WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:06.740
現在有個三角形

00:00:06.740 --> 00:00:08.870
現在我只知道三角形的邊長

00:00:08.870 --> 00:00:11.970
這條邊長爲a 這條邊長爲b

00:00:12.020 --> 00:00:14.150
這條邊長是c

00:00:14.190 --> 00:00:17.440
問題是求這個三角形的面積

00:00:17.440 --> 00:00:23.180
我們知道三角形的面積

00:00:23.180 --> 00:00:27.550
等於1/2乘以底

00:00:27.550 --> 00:00:29.780
乘以高

00:00:29.780 --> 00:00:32.730
按照我畫的三角形

00:00:32.730 --> 00:00:36.590
底是c

00:00:36.590 --> 00:00:39.670
但高未知

00:00:39.670 --> 00:00:42.170
設高爲h

00:00:42.170 --> 00:00:43.650
但我們不知道h是什麽

00:00:43.650 --> 00:00:49.150
問題是如何算出三角形的面積

00:00:49.150 --> 00:00:52.440
如果你看了最後一個影片就知道應該使用海倫公式

00:00:52.440 --> 00:00:55.980
但現在的思想是要證明這個公式

00:00:55.980 --> 00:00:59.430
現在讓我們僅用勾股定律

00:00:59.450 --> 00:01:02.610
計算出h

00:01:02.610 --> 00:01:06.290
因此一旦我們知道h就可以應用這個公式

00:01:06.290 --> 00:01:11.240
求出這個三角形的面積

00:01:11.270 --> 00:01:13.490
讓我們定義另個變量

00:01:13.490 --> 00:01:18.970
這個技巧你將經常在幾何學中看到

00:01:19.000 --> 00:01:27.070
讓我定義這個爲x 用品紅色表示

00:01:27.080 --> 00:01:30.250
那麽用藍紫色表示c-x 對吧

00:01:30.250 --> 00:01:33.470
整條底邊長爲c

00:01:33.530 --> 00:01:37.170
所以如果這部分是x 那麽這部分就是c-x

00:01:37.220 --> 00:01:40.750
現在已知有兩個直角三角形

00:01:40.750 --> 00:01:42.990
h爲它們的高

00:01:43.030 --> 00:01:46.080
我可以列出兩個勾股定理方程式

00:01:46.080 --> 00:01:49.340
首先 我來做左邊的

00:01:49.340 --> 00:01:57.660
x的平方加h的平方等於a的平方

00:01:57.660 --> 00:02:00.150
這是從左邊三角形得來的

00:02:00.150 --> 00:02:08.120
再看右邊這個三角形

00:02:08.120 --> 00:02:13.530
c-x的平方加上h的平方等於b的平方

00:02:13.530 --> 00:02:16.220
假設a b c已知

00:02:16.220 --> 00:02:19.070
那麽現有就兩個方程兩個未知量

00:02:19.070 --> 00:02:22.190
這兩個未知量是x和h

00:02:22.190 --> 00:02:24.350
記住 因爲我們已經知道c

00:02:24.350 --> 00:02:25.580
h才是我們要求的量

00:02:25.580 --> 00:02:27.690
一旦我們知道h 就可以運用面積公式了

00:02:27.690 --> 00:02:28.780
那麽我們該怎樣做呢

00:02:28.810 --> 00:02:31.480
把h替換來求出x

00:02:31.480 --> 00:02:35.710
我的意思是在這個式子中h平方的表達式

00:02:35.710 --> 00:02:38.280
假如求h的平方 我們只需在兩邊

00:02:38.280 --> 00:02:40.100
都減去x的平方

00:02:40.100 --> 00:02:50.910
可以寫h的平方等於a的平方減去x的平方

00:02:50.910 --> 00:02:54.820
然後我們可以利用這點

00:02:54.820 --> 00:02:55.950
把h的平方替換爲a與x的表達式

00:02:55.950 --> 00:03:05.190
下面的式子爲c-x的平方加h的平方

00:03:05.240 --> 00:03:08.750
我們在上邊的式子已經替換了h

00:03:08.750 --> 00:03:12.520
h就等於 我用這種顏色表示

00:03:12.520 --> 00:03:19.250
a的平方減去x的平方 右邊是b的平方

00:03:19.250 --> 00:03:21.700
我把這的值替換在這

00:03:21.700 --> 00:03:24.090
這個替換在這兒

00:03:24.090 --> 00:03:25.640
現在我們來展開這個式子

00:03:25.640 --> 00:03:33.670
c-x的平方等於c的平方減去2cx加上x的平方

00:03:33.670 --> 00:03:47.200
再加上a的平方減去x的平方等於b的平方

00:03:47.200 --> 00:03:53.770
式子中有x的平方和a-x的平方所以這些消去

00:03:53.770 --> 00:03:58.830
讓我們在等式兩邊加上2cx

00:03:58.830 --> 00:04:03.210
現在我們的等式左邊變爲c的平方加a的平方

00:04:03.210 --> 00:04:09.200
我把2cx加在兩邊你會得到右邊是

00:04:09.220 --> 00:04:13.870
b的平方加上2cx

00:04:13.870 --> 00:04:16.620
總結下 我消去了x的平方並且在

00:04:16.620 --> 00:04:19.600
等式兩邊加上2cx

00:04:19.600 --> 00:04:21.850
我的目的是求出x

00:04:21.850 --> 00:04:25.660
一旦求出x 就可以計算出h再用公式

00:04:25.660 --> 00:04:30.070
爲求x 我們在等式兩邊減去b的平方

00:04:30.070 --> 00:04:40.510
c的平方加a的平方減b的平方等於2cx

00:04:40.510 --> 00:04:45.680
如果兩邊同時除以2c 將得到x等於

00:04:45.680 --> 00:04:52.900
c平方加a平方減b平方的結果再除以2c

00:04:52.900 --> 00:04:54.570
我們便得到了x的值

00:04:54.570 --> 00:04:58.060
現在我們的目標是計算出高

00:04:58.060 --> 00:05:00.000
以便運用1/2乘以底乘以高

00:05:00.000 --> 00:05:03.410
因此我們回到這邊的方程

00:05:03.410 --> 00:05:06.440
來計算出高

00:05:06.440 --> 00:05:09.110
讓我們往下拖動一些

00:05:09.140 --> 00:05:20.100
我們知道h的平方等於a的平方減去x的平方

00:05:20.120 --> 00:05:23.590
讓我們把求得的x值代入這個式子

00:05:23.630 --> 00:05:27.500
所以這邊是減去這個值

00:05:27.500 --> 00:05:36.620
c平方加a平方減b平方後再除以2c 結果再平方

00:05:36.640 --> 00:05:40.580
也就是x的平方 我們算出了高的平方

00:05:40.640 --> 00:05:47.140
h就等於這個結果的平方根

00:05:47.140 --> 00:05:49.880
我來換種顏色

00:05:49.920 --> 00:06:18.570
a平方加c平方減去b平方全都是平方值

00:06:18.610 --> 00:06:23.060
c平方加上a平方減去b平方後

00:06:23.110 --> 00:06:25.860
除以2c

00:06:25.910 --> 00:06:27.930
就是三角形的高

00:06:27.930 --> 00:06:30.490
就是我們開始用到的三角形的高

00:06:30.550 --> 00:06:32.210
讓我們在這複製粘貼爲確保我們能夠

00:06:32.210 --> 00:06:34.530
記住求出的值

00:06:34.530 --> 00:06:46.400
用a b c 來表示高我們便能夠知道高的值

00:06:46.400 --> 00:06:51.370
這是個複雜的公式

00:06:51.370 --> 00:06:55.140
如果我們想要求出面積

00:06:55.140 --> 00:06:57.850
讓我用粉色來做

00:06:57.850 --> 00:07:03.250
這個面積將是1/2乘以底

00:07:03.250 --> 00:07:07.760
底是整個邊長c乘以

00:07:07.820 --> 00:07:13.510
剛才求出的高

00:07:13.540 --> 00:07:21.020
讓我直接複製粘貼

00:07:21.020 --> 00:07:27.990
那麽這就是面積的表達式了

00:07:28.030 --> 00:07:29.120
現在你沒準覺得

00:07:29.170 --> 00:07:31.530
它看起來不像海倫公式

00:07:31.530 --> 00:07:35.350
你是對的它不是特別像

00:07:35.350 --> 00:07:37.570
但我將在下個影片演示給你看 它就是

00:07:37.570 --> 00:07:39.230
海倫公式

00:07:39.230 --> 00:07:43.000
海倫公式更難記些

00:07:43.040 --> 00:07:45.480
我將會運用到很多代數知識來簡化它

00:07:45.480 --> 00:07:47.260
讓它變成海倫公式

00:07:47.260 --> 00:07:50.730
它會起作用的 如果你能記住它

00:07:50.730 --> 00:07:52.750
我覺得海倫公式就會更容易記憶

00:07:52.750 --> 00:07:56.680
假如你能記住這個並且已知a b c

00:07:56.680 --> 00:07:59.840
你就能運用這個公式

00:07:59.900 --> 00:08:03.290
得到三角形的面積

00:08:03.330 --> 00:08:06.700
事實上 這至少能夠證明這和運用海倫公式

00:08:06.700 --> 00:08:09.110
得到的結果相同

00:08:09.160 --> 00:08:16.770
最後一個影片 三角形邊長分別爲9 11和16

00:08:16.810 --> 00:08:26.060
用海倫公式計算的面積等於18乘以7的平方根

00:08:26.090 --> 00:08:28.600
讓我們看看應用這個公式我們能到什麽

00:08:28.650 --> 00:08:40.540
面積等於1/2乘以16乘以

00:08:40.540 --> 00:08:52.610
高c的平方256

00:08:52.680 --> 00:08:59.970
加上a的平方81減去b的平方121

00:09:00.040 --> 00:09:06.700
注意都是平方的 得到的結果除以2c

00:09:06.700 --> 00:09:09.700
也就是32

00:09:09.700 --> 00:09:11.920
讓我們看看是否能夠再簡化點

00:09:11.970 --> 00:09:18.770
81減去121 也就是負40結果就是216除以32

00:09:18.860 --> 00:09:23.540
面積就是1/2乘以16等於8

00:09:23.540 --> 00:09:24.400
讓我們換種顏色

00:09:24.400 --> 00:09:29.430
8乘以這個平方根81減121是負40

00:09:29.470 --> 00:09:47.950
256減40是216除以32再平方

00:09:47.950 --> 00:09:51.790
現在就是純計算問題了

00:09:51.840 --> 00:09:53.790
讓我們用計算器算一下

00:09:53.830 --> 00:09:56.750
我想要演示給你們看兩個數字應該是相同的

00:09:56.780 --> 00:09:59.830
打開計算器

00:09:59.870 --> 00:10:07.820
首先求得18乘以7的平方根是多少

00:10:07.820 --> 00:10:11.040
這個結果是用海倫公式算的 我們得到了47.62

00:10:11.040 --> 00:10:13.150
讓我們看看用另種方法是否也是47.62

00:10:13.150 --> 00:10:21.520
8乘以81的平方根減去216

00:10:21.570 --> 00:10:34.400
結果除以32再平方 之後再算出平方根

00:10:34.400 --> 00:10:38.490
我們得到了相同的數字

00:10:38.530 --> 00:10:39.940
我之前有點擔心出錯

00:10:39.940 --> 00:10:40.830
因爲我並沒有提前做過運算

00:10:41.100 --> 00:10:43.760
但這下你明白了

00:10:43.760 --> 00:10:44.900
兩個數字相同

00:10:44.940 --> 00:10:46.880
所以我們運用這個公式和海倫公式

00:10:46.880 --> 00:10:48.560
求出的結果相等

00:10:48.560 --> 00:10:51.350
我將在下個影片證明給你們看

00:10:51.410 --> 00:10:57.990
這個式子能夠簡化成海倫公式