Inverse Funktioner Eksempel 1

Eksempel på inverse funktioner.

.

Vi har f af x er lig med minus x plus 4,

og f af x er afbildet her i koordinatsystemet.

Lad os prøve at finde den inverse funktion til f.

For at gøre det skal vi sætte y, variablen y,

lig med f af x,

eller vi kan skrive, at y er lig med minus x plus 4.

Nu har vi altså y udtrykt ved x.

Når vi skal finde den inverse funktion, skal vi have den omvendte situation.

Vi skal have x udtrykt ved y.

Lad os trække 4 fra på begge sider.

Vi får y minus 4 er lig med minus x.

For at få x er lig med noget,

kan vi gange begge sider af ligningen med minus 1.

Vi får altså minus y plus 4 er lig med x.

Vi er vant til at skrive den afhængige variabel på venstre side,

så vi kan omskrive det her til

x er lig med minus y plus 4.

Vi kan også skrive det på en anden måde.

Vi kan skrive f invers af y er lig med minus y plus 4.

Det her er altså en invers eller en omvendt funktion,

og den er skrevet som en funktion af y.

Vi kan dog lave y om til x, så vi får en funktion af x.

Lad os gøre det.

Vi laver altså det her y om til x, så vi får f invers af x

er lig med minus x plus 4.

De her 2 funktioner er identiske.

Her brugte vi y som den uafhængige variabel.

Det er den, vi putter ind i funktionen,

og her brugte vi x. Det er dog samme funktion.

Det kunne være interessant at afbilde den inverse funktion for at se,

hvordan den ser ud

i forhold til den her.

De ser faktisk forholdsvis ens ud.

Vi har altså minus x plus 4.

.

Det er præcis de samme funktioner.

y-skæringspunktet er 4,

så grafen vil være helt magen til.

Funktionen er dens egen inverse funktion.

Hvis den inverse funktion skal afbildes,

vil grafen være oven på den her.

.

I den første video om

omvendte eller inverse funktioner snakkede vi om,

hvordan en funktion og dens inverse funktion

er en spejlning i linjen y er lig med x.

Hvor er y er lig med x her?

y er lig med x ser sådan her ud.

.

Minus x plus 4 står faktisk vinkelret på y er lig med x,

så når vi spejvender den,

vender vi den faktisk om, så den bliver ved med at være den samme linje.

Den er magen til dens spejlbillede.

Lad os lige sikre os, at det giver god mening.

Lad os først se på den originale funktion her.

Hvis vi putter 2 ind i den, får vi også 2 ud af den.

Hvis vi putter 4 ind, får vi 0 ud.

.

Når vi putter 2 ind i funktionen, får vi altså 2 ud.

Det giver mening.

I den originale funktion hænger 4 sammen med 0,

og i den inverse funktion hænger 0 sammen med 4.

Det giver faktisk mening, at de 2 funktioner er ens.

Lad os tænke over det på en anden måde.

Måske er det her allerede tydeligt og let at forstå,

men lad os sikre os,

at vi forstår det helt!

Lad os vælge f af 5.

f af 5 er lig med minus 1.

Vi kan sige, at y-værdien minus 1 hænger sammen med x-værdien 5.

Hvad sker der med den inverse funktion nu?

Hvad er f invers af minus 1?

f invers af minus 1 er 5.

.

Vi kan også sige, at y-værdien 5 hænger sammen med x-værdien minus 1.

Lad os nu se på

værdimængden og definitionsmængden.

Lad os sige, at det her er definitionsmængden for f,

og det her er værdimængden for f.

f vil tage os fra 5 til minus 1.

Det er det, funktionen f gør.

Vi kan se, at f invers tager os tilbage fra minus 1 til 5.

f invers tager os tilbage til 5 fra minus 1.

Sådan skal det være.

Lad os lave en til.

Vi har g af x er lig med minus 2x minus 1.

Ligsom i den sidste opgave skal vi sætte y lig med det her.

Vi har altså y er lig med g af x,

som er lig med minus 2x minus 1.

Nu skal vi isolere x.

y plus 1 er lig med minus 2x.

Vi lægger 1 til på begge sider.

Nu kan vi dividere begge sider af ligningen med minus 2,

og vi får minus y over 2 minus 1/2 er lig med x,

eller vi kan skrive, at x er lig med minus y over 2 minus 1/2,

eller vi kan skrive f invers af y

er lig med minus y over 2 minus 1/2, eller vi kan lave y'erne om til x.

Hov, vi har vist lige lavet en fejl.

Vi skal ikke bruge f her,

fordi den originale funktion hed g.

Vi har altså g invers af y er lig med minus y over 2 minus 1/2.

Vi startede med g af x og ikke f af x,

derfor bruger vi også g her.

Derefter kan vi lave y om til x og skrive,

at g invers af x er lig med x over 2 minus 1/2.

Lad os nu afbilde den.

y-skæringspunktet er minus 1/2.

Det er her.

Hældningen er minus 1/2.

.

Vi starter altså med minus 1/2,

og vi går 1 i den positive retning, så vi skal gå en halv ned.

Hvis vi igen bevæger os 1 i den positive retning, skal vi yderligere en halv ned.

Hvis vi går tilbage, vil punktet være her.

Lad os prøve at tegne linjen så flot som muligt.

Den ser nogenlunde sådan her ud.

Den fortsætter i begge retninger.

.

Lad os nu se, om den er blevet spejlet i y er lig med x.

y er lig med x ser sådan her ud,

og vi kan se, at linjen er blevet spejlvendt.

Hvis vi spejlvender den her blå linje,

vil vi få den orange linje.

Generelt er en funktion normalt kendtegnet

ved, at y er udtrykt ved x.

For at finde den inverse skal man bruge lidt algebra,

og man skal udtrykke x ved y.

Derfor bliver den inverse funktion faktisk en funktion af y,

men man kan lave y om til x, så det bliver en funktion af x.