< Return to Video

Phép biến đổi Laplace giải phương trình 2

  • 0:01 - 0:02
    Chào bạn.
  • 0:02 - 0:04
    Cuối cùng, ta cũng sử dụng Phép biến đổi Laplace để làm cái gì đó
  • 0:04 - 0:05
    hữu ích.
  • 0:05 - 0:08
    Trong phần đầu tiên của bài toán, ta đã có
  • 0:08 - 0:10
    phương trình vi phân minh bạch.
  • 0:10 - 0:12
    Và mình biết bạn đang khá là bứt rứt bởi vì
  • 0:12 - 0:14
    bạn nghĩ rằng nó quả là 1 bài toán dễ chỉ sử dụng
  • 0:14 - 0:15
    đặc điểm của phương trình.
  • 0:15 - 0:17
    Tại sao ta lại xài phép biến đổi Laplace?
  • 0:17 - 0:18
    Mình chỉ muốn cho bạn thấy là chúng có thể giải các
  • 0:18 - 0:21
    bài toán này. Nhưng sau này, nó sẽ còn nhiều dạng bài tập
  • 0:21 - 0:25
    mà thành thật thì các phương pháp truyền thống sẽ không
  • 0:25 - 0:26
    hay bằng phép biến đổi Laplace.
  • 0:26 - 0:28
    Ta đã giải nó như thế nào?
  • 0:28 - 0:30
    Ta chỉ lấy phép biến đổi Laplace của cả 2 vế
  • 0:30 - 0:31
    của phương trình.
  • 0:31 - 0:34
    Ta có tất cả những cái rối rắm này.
  • 0:34 - 0:36
    Ta đã sử dụng tính chất đạo hàm của các hàm số,
  • 0:36 - 0:38
    khi bạn lấy phép biến đổi Laplace, và ta có,
  • 0:38 - 0:40
    sau khi giải rất nhiều đại số, ta đã có nó.
  • 0:40 - 0:43
    Ta có phép biến đổi Laplace của y = cái này.
  • 0:43 - 0:45
    Ta chỉ lấy phép biến đổi Laplace của cả 2 vế và
  • 0:45 - 0:47
    ứng dụng đại số.
  • 0:47 - 0:51
    Bây giờ, nhiệm vụ của ta trong video này là tìm ra
  • 0:51 - 0:53
    biến đổi Laplace của y là gì?
  • 0:53 - 0:55
    Thật ra, những gì mà ta đang làm là
  • 0:55 - 0:58
    lấy biến đổi Laplace ngược của cả 2 vế của
  • 0:58 - 1:00
    phương trình.
  • 1:00 - 1:03
    Một cách khác để nói về nó là, nếu ta lấy
  • 1:03 - 1:05
    Phép biến đổi Laplace ngược của cả 2 vế,
  • 1:05 - 1:09
    y sẽ bằng Laplace ngược
  • 1:09 - 1:12
    của cái này.
  • 1:12 - 1:19
    2s cộng 13, trên s bình cộng 5s cộng 6.
  • 1:19 - 1:22
    Cuối cùng, ta sẽ thực chất học định nghĩa chính thức của
  • 1:22 - 1:24
    biến đổi Laplace ngược.
  • 1:24 - 1:27
    Làm sao để đi từ miền s đến miền t?
  • 1:27 - 1:28
    Hoặc làm sao để đi từ miền tần số
  • 1:28 - 1:30
    đến miền thời gian?
  • 1:30 - 1:32
    Ta sẽ không bận tâm nó ngay bây giờ.
  • 1:32 - 1:34
    Những gì ta sẽ làm là lấy cái này ở dạng
  • 1:34 - 1:37
    mà ta nhận ra là,
  • 1:37 - 1:38
    ồ, mình biết những hàm số này.
  • 1:38 - 1:40
    Đó là phép biến đối Laplace của cái gì đó.
  • 1:40 - 1:42
    Sau đó, ta sẽ biết y là gì.
  • 1:42 - 1:44
    Hãy làm xem sao nhé.
  • 1:44 - 1:48
    Vậy, ta sẽ sử dụng cái mà bạn có thể
  • 1:48 - 1:51
    chưa từng sử dụng từ hồi Đại Số 2, mà mình nghĩa là khi
  • 1:51 - 1:53
    nó được dạy ở lớp 8,9
  • 1:53 - 1:54
    hoặc 10.
  • 1:54 - 1:56
    Và bây giờ, cuối cùng bạn sẽ thấy nó trong phương trình vi phân mà thật ra
  • 1:56 - 1:58
    nó sẽ có ích.
  • 1:58 - 1:58
    Để mình ghi nó.
  • 1:58 - 2:02
    Ta sẽ khai triển thành phân thức đơn giản.
  • 2:02 - 2:05
    Và mình sẽ làm nó đầu tiên, trong trường hợp bạn không nhớ nó.
  • 2:05 - 2:09
    Hãy khai triển phần phía dưới này.
  • 2:09 - 2:12
    Và bạn sẽ biết mình sẽ làm gì với nó.
  • 2:12 - 2:19
    Vậy, nếu mình khai triển nó, mình được s cộng 2 nhân s cộng 3.
  • 2:19 - 2:25
    Và điều ta muốn làm là viết lại phân số này dưới dạng
  • 2:25 - 2:29
    tổng của 2, mình đoán là bạn có thể
  • 2:29 - 2:31
    gọi nó là phân thức đơn giản.
  • 2:31 - 2:33
    Mình nghĩ đó là tại sao nó được gọi là khai triển thành phân thức đơn giản .
  • 2:33 - 2:41
    Vậy, ta muốn viết nó dưới dạng tổng của A trên s cộng 2, cộng B
  • 2:41 - 2:43
    trên s cộng 3.
  • 2:43 - 2:48
    Nếu ta có thể làm nó,
  • 2:48 - 2:54
    ta biết là những gì nhìn như thế này
  • 2:54 - 2:57
    là Phép biến đổi Laplace của các hàm số mà
  • 2:57 - 2:58
    ta đã giải rồi.
  • 2:58 - 3:01
    Mình sẽ ôn lại nó trong một chút nữa.
  • 3:01 - 3:04
    Làm sao để ta tìm A và B?
  • 3:04 - 3:07
    Nếu ta thực chất cộng A và B,
  • 3:07 - 3:13
    hãy làm nó bên này, nếu ta nói A.
  • 3:13 - 3:16
    nếu ta cho nó có mẫu số chung, tức là cái này,
  • 3:16 - 3:21
    s cộng 2 nhân s cộng 3.
  • 3:21 - 3:23
    A sẽ thành gì?
  • 3:23 - 3:25
    Ta phải nhân A nhân s cộng 3 đúng không?
  • 3:25 - 3:29
    Vậy, ta sẽ có As cộng 3A.
  • 3:32 - 3:34
    Cái này, như mình đang ghi lại, bằng với
  • 3:34 - 3:35
    A trên s cộng 2.
  • 3:35 - 3:39
    Bạn có thể triệu tiêu s cộng 3 ở phía trên và dưới.
  • 3:39 - 3:41
    Bây giờ, ta sẽ cộng B vào.
  • 3:41 - 3:46
    Mình sẽ làm nó bằng màu khác.
  • 3:46 - 3:48
    Nếu ta có nó là mẫu số, ta có thể nhân
  • 3:48 - 3:49
    tử số và mẫu số
  • 3:49 - 3:51
    cho s cộng 2.
  • 3:51 - 3:59
    Để có B nhân s, cộng 2B, và nó sẽ bằng
  • 3:59 - 4:01
    cái này
  • 4:01 - 4:03
    Mình đã cộng 2 phân số này lại.
  • 4:03 - 4:04
  • 4:04 - 4:06
    Đó là Đại Số 2.
  • 4:06 - 4:07
    Thật ra, mình nghĩ mình nên làm 1 video
  • 4:07 - 4:08
    về nó.
  • 4:08 - 4:11
    Nhưng nó sẽ bằng cái này.
  • 4:11 - 4:21
    2s cộng B, tất cả chúng trên s cộng 2 nhân s cộng 3.
  • 4:21 - 4:23
    Chú ý là ở tất cả phương trình vi phân, phần khó nhất
  • 4:23 - 4:25
    sẽ luôn là phần tính toán.
  • 4:25 - 4:27
    Bây giờ, mình cần ghép chúng lại.
  • 4:27 - 4:29
    Hãy cộng các số hạng s này.
  • 4:29 - 4:31
    Và ta có thể nói là các tử số phải bằng nhau,
  • 4:31 - 4:33
    tại vì các mẫu số bằng nhau.
  • 4:33 - 4:52
    Ta có A cộng Bs cộng 3A cộng 2B bằng 2s cộng B.
  • 4:52 - 4:55
    Vậy hệ số trên s. ở vế bên phải, là 2.
  • 4:55 - 4:58
    Hệ số ở vế bên trái là A cộng B.
  • 4:58 - 5:02
    Ta biết là A cộng B = 2.
  • 5:03 - 5:08
    Và ở vế bên phải, ta thấy 3A cộng 2B phải
  • 5:08 - 5:11
    bằng với, ồ cái này là 13.
  • 5:11 - 5:12
    Mình đã nói B sao?
  • 5:12 - 5:14
    Cái này là số 13.
  • 5:14 - 5:16
    Số 13.
  • 5:16 - 5:17
    Nó nhìn giống như chữ B.
  • 5:17 - 5:19
    Cái đó là 2s cộng 13.
  • 5:19 - 5:29
    Vậy ở vế bên phải, mình có, nó là 3A cộng 2B
  • 5:29 - 5:32
    bằng 13.
  • 5:32 - 5:35
    Bây giờ, ta có 2 phương trình với 2 ẩn.
  • 5:35 - 5:36
    và ta có gì?
  • 5:36 - 5:37
    Mình biết là nó trông rất dài dòng nhưng, bạn sẽ thấy
  • 5:37 - 5:38
    thỏa mãn cuối cùng.
  • 5:38 - 5:40
    vì bạn sẽ thật sự giải bài toán
  • 5:40 - 5:41
    với biến đổi Laplace.
  • 5:41 - 5:44
    Hãy nhân phương trình ở trên với 2, hoặc là
  • 5:44 - 5:44
    trừ 2.
  • 5:44 - 5:50
    Ta có trừ 2A trừ 2B bằng trừ 4.
  • 5:50 - 5:54
    Sau đó, ta có, cộng 2 phương trình, bạn có A bằng với
  • 5:54 - 5:57
    cái này triệt tiêu, A bằng 9.
  • 5:57 - 5:58
  • 5:58 - 6:01
    Nếu A = 9, B sẽ bằng gì?
  • 6:01 - 6:06
    B = 9 cộng gì thì bằng 2?
  • 6:06 - 6:09
    hoặc 2 trừ 9 là trừ 7.
  • 6:09 - 6:12
    Và ta đã rút gọn được nó.
  • 6:12 - 6:16
    Vì bây giờ, ta có thể ghi toàn bộ biểu thức này lại dưới dạng
  • 6:16 - 6:23
    biến đổi Laplace của y bằng với A trên s cộng 2 là,
  • 6:23 - 6:34
    9 trên s cộng 2, trừ 7 trên s cộng 3.
  • 6:34 - 6:39
    Hoặc 1 cách khác để ghi nó, ta có thể ghi nó bằng với
  • 6:39 - 6:48
    9 nhân 1 trên s cộng 2, trừ 7 nhân 1 trên s cộng 3.
  • 6:48 - 6:50
    Tại sao mình lại làm cái này?
  • 6:50 - 6:52
    Mong là bạn sẽ nhận ra là cái này thật ra là
  • 6:52 - 6:56
    phép biến đổi Laplace thứ 2 mà mình đã tìm ra.
  • 6:58 - 6:59
    Nó là gì?
  • 6:59 - 7:02
    Mình sẽ ghi nó xuống đây để bạn nhớ nó.
  • 7:02 - 7:12
    Nó là phép biến đổi Laplace của e mũ at, bằng
  • 7:12 - 7:15
    1 trên s trừ a.
  • 7:15 - 7:18
    Nó là phép biến đổi Laplace thứ 2 mà ta đã tìm ra.
  • 7:18 - 7:21
    Nó thú vị đấy chứ.
  • 7:21 - 7:23
    Nó là Laplace của gì?
  • 7:23 - 7:25
    Nếu ta biến đổi Laplace ngược,
  • 7:25 - 7:27
    để mình nhất quán.
  • 7:27 - 7:33
    Nó có nghĩa là cái này là biến đổi Laplace của y,
  • 7:33 - 7:36
    bằng 9 nhân biến đổi Laplace của cái gì?
  • 7:36 - 7:39
    Nếu mình đối sánh mẫu, nếu cái này là s trừ a,
  • 7:39 - 7:41
    thì a sẽ là trừ 2.
  • 7:41 - 7:45
    Vậy 9 nhân biến đổi Laplace của
  • 7:45 - 7:49
    e mũ trừ 2t.
  • 7:49 - 7:50
    Nó có hợp lí không?
  • 7:50 - 7:53
    Lấy nó để vào đây, cái mà ta đã tìm ra, và bạn có
  • 7:53 - 7:55
    1 trên s cộng 2.
  • 7:55 - 7:57
    Để mình dọn dẹp chỗ này 1 chút
  • 7:57 - 7:59
    vì mình sẽ cần thêm không gian.
  • 8:02 - 8:03
  • 8:03 - 8:06
    Mình sẽ để nó ở đó tại vì ta vẫn sẽ dùng nó.
  • 8:06 - 8:11
    Và rồi, ta có trừ 7 nhân, cái này là biến đổi Laplace
  • 8:11 - 8:12
    của cái gì?
  • 8:12 - 8:18
    Nó là biến đổi Laplace của e mũ trừ 3t.
  • 8:20 - 8:25
    Đối sánh mẫu này, nếu bạn thấy nó,
  • 8:25 - 8:27
    bạn sẽ nhìn vào bảng biến đổi Laplace, nếu bạn không nhớ.
  • 8:27 - 8:29
    bạn sẽ thấy nó.
  • 8:29 - 8:31
    Bạn sẽ nhận ra là nó rất giống với cái này.
  • 8:31 - 8:33
    Mình chỉ cần tìm ra a là gì.
  • 8:33 - 8:34
    Mình có s cộng 3.
  • 8:34 - 8:35
    Mình có s trừ a.
  • 8:35 - 8:38
    Trong trường hợp này, a bằng với trừ 3.
  • 8:38 - 8:40
    Nếu a bằng trừ 3, cái này là biến đổi Laplace
  • 8:40 - 8:43
    của e mũ trừ 3t.
  • 8:43 - 8:46
    Bây giờ, ta có thể biến đổi Laplace ngược. thật ra.
  • 8:46 - 8:47
    trước khi ta làm nó,
  • 8:47 - 8:50
    Ta biết là biến đổi Laplace là
  • 8:50 - 8:55
    biến đổi tuyến tính và thật ra, bây giờ, mình có thể xóa phần dưới này,
  • 8:55 - 8:57
    ta biết là biến đổi Laplace là biến đổi tuyến tính.
  • 8:57 - 9:00
    Vậy, ta có thể ghi nó.
  • 9:00 - 9:02
    Bình thường thì bạn không cần phải làm hết những bước này đâu.
  • 9:02 - 9:06
    Mình chỉ muốn đảm bảo là bạn hiểu tụi mình đang làm những gì.
  • 9:06 - 9:08
    Vậy, ta có thể nói là cái này giống với biến đổi Laplace
  • 9:08 - 9:18
    của 9e mũ trừ 2t, trừ 7e mũ trừ 3t.
  • 9:19 - 9:21
    Bây giờ, ta có cái gì đó thú vị.
  • 9:21 - 9:23
    Biến đổi Laplace của y bằng với biến đổi Laplace
  • 9:23 - 9:25
    của cái này.
  • 9:25 - 9:31
    Trong trường hợp này, y sẽ phải bằng 9e mũ
  • 9:31 - 9:35
    trừ 2t, trừ 7e mũ trừ 3t.
  • 9:35 - 9:38
    Mình chưa chứng minh với bạn, nhưng biến đổi Laplace thật ra là
  • 9:38 - 9:40
    phép biến đổi 1:1.
  • 9:40 - 9:43
    Nghĩa là nếu biến đổi Laplace của 1 hàm số, nếu mình lấy 1 hàm số
  • 9:43 - 9:46
    với biến đổi Laplace, và rồi nếu mình
  • 9:46 - 9:48
    lấy biến đổi Laplace ngược, hàm số duy nhất
  • 9:48 - 9:50
    mà biến đổi Laplace của nó
  • 9:50 - 9:52
    là hàm số ban đầu.
  • 9:52 - 9:55
    Nó không phải là 2 hàm số khác nhau có thể có chung
  • 9:55 - 9:56
    biến đổi Laplace.
  • 9:56 - 9:59
    Một vài thứ để nghĩ về nó.
  • 9:59 - 10:02
    Chú ý là nếu ta có cái gì đó trông có vẻ như là
  • 10:02 - 10:05
    đặc điểm phương trình hiện lên ở đây và đó.
  • 10:05 - 10:08
    Mình cũng phải giải hệ 2 phương trình với
  • 10:08 - 10:09
    2 ẩn.
  • 10:09 - 10:13
    Đó là 2 điều mà ta phải làm khi ta giải
  • 10:13 - 10:17
    bài toán giá trị đầu tiên, khi ta chỉ sử dụng đặc điểm phương trình
  • 10:17 - 10:18
    truyền thống.
  • 10:18 - 10:20
  • 10:20 - 10:22
  • 10:22 - 10:24
  • 10:24 - 10:25
  • 10:25 - 10:28
  • 10:28 - 10:31
  • 10:31 - 10:34
  • 10:34 - 10:35
  • 10:35 - 10:38
  • 10:38 - 10:40
  • 10:40 - 10:43
  • 10:43 - 10:45
Title:
Phép biến đổi Laplace giải phương trình 2
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:46

Vietnamese subtitles

Incomplete

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.