現在有個三角形
現在我只知道三角形的邊長
這條邊長爲a 這條邊長爲b
這條邊長是c
問題是求這個三角形的面積
我們知道三角形的面積
等於1/2乘以底
乘以高
按照我畫的三角形
底是c
但高未知
設高爲h
但我們不知道h是什麽
問題是如何算出三角形的面積
如果你看了最後一個影片就知道應該使用海倫公式
但現在的思想是要證明這個公式
現在讓我們僅用勾股定律
計算出h
因此一旦我們知道h就可以應用這個公式
求出這個三角形的面積
讓我們定義另個變量
這個技巧你將經常在幾何學中看到
讓我定義這個爲x 用品紅色表示
那麽用藍紫色表示c-x 對吧
整條底邊長爲c
所以如果這部分是x 那麽這部分就是c-x
現在已知有兩個直角三角形
h爲它們的高
我可以列出兩個勾股定理方程式
首先 我來做左邊的
x的平方加h的平方等於a的平方
這是從左邊三角形得來的
再看右邊這個三角形
c-x的平方加上h的平方等於b的平方
假設a b c已知
那麽現有就兩個方程兩個未知量
這兩個未知量是x和h
記住 因爲我們已經知道c
h才是我們要求的量
一旦我們知道h 就可以運用面積公式了
那麽我們該怎樣做呢
把h替換來求出x
我的意思是在這個式子中h平方的表達式
假如求h的平方 我們只需在兩邊
都減去x的平方
可以寫h的平方等於a的平方減去x的平方
然後我們可以利用這點
把h的平方替換爲a與x的表達式
下面的式子爲c-x的平方加h的平方
我們在上邊的式子已經替換了h
h就等於 我用這種顏色表示
a的平方減去x的平方 右邊是b的平方
我把這的值替換在這
這個替換在這兒
現在我們來展開這個式子
c-x的平方等於c的平方減去2cx加上x的平方
再加上a的平方減去x的平方等於b的平方
式子中有x的平方和a-x的平方所以這些消去
讓我們在等式兩邊加上2cx
現在我們的等式左邊變爲c的平方加a的平方
我把2cx加在兩邊你會得到右邊是
b的平方加上2cx
總結下 我消去了x的平方並且在
等式兩邊加上2cx
我的目的是求出x
一旦求出x 就可以計算出h再用公式
爲求x 我們在等式兩邊減去b的平方
c的平方加a的平方減b的平方等於2cx
如果兩邊同時除以2c 將得到x等於
c平方加a平方減b平方的結果再除以2c
我們便得到了x的值
現在我們的目標是計算出高
以便運用1/2乘以底乘以高
因此我們回到這邊的方程
來計算出高
讓我們往下拖動一些
我們知道h的平方等於a的平方減去x的平方
讓我們把求得的x值代入這個式子
所以這邊是減去這個值
c平方加a平方減b平方後再除以2c 結果再平方
也就是x的平方 我們算出了高的平方
h就等於這個結果的平方根
我來換種顏色
a平方加c平方減去b平方全都是平方值
c平方加上a平方減去b平方後
除以2c
就是三角形的高
就是我們開始用到的三角形的高
讓我們在這複製粘貼爲確保我們能夠
記住求出的值
用a b c 來表示高我們便能夠知道高的值
這是個複雜的公式
如果我們想要求出面積
讓我用粉色來做
這個面積將是1/2乘以底
底是整個邊長c乘以
剛才求出的高
讓我直接複製粘貼
那麽這就是面積的表達式了
現在你沒準覺得
它看起來不像海倫公式
你是對的它不是特別像
但我將在下個影片演示給你看 它就是
海倫公式
海倫公式更難記些
我將會運用到很多代數知識來簡化它
讓它變成海倫公式
它會起作用的 如果你能記住它
我覺得海倫公式就會更容易記憶
假如你能記住這個並且已知a b c
你就能運用這個公式
得到三角形的面積
事實上 這至少能夠證明這和運用海倫公式
得到的結果相同
最後一個影片 三角形邊長分別爲9 11和16
用海倫公式計算的面積等於18乘以7的平方根
讓我們看看應用這個公式我們能到什麽
面積等於1/2乘以16乘以
高c的平方256
加上a的平方81減去b的平方121
注意都是平方的 得到的結果除以2c
也就是32
讓我們看看是否能夠再簡化點
81減去121 也就是負40結果就是216除以32
面積就是1/2乘以16等於8
讓我們換種顏色
8乘以這個平方根81減121是負40
256減40是216除以32再平方
現在就是純計算問題了
讓我們用計算器算一下
我想要演示給你們看兩個數字應該是相同的
打開計算器
首先求得18乘以7的平方根是多少
這個結果是用海倫公式算的 我們得到了47.62
讓我們看看用另種方法是否也是47.62
8乘以81的平方根減去216
結果除以32再平方 之後再算出平方根
我們得到了相同的數字
我之前有點擔心出錯
因爲我並沒有提前做過運算
但這下你明白了
兩個數字相同
所以我們運用這個公式和海倫公式
求出的結果相等
我將在下個影片證明給你們看
這個式子能夠簡化成海倫公式