Part 1 of Proof of Heron's Formula
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0:00 - 0:07現在有個三角形
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0:07 - 0:09現在我只知道三角形的邊長
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0:09 - 0:12這條邊長爲a 這條邊長爲b
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0:12 - 0:14這條邊長是c
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0:14 - 0:17問題是求這個三角形的面積
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0:17 - 0:23我們知道三角形的面積
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0:23 - 0:28等於1/2乘以底
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0:28 - 0:30乘以高
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0:30 - 0:33按照我畫的三角形
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0:33 - 0:37底是c
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0:37 - 0:40但高未知
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0:40 - 0:42設高爲h
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0:42 - 0:44但我們不知道h是什麽
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0:44 - 0:49問題是如何算出三角形的面積
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0:49 - 0:52如果你看了最後一個影片就知道應該使用海倫公式
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0:52 - 0:56但現在的思想是要證明這個公式
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0:56 - 0:59現在讓我們僅用勾股定律
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0:59 - 1:03計算出h
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1:03 - 1:06因此一旦我們知道h就可以應用這個公式
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1:06 - 1:11求出這個三角形的面積
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1:11 - 1:13讓我們定義另個變量
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1:13 - 1:19這個技巧你將經常在幾何學中看到
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1:19 - 1:27讓我定義這個爲x 用品紅色表示
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1:27 - 1:30那麽用藍紫色表示c-x 對吧
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1:30 - 1:33整條底邊長爲c
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1:34 - 1:37所以如果這部分是x 那麽這部分就是c-x
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1:37 - 1:41現在已知有兩個直角三角形
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1:41 - 1:43h爲它們的高
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1:43 - 1:46我可以列出兩個勾股定理方程式
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1:46 - 1:49首先 我來做左邊的
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1:49 - 1:58x的平方加h的平方等於a的平方
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1:58 - 2:00這是從左邊三角形得來的
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2:00 - 2:08再看右邊這個三角形
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2:08 - 2:14c-x的平方加上h的平方等於b的平方
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2:14 - 2:16假設a b c已知
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2:16 - 2:19那麽現有就兩個方程兩個未知量
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2:19 - 2:22這兩個未知量是x和h
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2:22 - 2:24記住 因爲我們已經知道c
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2:24 - 2:26h才是我們要求的量
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2:26 - 2:28一旦我們知道h 就可以運用面積公式了
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2:28 - 2:29那麽我們該怎樣做呢
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2:29 - 2:31把h替換來求出x
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2:31 - 2:36我的意思是在這個式子中h平方的表達式
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2:36 - 2:38假如求h的平方 我們只需在兩邊
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2:38 - 2:40都減去x的平方
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2:40 - 2:51可以寫h的平方等於a的平方減去x的平方
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2:51 - 2:55然後我們可以利用這點
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2:55 - 2:56把h的平方替換爲a與x的表達式
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2:56 - 3:05下面的式子爲c-x的平方加h的平方
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3:05 - 3:09我們在上邊的式子已經替換了h
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3:09 - 3:13h就等於 我用這種顏色表示
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3:13 - 3:19a的平方減去x的平方 右邊是b的平方
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3:19 - 3:22我把這的值替換在這
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3:22 - 3:24這個替換在這兒
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3:24 - 3:26現在我們來展開這個式子
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3:26 - 3:34c-x的平方等於c的平方減去2cx加上x的平方
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3:34 - 3:47再加上a的平方減去x的平方等於b的平方
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3:47 - 3:54式子中有x的平方和a-x的平方所以這些消去
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3:54 - 3:59讓我們在等式兩邊加上2cx
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3:59 - 4:03現在我們的等式左邊變爲c的平方加a的平方
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4:03 - 4:09我把2cx加在兩邊你會得到右邊是
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4:09 - 4:14b的平方加上2cx
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4:14 - 4:17總結下 我消去了x的平方並且在
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4:17 - 4:20等式兩邊加上2cx
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4:20 - 4:22我的目的是求出x
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4:22 - 4:26一旦求出x 就可以計算出h再用公式
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4:26 - 4:30爲求x 我們在等式兩邊減去b的平方
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4:30 - 4:41c的平方加a的平方減b的平方等於2cx
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4:41 - 4:46如果兩邊同時除以2c 將得到x等於
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4:46 - 4:53c平方加a平方減b平方的結果再除以2c
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4:53 - 4:55我們便得到了x的值
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4:55 - 4:58現在我們的目標是計算出高
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4:58 - 5:00以便運用1/2乘以底乘以高
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5:00 - 5:03因此我們回到這邊的方程
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5:03 - 5:06來計算出高
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5:06 - 5:09讓我們往下拖動一些
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5:09 - 5:20我們知道h的平方等於a的平方減去x的平方
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5:20 - 5:24讓我們把求得的x值代入這個式子
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5:24 - 5:28所以這邊是減去這個值
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5:28 - 5:37c平方加a平方減b平方後再除以2c 結果再平方
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5:37 - 5:41也就是x的平方 我們算出了高的平方
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5:41 - 5:47h就等於這個結果的平方根
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5:47 - 5:50我來換種顏色
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5:50 - 6:19a平方加c平方減去b平方全都是平方值
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6:19 - 6:23c平方加上a平方減去b平方後
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6:23 - 6:26除以2c
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6:26 - 6:28就是三角形的高
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6:28 - 6:30就是我們開始用到的三角形的高
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6:31 - 6:32讓我們在這複製粘貼爲確保我們能夠
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6:32 - 6:35記住求出的值
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6:35 - 6:46用a b c 來表示高我們便能夠知道高的值
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6:46 - 6:51這是個複雜的公式
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6:51 - 6:55如果我們想要求出面積
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6:55 - 6:58讓我用粉色來做
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6:58 - 7:03這個面積將是1/2乘以底
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7:03 - 7:08底是整個邊長c乘以
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7:08 - 7:14剛才求出的高
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7:14 - 7:21讓我直接複製粘貼
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7:21 - 7:28那麽這就是面積的表達式了
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7:28 - 7:29現在你沒準覺得
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7:29 - 7:32它看起來不像海倫公式
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7:32 - 7:35你是對的它不是特別像
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7:35 - 7:38但我將在下個影片演示給你看 它就是
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7:38 - 7:39海倫公式
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7:39 - 7:43海倫公式更難記些
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7:43 - 7:45我將會運用到很多代數知識來簡化它
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7:45 - 7:47讓它變成海倫公式
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7:47 - 7:51它會起作用的 如果你能記住它
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7:51 - 7:53我覺得海倫公式就會更容易記憶
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7:53 - 7:57假如你能記住這個並且已知a b c
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7:57 - 8:00你就能運用這個公式
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8:00 - 8:03得到三角形的面積
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8:03 - 8:07事實上 這至少能夠證明這和運用海倫公式
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8:07 - 8:09得到的結果相同
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8:09 - 8:17最後一個影片 三角形邊長分別爲9 11和16
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8:17 - 8:26用海倫公式計算的面積等於18乘以7的平方根
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8:26 - 8:29讓我們看看應用這個公式我們能到什麽
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8:29 - 8:41面積等於1/2乘以16乘以
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8:41 - 8:53高c的平方256
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8:53 - 9:00加上a的平方81減去b的平方121
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9:00 - 9:07注意都是平方的 得到的結果除以2c
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9:07 - 9:10也就是32
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9:10 - 9:12讓我們看看是否能夠再簡化點
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9:12 - 9:1981減去121 也就是負40結果就是216除以32
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9:19 - 9:24面積就是1/2乘以16等於8
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9:24 - 9:24讓我們換種顏色
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9:24 - 9:298乘以這個平方根81減121是負40
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9:29 - 9:48256減40是216除以32再平方
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9:48 - 9:52現在就是純計算問題了
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9:52 - 9:54讓我們用計算器算一下
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9:54 - 9:57我想要演示給你們看兩個數字應該是相同的
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9:57 - 10:00打開計算器
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10:00 - 10:08首先求得18乘以7的平方根是多少
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10:08 - 10:11這個結果是用海倫公式算的 我們得到了47.62
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10:11 - 10:13讓我們看看用另種方法是否也是47.62
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10:13 - 10:228乘以81的平方根減去216
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10:22 - 10:34結果除以32再平方 之後再算出平方根
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10:34 - 10:38我們得到了相同的數字
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10:39 - 10:40我之前有點擔心出錯
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10:40 - 10:41因爲我並沒有提前做過運算
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10:41 - 10:44但這下你明白了
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10:44 - 10:45兩個數字相同
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10:45 - 10:47所以我們運用這個公式和海倫公式
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10:47 - 10:49求出的結果相等
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10:49 - 10:51我將在下個影片證明給你們看
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10:51 - 10:58這個式子能夠簡化成海倫公式
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David Chiu added a translation |