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Vamos a hacer un mayor Gram-Schmidt ejemplo
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Así que vamos a decir que tengo el subespacio V que es atravesado por
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los vectores - digamos que estamos tratando en R4, por lo que la primera
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el vector es 0, 0, 1, 1.
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El segundo vector es 0, 1, 1, 0.
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Y luego un tercer vector-- por lo que es una de tres dimensiones
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subespacio de R4-- es 1, 1, 0, 0, asi de simple,
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el tres-dimensional subespacio de R4.
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Y lo que queremos acer, queremos encontrar un ortonormal
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base para V
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entonces queremos sustituir estos con los otros 3 vectores.
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los que son ortogonal con respecto de uno al otro
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y tener longitud 1
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así que hacemos el mismo ejercicio que hemos hecho antes
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Puedemos decir-- vamos a llamar a este v1, este v2 , y
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este v3
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La primera cosa que queremos acer es replacar v1-- y yo
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estoy simplemente elegiendo este al azar porque es el
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primero en lado izquierdo
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Quiero replacar v1 con un version ortogonal de v1
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Así que permítanme llamar u1 es igual a - bueno, déjame encontrar
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la longitud de v1
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No creo que tengo que explicar mucho de la teoria
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a este punto
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Nomas quiero ensenar otro ejemplo.
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Entonces, la longitud de V1 es igual a la raíz cuadrada de 0
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cuadrado más cuadrado 0 plus cuadrado 1 cuadrado más 1, que
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es igual a la raíz cuadrada de 2.
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Así que permítanme definir mi u1 nuevo vector que es igual a 1 sobre el
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longitud de v1, 1 más la raíz cuadrada de 2, veces v1,
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tiempos 0, 0, 1, 1.
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Y así, la vida de v1, v2, v3, es el mismo
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cosa es el lapso de u1, v2 y v3.
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Así que esta es mi primera cosa que he normalizado.
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Así que puedo decir que V es ahora igual a la duración de la
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vectores u1, v2 y v3.
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Porque puedo reemplazar v1 con este tipo, porque este tipo es
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Porque puedo reemplazar v1 con este tipo, porque este tipo es
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Así que definitivamente le puede representar con él, así que puedo
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representar cualquier combinación lineal de estos chicos con
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cualquier combinación lineal de esos tipos allí mismo.
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Ahora, acabamos de hacer nuestro primer vector.
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Acabamos de normalizar esta.
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Pero tenemos que reemplazar estos otros vectores con vectores
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que son ortogonales a este chico aquí.
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Así que vamos a hacer primero v2. Así que vamos a reemplazar - vamos a llamarlo y2 es
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igual a v2 menos la proyección de v2 en la
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espacio generado por u1 o sobre - usted sabe, yo podría llamar c
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veces u1, o en los videos anteriores, llamamos a que
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subespacio V1, pero el espacio abarcado por u1.
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Y eso va hacer igual a y2 es igual a v2,
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que es 0,1,1,0, menos - v2 proyecta en ese espacio
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es sólo un producto de punto de v2, 0, 1, 1, 0, con la expansión
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vector de ese espacio.
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Y sólo hay uno de ellos, así que sólo vamos a tener
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un término como éste con u1, así salpicado de 1 por encima de la plaza
