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Proof: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

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    歡迎回來
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    現在 我要做一個三角恆等式的證明
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    我認爲這個恆等式相當令人驚奇
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    我想 盡管這個證明不那麽顯而易見
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    我不得不提前承認
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    這些東西不是我
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    自然而然能想出來的
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    我也沒有自然而然地畫出這個圖形
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    來開始今天的課程
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    我們只想推導出
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    sin(α+β)的其他表示方法
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    這裡α和β是
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    兩個單獨的角度
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    例如sin(40°+50°)
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    我想要知道
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    這顯然等於sin(90°) 很簡單
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    但我能否把它改寫成
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    sin(40°)和sin(50°)或其它呢？
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    我想你們將會看到是怎麽回事
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    讓我們回到這個圖形
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    比方說 這是- 我先換個好的顏色
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    比方說 這個是角α
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    這是角β
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    這裡的整個角
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    是α加β
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    我們要算出sin(α＋β)的值
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    α加β的正弦值就是
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    整個角的正弦值 即對邊比上斜邊
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    整個角的對邊是-
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    如果我們用這個直角三角形
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    這個直角三角形 三角形BAC
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    對邊是BC 所以對邊等於-
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    我要在上面畫個線表示長度
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    BC除以斜邊AB
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    BC除以AB就是sin（α+β）
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    可以用其他方法寫出BC除以AB嗎？
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    我們想想是否可以-
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    可能第一個想出這個證明的人
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    就跟玩兒一樣
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    他們畫了這樣一個圖
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    他們想可以用其他方法寫出BC嗎？
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    這個總長度BC是BD和EF的和
  • 2:09 - 2:09
    我們知道這個
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    是因爲這是一條水平線
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    你們可以通過觀察所有的直角
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    得出結論
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    這是一條水平線
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    所以BC等於BD加EF
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    我們把它寫下來
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    BC等於BD加EF
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    所有這些除以AB
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    我所做的就是把BC寫成
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    這段(指BD)與這段(指EF)的和
  • 2:43 - 2:45
    希望你們能夠理解
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    然後我們能將這個寫成
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    BD除以AB加上EF除以AB
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    所以BD除以AB加上EF除以AB
  • 3:13 - 3:15
    這裡看起來有點無意義 對嗎？
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    BD除以AB 我們能對它做些什麽呢？
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    EF除以AB 我們又能對它做些什麽？
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    如果我們變換成BD除以BE
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    那豈不是很有趣麽？
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    BD/BE是一個有趣的比
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    因爲這是一個線段除以它所在直角三角形的斜邊
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    讓我們看看能不能將BD/AB寫成類似形式
  • 3:30 - 3:34
    我們也可以從數學角度來做
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    我們可以說
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    BD/AB等於BD除以BE乘以BE除以AB
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    這看起來可能不是很直觀
  • 3:55 - 3:55
    但是這個講得通
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    我們不是完全任意的選擇了BE
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    我們知道BD是什麽
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    所以我選了另一邊
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    就可以引入一些三角函數
  • 4:05 - 4:11
    所以我說BD除以BE乘以BE除以AB
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    等於BD除以AB
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    我希望你們沒有被這些字母搞糊塗了
  • 4:15 - 4:15
    但是這麽做有道理 對麽？
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    因爲這兩個部分正好可以抵消
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    如果我們將這些分數相乘
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    就能回到上一個式子
  • 4:20 - 4:24
    我確認一下
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    你們能理解這些
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    這部分和這部分是一樣的
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    現在我們做第二部分
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    我們知道EF 如果我們可以
  • 4:34 - 4:35
    將EF與右邊直角三角形斜邊
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    相互關聯 不是很好嗎？
  • 4:39 - 4:39
    比如說AE
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    所以 我們就這樣做
  • 4:40 - 4:45
    先在這裡寫個加號
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    EF除以AB等於
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    EF除以AE乘以AE除以AB
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    再強調一次 我們將這些分數相乘
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    這些將會消掉 你將會再次得到上面這個式子
  • 5:05 - 5:09
    確認一下你們都理解了
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    這部分和這部分是相同的
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    你們可以將這些分數相乘
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    這就是你們想要得到的
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    現在 在我們沿著思路
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    繼續往下做之前
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    讓我們想一下 我們是否能找出
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    關於這些奇怪的三角形和我畫的一些東西之外
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    其他一些有趣的東西
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    實際上圖是相當整齊的
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    如果這個角是α 我們有線段AF
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    EF垂直於AF 對嗎？
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    DE垂直於EF 對嗎？
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    所以DE和AF是平行的
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    因爲AF平行於DE
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    AE和兩者相交 我們可以知道這是什麽？
  • 5:53 - 5:54
    內錯角？
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    是的 平行線之間的這兩個角
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    叫做內錯角
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    這個角和α角相等
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    你們可以想象這裡有很長的平行線
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    這有很長的平行線 這條線(AE)和兩平行線相交
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    如果對這還有一些迷惑
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    你們需要複習一些幾何中平行線的知識
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    不過我的推理是有道理的
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    所以如果這個角是α 這兒的這個角
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    和它是互余的
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    所以它是90°-α
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    如果這個角是90°-α
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    顯然這個角是90°
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    我們知道這個角(角DBE)加上這個角(角BDE)
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    再加上這個角(角DEB)是180°
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    所以我們知道 這個角等於α
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    如果你們不理解 這樣想想
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    α加上(90°-α)再加上90°這兒是個減號
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    減去α
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    加上90° 是什麽？
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    α加上90°-α
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    所以這個減去α α就消去了
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    所以只剩90°加90°得到180°
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    所以我們知道這裡的這個角
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    我知道這個角很小
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    可能難以分辨
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    我們知道這個角等於α
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    那麽我們回到剛才的步驟
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    我們這裡要做的
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    那麽BD除以BE是多少？
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    BD除以BE
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    BD是這個角的鄰邊
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    實際上這個角等於α
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    BD除以BE是鄰邊比上斜邊
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    就是cos
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    所以它等於cosα
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    BE除以AB是什麽？
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    如果我們看看這個大直角三角形
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    這是β的對邊除以斜邊
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    那麽對邊除以斜邊是什麽呢？
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    正弦函數
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    S O H
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    sin
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    所以sinβ等於BE除以AB
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    所以這是sinβ
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    現在我換成洋紅色的筆
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    EF除以AE是什麽？
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    如果我們看這兒的直角三角形
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    EF/AE是α的對邊除以斜邊
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    所以這是sinα
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    對邊除以斜邊
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    AE除以AB是什麽
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    現在我們看一下
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    這兒的大直角三角形
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    AE除以AB
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    是β的鄰邊除以斜邊
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    鄰邊除以斜邊是什麽？
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    是cos
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    CAH
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    cosβ 這裡的β
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    我認爲我們已經做完了
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    對我來說 相當興奮
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    sin(α+β)等於
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    cosαsinβ
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    加上sinαcosβ
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    這是多麽工整啊
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    很好的對稱公式
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    這不是很大 很亂的式子
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    你或許曾猜測它會怎麽樣
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    我不知道
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    我只是發現它很工整
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    我們用這個複雜圖形
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    完成了複雜的證明
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    但是我們從中得到了很好的
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    對稱的三角恆等式
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    所以希望你們能感受到
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    接下來的講述中的神奇之處
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    下節課我將要證明cos(α+β)
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    再見
Title:
Proof: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)
Description:

Proof of the trig identity sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)
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Video Language:
English
Duration:
09:48
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

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