 이 극한값이 3/4와 같아야 합니다
  • 3:53 - 3:55
    원래 문제의 조건이었습니다
  • 3:55 - 3:57
    그러니까 (a＋1)/4가 3/4와 같아야 합니다
  • 3:57 - 3:58
    이제 매우 단순합니다
  • 3:58 - 4:00
    a가 얼마가 되는지 쉽게 찾을 수 있습니다
  • 4:00 - 4:03
    a＋1＝3이므로
  • 4:03 - 4:05
    결국 a＝2입니다
  • 4:06 - 4:09
    끝났습니다
Title:
L'Hopital's Rule to solve for variable
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
04:10

Korean subtitles

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