< Return to Video

Phép biến đổi Laplace giải phương trình 2

  • 0:01 - 0:02
    Chào bạn.
  • 0:02 - 0:04
    Cuối cùng, ta cũng sử dụng Phép biến đổi Laplace để làm cái gì đó
  • 0:04 - 0:05
    hữu ích.
  • 0:05 - 0:08
    Trong phần đầu tiên của bài toán, ta đã có
  • 0:08 - 0:09
    phương trình vi phân.
  • 0:09 - 0:11
    Và bạn có thể giải nó
  • 0:11 - 0:13
    một cách dễ dàng bằng cách sử dụng
  • 0:13 - 0:14
    đặc điểm của phương trình.
  • 0:14 - 0:17
    Vậy tại sao ta lại xài phép biến đổi Laplace?
  • 0:17 - 0:18
    Mình chỉ muốn cho bạn thấy là chúng có thể giải các
  • 0:18 - 0:21
    bài toán này. Nhưng sau này, nó sẽ còn nhiều dạng bài tập
  • 0:21 - 0:25
    mà các phương pháp truyền thống sẽ không
  • 0:25 - 0:26
    hay bằng phép biến đổi Laplace.
  • 0:26 - 0:28
    Ta đã giải nó như thế nào?
  • 0:28 - 0:30
    Ta chỉ lấy phép biến đổi Laplace của cả 2 vế
  • 0:30 - 0:31
    của phương trình.
  • 0:31 - 0:34
    Ta có tất cả những cái rối rắm này.
  • 0:34 - 0:36
    Ta đã sử dụng tính chất đạo hàm của các hàm số,
  • 0:36 - 0:38
    khi bạn lấy phép biến đổi Laplace, và ta có,
  • 0:38 - 0:40
    sau khi giải rất nhiều đại số, ta đã có nó.
  • 0:40 - 0:43
    Ta có phép biến đổi Laplace của y = cái này.
  • 0:43 - 0:45
    Ta chỉ lấy phép biến đổi Laplace của cả 2 vế và
  • 0:45 - 0:47
    ứng dụng đại số.
  • 0:47 - 0:51
    Bây giờ, nhiệm vụ của ta trong video này là tìm ra
  • 0:51 - 0:53
    biến đổi Laplace của y là gì?
  • 0:53 - 0:55
    Thật ra, những gì mà ta đang làm là
  • 0:55 - 0:58
    lấy biến đổi Laplace ngược của cả 2 vế của
  • 0:58 - 1:00
    phương trình.
  • 1:00 - 1:03
    Một cách khác để nói về nó là, nếu ta lấy
  • 1:03 - 1:05
    Phép biến đổi Laplace ngược của cả 2 vế,
  • 1:05 - 1:09
    y sẽ bằng Laplace ngược
  • 1:09 - 1:12
    của cái này.
  • 1:12 - 1:19
    2s cộng 13, trên s bình cộng 5s cộng 6.
  • 1:19 - 1:22
    Cuối cùng, ta sẽ học định nghĩa chính thức của
  • 1:22 - 1:24
    biến đổi Laplace ngược.
  • 1:24 - 1:27
    Làm sao để đi từ miền s đến miền t?
  • 1:27 - 1:28
    Hoặc làm sao để đi từ miền tần số
  • 1:28 - 1:30
    đến miền thời gian?
  • 1:30 - 1:32
    Ta sẽ không bận tâm nó ngay bây giờ.
  • 1:32 - 1:34
    Những gì ta sẽ làm là lấy cái này ở dạng
  • 1:34 - 1:37
    mà ta nhận ra là,
  • 1:37 - 1:38
    ồ, mình biết những hàm số này.
  • 1:38 - 1:40
    Đó là phép biến đối Laplace của cái gì đó.
  • 1:40 - 1:42
    Sau đó, ta sẽ biết y là gì.
  • 1:42 - 1:44
    Hãy làm xem sao nhé.
  • 1:44 - 1:48
    Vậy, ta sẽ sử dụng cái mà bạn có thể
  • 1:48 - 1:51
    chưa từng sử dụng từ hồi Đại Số 2, mà mình nghĩa là khi
  • 1:51 - 1:53
    nó được dạy ở lớp 8,9
  • 1:53 - 1:54
    hoặc 10.
  • 1:54 - 1:56
    Và bây giờ, cuối cùng bạn sẽ thấy nó trong phương trình vi phân mà thật ra
  • 1:56 - 1:58
    nó sẽ có ích.
  • 1:58 - 1:58
    Để mình ghi nó.
  • 1:58 - 2:02
    Ta sẽ khai triển thành phân thức đơn giản.
  • 2:02 - 2:05
    Và mình sẽ làm nó đầu tiên, trong trường hợp bạn không nhớ nó.
  • 2:05 - 2:09
    Hãy đưa về dạng tích phần phía dưới này.
  • 2:09 - 2:12
    Và bạn sẽ biết mình sẽ làm gì với nó.
  • 2:12 - 2:19
    Vậy, nếu mình đưa về dạng tích, mình được s cộng 2 nhân s cộng 3.
  • 2:19 - 2:25
    Và điều ta muốn làm là viết lại phân số này dưới dạng
  • 2:25 - 2:29
    tổng của 2, mình đoán là bạn có thể
  • 2:29 - 2:31
    gọi nó là phân thức đơn giản.
  • 2:31 - 2:33
    Mình nghĩ đó là tại sao nó được gọi là khai triển thành phân thức đơn giản .
  • 2:33 - 2:41
    Vậy, ta muốn viết nó dưới dạng tổng của A trên s cộng 2, cộng B
  • 2:41 - 2:43
    trên s cộng 3.
  • 2:43 - 2:48
    Nếu ta có thể làm nó,
  • 2:48 - 2:54
    ta biết là những gì nhìn như thế này
  • 2:54 - 2:57
    là Phép biến đổi Laplace của các hàm số mà
  • 2:57 - 2:58
    ta đã giải rồi.
  • 2:58 - 3:01
    Mình sẽ ôn lại nó trong một chút nữa.
  • 3:01 - 3:04
    Làm sao để ta tìm A và B?
  • 3:04 - 3:07
    Nếu ta thực chất cộng A và B,
  • 3:07 - 3:13
    hãy làm nó bên này, nếu ta nói A.
  • 3:13 - 3:16
    nếu ta cho nó có mẫu số chung, tức là cái này,
  • 3:16 - 3:21
    s cộng 2 nhân s cộng 3.
  • 3:21 - 3:23
    A sẽ thành gì?
  • 3:23 - 3:25
    Ta phải nhân A nhân s cộng 3 đúng không?
  • 3:25 - 3:29
    Vậy, ta sẽ có As cộng 3A.
  • 3:32 - 3:34
    Cái này, như mình đang ghi lại, bằng với
  • 3:34 - 3:35
    A trên s cộng 2.
  • 3:35 - 3:39
    Bạn có thể triệu tiêu s cộng 3 ở phía trên và dưới.
  • 3:39 - 3:41
    Bây giờ, ta sẽ cộng B vào.
  • 3:41 - 3:46
    Mình sẽ làm nó bằng màu khác.
  • 3:46 - 3:48
    Nếu ta có nó là mẫu số, ta có thể nhân
  • 3:48 - 3:49
    tử số và mẫu số
  • 3:49 - 3:51
    cho s cộng 2.
  • 3:51 - 3:59
    Để có B nhân s, cộng 2B, và nó sẽ bằng
  • 3:59 - 4:01
    cái này
  • 4:01 - 4:03
    Mình đã cộng 2 phân số này lại.
  • 4:03 - 4:04
  • 4:04 - 4:06
    Đó là Đại Số 2.
  • 4:06 - 4:07
    Thật ra, mình nghĩ mình nên làm 1 video
  • 4:07 - 4:08
    về nó.
  • 4:08 - 4:11
    Nhưng nó sẽ bằng cái này.
  • 4:11 - 4:21
    2s cộng 13, tất cả chúng trên s cộng 2 nhân s cộng 3.
  • 4:21 - 4:23
    Chú ý là ở tất cả phương trình vi phân, phần khó nhất
  • 4:23 - 4:25
    sẽ luôn là phần tính toán.
  • 4:25 - 4:27
    Bây giờ, mình cần ghép chúng lại.
  • 4:27 - 4:29
    Hãy cộng các số hạng s này.
  • 4:29 - 4:31
    Và ta có thể nói là các tử số phải bằng nhau,
  • 4:31 - 4:33
    tại vì các mẫu số bằng nhau.
  • 4:33 - 4:52
    Ta có (A cộng B)s cộng 3A cộng 2B bằng 2s cộng B.
  • 4:52 - 4:55
    Vậy hệ số trên s. ở vế bên phải, là 2.
  • 4:55 - 4:58
    Hệ số ở vế bên trái là A cộng B.
  • 4:58 - 5:02
    Ta biết là A cộng B = 2.
  • 5:03 - 5:08
    Và ở vế bên phải, ta thấy 3A cộng 2B phải
  • 5:08 - 5:11
    bằng với, ồ cái này là 13.
  • 5:11 - 5:12
    Mình đã nói B sao?
  • 5:12 - 5:14
    Cái này là số 13.
  • 5:14 - 5:16
    Số 13.
  • 5:16 - 5:17
    Nó nhìn giống như chữ B.
  • 5:17 - 5:19
    Cái đó là 2s cộng 13.
  • 5:19 - 5:29
    Vậy ở vế bên phải, mình có, nó là 3A cộng 2B
  • 5:29 - 5:32
    bằng 13.
  • 5:32 - 5:35
    Bây giờ, ta có 2 phương trình với 2 ẩn.
  • 5:35 - 5:36
    và ta có gì?
  • 5:36 - 5:37
    Mình biết là nó trông rất dài dòng nhưng, bạn sẽ thấy
  • 5:37 - 5:38
    thỏa mãn cuối cùng.
  • 5:38 - 5:40
    vì bạn sẽ thật sự giải bài toán
  • 5:40 - 5:41
    với biến đổi Laplace.
  • 5:41 - 5:44
    Hãy nhân phương trình ở trên với 2, hoặc là
  • 5:44 - 5:44
    trừ 2.
  • 5:44 - 5:50
    Ta có trừ 2A trừ 2B bằng trừ 4.
  • 5:50 - 5:54
    Sau đó, ta có, cộng 2 phương trình, bạn có A bằng với
  • 5:54 - 5:57
    cái này triệt tiêu, A bằng 9.
  • 5:57 - 5:58
  • 5:58 - 6:01
    Nếu A = 9, B sẽ bằng gì?
  • 6:01 - 6:06
    B = 9 cộng gì thì bằng 2?
  • 6:06 - 6:09
    hoặc 2 trừ 9 là trừ 7.
  • 6:09 - 6:12
    Và ta đã rút gọn được nó.
  • 6:12 - 6:16
    Vì bây giờ, ta có thể ghi toàn bộ biểu thức này lại dưới dạng
  • 6:16 - 6:23
    biến đổi Laplace của y bằng với A trên s cộng 2 là,
  • 6:23 - 6:34
    9 trên s cộng 2, trừ 7 trên s cộng 3.
  • 6:34 - 6:39
    Hoặc 1 cách khác để ghi nó, ta có thể ghi nó bằng với
  • 6:39 - 6:48
    9 nhân 1 trên s cộng 2, trừ 7 nhân 1 trên s cộng 3.
  • 6:48 - 6:50
    Tại sao mình lại làm cái này?
  • 6:50 - 6:52
    Mong là bạn sẽ nhận ra là cái này thật ra là
  • 6:52 - 6:56
    phép biến đổi Laplace thứ 2 mà mình đã tìm ra.
  • 6:58 - 6:59
    Nó là gì?
  • 6:59 - 7:02
    Mình sẽ ghi nó xuống đây để bạn nhớ nó.
  • 7:02 - 7:12
    Nó là phép biến đổi Laplace của e mũ at, bằng
  • 7:12 - 7:15
    1 trên s trừ a.
  • 7:15 - 7:18
    Nó là phép biến đổi Laplace thứ 2 mà ta đã tìm ra.
  • 7:18 - 7:21
    Nó thú vị đấy chứ.
  • 7:21 - 7:23
    Nó là Laplace của gì?
  • 7:23 - 7:25
    Nếu ta biến đổi Laplace ngược,
  • 7:25 - 7:27
    để mình nhất quán.
  • 7:27 - 7:33
    Nó có nghĩa là cái này là biến đổi Laplace của y,
  • 7:33 - 7:36
    bằng 9 nhân biến đổi Laplace của cái gì?
  • 7:36 - 7:39
    Nếu mình đối sánh mẫu, nếu cái này là s trừ a,
  • 7:39 - 7:41
    thì a sẽ là trừ 2.
  • 7:41 - 7:45
    Vậy 9 nhân biến đổi Laplace của
  • 7:45 - 7:49
    e mũ trừ 2t.
  • 7:49 - 7:50
    Nó có hợp lí không?
  • 7:50 - 7:53
    Lấy nó để vào đây, cái mà ta đã tìm ra, và bạn có
  • 7:53 - 7:55
    1 trên s cộng 2.
  • 7:55 - 7:57
    Để mình dọn dẹp chỗ này 1 chút
  • 7:57 - 7:59
    vì mình sẽ cần thêm không gian.
  • 8:02 - 8:03
  • 8:03 - 8:06
    Mình sẽ để nó ở đó tại vì ta vẫn sẽ dùng nó.
  • 8:06 - 8:11
    Và rồi, ta có trừ 7 nhân, cái này là biến đổi Laplace
  • 8:11 - 8:12
    của cái gì?
  • 8:12 - 8:18
    Nó là biến đổi Laplace của e mũ trừ 3t.
  • 8:20 - 8:25
    Đối sánh mẫu này, nếu bạn thấy nó,
  • 8:25 - 8:27
    bạn sẽ nhìn vào bảng biến đổi Laplace, nếu bạn không nhớ.
  • 8:27 - 8:29
    bạn sẽ thấy nó.
  • 8:29 - 8:31
    Bạn sẽ nhận ra là nó rất giống với cái này.
  • 8:31 - 8:33
    Mình chỉ cần tìm ra a là gì.
  • 8:33 - 8:34
    Mình có s cộng 3.
  • 8:34 - 8:35
    Mình có s trừ a.
  • 8:35 - 8:38
    Trong trường hợp này, a bằng với trừ 3.
  • 8:38 - 8:40
    Nếu a bằng trừ 3, cái này là biến đổi Laplace
  • 8:40 - 8:43
    của e mũ trừ 3t.
  • 8:43 - 8:46
    Bây giờ, ta có thể biến đổi Laplace ngược. thật ra.
  • 8:46 - 8:47
    trước khi ta làm nó,
  • 8:47 - 8:50
    Ta biết là biến đổi Laplace là
  • 8:50 - 8:55
    biến đổi tuyến tính và thật ra, bây giờ, mình có thể xóa phần dưới này,
  • 8:55 - 8:57
    ta biết là biến đổi Laplace là biến đổi tuyến tính.
  • 8:57 - 9:00
    Vậy, ta có thể ghi nó.
  • 9:00 - 9:02
    Bình thường thì bạn không cần phải làm hết những bước này đâu.
  • 9:02 - 9:06
    Mình chỉ muốn đảm bảo là bạn hiểu tụi mình đang làm những gì.
  • 9:06 - 9:08
    Vậy, ta có thể nói là cái này giống với biến đổi Laplace
  • 9:08 - 9:18
    của 9e mũ trừ 2t, trừ 7e mũ trừ 3t.
  • 9:19 - 9:21
    Bây giờ, ta có cái gì đó thú vị.
  • 9:21 - 9:23
    Biến đổi Laplace của y bằng với biến đổi Laplace
  • 9:23 - 9:25
    của cái này.
  • 9:25 - 9:31
    Trong trường hợp này, y sẽ phải bằng 9e mũ
  • 9:31 - 9:35
    trừ 2t, trừ 7e mũ trừ 3t.
  • 9:35 - 9:38
    Mình chưa chứng minh với bạn, nhưng biến đổi Laplace thật ra là
  • 9:38 - 9:40
    phép biến đổi 1:1.
  • 9:40 - 9:43
    Nghĩa là nếu biến đổi Laplace của 1 hàm số, nếu mình lấy 1 hàm số
  • 9:43 - 9:46
    với biến đổi Laplace, và rồi nếu mình
  • 9:46 - 9:48
    lấy biến đổi Laplace ngược, hàm số duy nhất
  • 9:48 - 9:50
    mà biến đổi Laplace của nó
  • 9:50 - 9:52
    là hàm số ban đầu.
  • 9:52 - 9:55
    Nó không phải là 2 hàm số khác nhau có thể có chung
  • 9:55 - 9:56
    biến đổi Laplace.
  • 9:56 - 9:59
    Một vài thứ để nghĩ về nó.
  • 9:59 - 10:02
    Chú ý là nếu ta có cái gì đó trông có vẻ như là
  • 10:02 - 10:05
    đặc điểm phương trình hiện lên ở đây và đó.
  • 10:05 - 10:08
    Mình cũng phải giải hệ 2 phương trình với
  • 10:08 - 10:09
    2 ẩn.
  • 10:09 - 10:13
    Đó là 2 điều mà ta phải làm khi ta giải
  • 10:13 - 10:17
    bài toán giá trị đầu tiên, khi ta chỉ sử dụng đặc điểm phương trình
  • 10:17 - 10:18
    truyền thống.
  • 10:18 - 10:20
    Nhưng ở đây, nó xảy ra cùng 1 lúc.
  • 10:20 - 10:22
    Thành thực mà nói , nó trông khó hơn 1 tí vì ta phải
  • 10:22 - 10:24
    khai triển thành phân thức đơn giản.
  • 10:24 - 10:25
    Nhưng nó khá là gọn.
  • 10:25 - 10:28
    Phép biến đổi Laplace rất hữu ích.
  • 10:28 - 10:31
    Trong video tiếp theo, mình sẽ thật sự làm 1 phương trình
  • 10:31 - 10:34
    không thuần nhất và chỉ bạn cách ứng dụng
  • 10:34 - 10:35
    phép biến đổi Laplace cùng với nó.
  • 10:35 - 10:38
    Như vậy, nó là 1 định lí nhất quán để giải
  • 10:38 - 10:40
    các phương trình vi phân , thay vì đoán nghiệm.
  • 10:40 - 10:43
    và tìm các hệ số và tất cả cái đó.
  • 10:43 - 10:45
    Hẹn gặp bạn ở video tiếp theo.
Title:
Phép biến đổi Laplace giải phương trình 2
Description:

Phần 2 của sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân.

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform/laplace-transform-to-solve-differential-equation/v/using-the-laplace-transform-to-solve-a-nonhomogenous-eq?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquations

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform/laplace-transform-to-solve-differential-equation/v/laplace-transform-to-solve-an-equation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquations

Môn học Phương trình vi phân trên Khan Academy sẽ bao gồm những chủ đề như sau: Phương trình vi phân, phương trình phân tách, trực giác phương trình hoàn toàn, thừa số tích phân, và phương trình vi phân thuần nhất

Về Khan Academy: Khan Academy cung cấp những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập theo từng cá nhân nhằm cho phép người dùng độc lập về thời gian và không gian trong quá trình học tập bên ngoài lớp học. Chúng tôi tự hào mang đến các chương trình dạy về Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Các nhiệm vụ trong phần Toán học hướng dẫn học sinh trình độ Mẫu giáo sử dụng và làm quen với phép toán bằng những công nghệ tiên tiến để tìm ra được những điểm mạnh, và bù vào lỗ hổng kiến thức của các em nhỏ. Chúng tôi cũng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và học viện MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Phương trình vi phân của Khan Academy: https://www.youtube.com/channel/UCxSQHGkaDv8UKXE0TUbsOIg?sub_confirmation=1

Theo dõi Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:46

Vietnamese subtitles

Incomplete

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.