Laplace Transform solves an equation 2

Sejam bem-vindos,

Finalmente teremos uma aplicação
para a Transformada de Laplace.

Na primeira parte do problema temos uma

equação diferencial bem simples,

e pode ser frustante usa-la neste problema
com a equação característica.

Por que usaremos Transformadas de Laplace?

Apenas quero mostrar que pode ser usado
até em problemas simples como esse.

Logo teremos outras situações em que

métodos tradicionais não são tão eficazes.

Voltando ao nosso problema.

Aplicamos a Transformada de Laplace em
ambos os lados da equação.

Ficamos com essa confusão aqui, e

usamos a propriedade da derivada
de funções,

tomando a Transformada de Laplace e
após muita álgebra chegamos a isto.

Nossa meta agora é determinar qual y
tem essa Transformada de Laplace.

Essencialmente, tentaremos tomar a

Transformada Inversa em ambos os lados
da equação.

De outra forma, se tomarmos a inversa da

Transformada de Laplace em ambos os lados

podemos dizer que y é igual a
da Transformada Inversa de Laplace de

2s mais 13, sobre o quadrado
de s mais 5s mais 6.

Agora vamos aprender o conceito formal

da Transformada inversa de Laplace.

Como sairemos do domínio em s para
o domínio em t?

Em outras palavras, como vamos do domínio
da frequência para o domínio do tempo?

mas agora vamos apenas tentar

escrever em uma forma que possamos
reconhecer as funções.

Vamos tentar.

Agora vamos usar uma ferramenta
que você não usa desde o Fundamental II

provavelmente desde o 8o ano, ou
7a série, depende.

E agora, em equações diferenciais,
finalmente você percebe a utilidade.

Deixe-me escrever
caso não se lembre.

farei uma breve cartilha sobre o assunto,
caso não se lembre.

Vamos fatorar a parte inferior

obtendo s mais 2 vezes s mais 3.

Vamos reescrever a fração como a soma de

duas frações parciais

daí o nome expansão em frações parciais.

queremos então escrever a fração como
a soma de A sobre s mais 2 com

B sobre s mais 3.

E, ao fazermos isso

notamos que essas frações parciais

são Transformadas de Laplace de funções

que já foram resolvidas aqui.

Farei uma revisão sobre isso daqui a pouco

mas, de qualquer forma, como
se determina A e B?

Bem, se fossemos de fato adicionar A e B

então teríamos um denominador comum,

que no caso seria s mais 2 vezes s mais 3.

E qual seria o valor de A?

teríamos que multiplicar A por s mais 3,

ficando com As mais 3A.

Aqui seria o equivalente ao termo

A sobre s mais 2,

se cancelássemos o fator comum s mais 3,

mas agora vamos adicionar B à isso.

Mudando de cor, temos

observando o denominador comum,

devemos multiplicar o numerador por

s mais 2, certo?

E ficamos com B vezes s, mais 2B

e igualando.

Repare que o trabalho até agora

não foi nada demais,

foi apenas manipulação algébrica.

E talvez eu deva fazer um vídeo sobre

isso também.

Mas ficaremos com

2s mais 13 tudo sobre o produto
entre s mais 3 e s mais 2

Repare que em todas as equações
diferenciais a parte mais

complicada envolve
desenvolvimento algébrico.

Agora comparamos os dois lados,

Primeiro os termos com s

e os numeradores devem ser iguais,

uma vez que os denominadores já o são.

Então, temos s vezes A mais B,
mais 3A mais 2B igual a 2S mais B.

O coeficiente de s no lado direito é 2

e o coeficiente de s no lado
esquerdo é A mais B,

então, sabemos que A mais B é igual a 2.

Em seguida temos 3A mais 2B

se igualando a 13

Quase confundi com B,

mas é 13.

Então temos 3A mais 2B igual a 13.

Agora temos duas equações com

duas incógnitas,

sei que é cansativo, mas também

é satisfatório no final,

porque resolvemos um problema

com a Transformada de Laplace.

Agora vamos multiplicar a equação superior

por menos dois,

ficando com menos 2A menos 2B
igual a menos 4.

Somando as equações ficaremos com

A igual a 9

Ótimo.

Se A é igual a 9, então o valor de B será

igual a

2 menos 9, ou menos 7.

Agora temos uma simplificação,

pois podemos reescrever a expressão

como sendo a Transformada de Laplace de y

igual a 9 sobre s mais 2,
menos 7 sobre s mais 3.

De outra forma, podemos escrever

9 vezes um sobre s mais 2,
menos 7 vezes um sobre s mais 3.

Porque tive esse trabalho?

Bem, espero que você tenha reconhecido

a segunda Transformada de Laplace que descobrimos.

O que era?

Vou escrever para que se lembre.

A transformada de Laplace de e elevado a

at é igual a um sobre s menos a.

E agora fica interessante,

Se desejamos tomamos a Transformada

inversa de Laplace, significa

que se a Transformada de Laplace de y

é igual a 9 vezes a Transformada de

Laplace de s menos 2, fazendo

as comparações.

Então ficamos com 9 vezes a Transformada

de Laplace de e elevado a menos 2t.

Faz sentido?

Basta comparar os elementos que calculamos

e teremos 1 sobre s mais dois.

Agora vou apagar para liberar espaço.

E continuamos com menos 7 vezes

a Transformada de Laplace

de e elevado a menos 3t.

Novamente, por comparação, podemos

buscar nas tabelas de Transformadas

de Laplace caso não se lembre,

e fazer as devidas comparações para

determinar o valor de a.

No caso, temos s mais 3

igual a s menos a,

então teremos a igual a menos 3.

Se a é igual a menos 3,

esta será a Transformada de e
elevado a menos 3t.

E agora podemos finalmente tomar a

Transformada inversa de Laplace.

Como as Transformadas de Laplace são

Operadores Lineares,

então podemos escrever

simplificando a estrutura

podemos dizer que a Transformada de
Laplace de y é igual à Transformada de

Laplace de 9 vezes e elevado a menos 2t,
menos 7 vezes e elevado a menos 3t.

O interessante agora é, que

se as Transformadas de Laplace são iguais,

então, podemos dizer que y é igual a

9 vezes e elevado a menos 2t, menos
7 vezes e elevado a menos 3t.

Eu não provei para você, mas a
Transformada de Laplace

é uma transformada 1:1.

Significa que para uma dada função
e sua respectiva Transformada de

Laplace, se tomarmos a Transformada

inversa de Laplace, a única função

para a qual a relação se satisfaz é a

própria função original.

Não é o mesmo que duas diferentes funções

podendo ter a mesma Transformada
de Laplace.

De qualquer forma, algumas coisas
para se pensar.

Note que havia uma função de referência

que apareceu com frequência,

e que também havia um sistema de

duas equações com duas incógnitas.

Essas foram duas etapas que precisaram ser

superadas antes de olhar

para a equação característica.

Aqui tudo aconteceu ao mesmo tempo,

e com maior dificuldade por conta da

expansão parcial inicial.

Apesar disso,

a Transformada de Laplace foi bem útil.

No próximo vídeo teremos uma equação

não homogênea, e veremos como as
Transformadas de Laplace

são bem adequadas.

Veremos que é uma teoria muito

consistente para resolver equações
diferenciais, e não apenas

supor soluções e determinar coeficientes.

Nos vemos no próximo vídeo.

Legendado por [Tatiana F. D'Addio]