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Proof: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

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    欢迎回来
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    现在 我要做一个三角恒等式的证明
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    我认为这个恒等式相当令人惊奇
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    我想 尽管这个证明不那么显而易见
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    我不得不提前承认
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    这些东西不是我
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    自然而然能想出来的
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    我也没有自然而然地画出这个图形
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    来开始今天的课程
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    我们只想推导出
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    sin(α+β)的其他表示方法
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    这里α和β是
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    两个单独的角度
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    例如sin(40°+50°)
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    我想要知道
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    这显然等于sin(90°) 很简单
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    但我能否把它改写成
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    sin(40°)和sin(50°)或其它呢？
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    我想你们将会看到是怎么回事
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    让我们回到这个图形
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    比方说 这是- 我先换个好的颜色
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    比方说 这个是角α
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    这是角β
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    这里的整个角
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    是α加β
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    我们要算出sin(α＋β)的值
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    α加β的正弦值就是
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    整个角的正弦值 即对边比上斜边
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    整个角的对边是-
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    如果我们用这个直角三角形
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    这个直角三角形 三角形BAC
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    对边是BC 所以对边等于-
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    我要在上面画个线表示长度
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    BC除以斜边AB
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    BC除以AB就是sin（α+β）
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    可以用其他方法写出BC除以AB吗？
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    我们想想是否可以-
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    可能第一个想出这个证明的人
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    就跟玩儿一样
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    他们画了这样一个图
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    他们想可以用其他方法写出BC吗？
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    这个总长度BC是BD和EF的和
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    我们知道这个
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    是因为这是一条水平线
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    你们可以通过观察所有的直角
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    得出结论
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    这是一条水平线
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    所以BC等于BD加EF
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    我们把它写下来
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    BC等于BD加EF
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    所有这些除以AB
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    我所做的就是把BC写成
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    这段(指BD)与这段(指EF)的和
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    希望你们能够理解
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    然后我们能将这个写成
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    BD除以AB加上EF除以AB
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    所以BD除以AB加上EF除以AB
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    这里看起来有点无意义 对吗？
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    BD除以AB 我们能对它做些什么呢？
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    EF除以AB 我们又能对它做些什么？
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    如果我们变换成BD除以BE
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    那岂不是很有趣么？
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    BD/BE是一个有趣的比
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    因为这是一个线段除以它所在直角三角形的斜边
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    让我们看看能不能将BD/AB写成类似形式
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    我们也可以从数学角度来做
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    我们可以说
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    BD/AB等于BD除以BE乘以BE除以AB
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    这看起来可能不是很直观
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    但是这个讲得通
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    我们不是完全任意的选择了BE
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    我们知道BD是什么
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    所以我选了另一边
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    就可以引入一些三角函数
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    所以我说BD除以BE乘以BE除以AB
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    等于BD除以AB
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    我希望你们没有被这些字母搞糊涂了
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    但是这么做有道理 对么？
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    因为这两个部分正好可以抵消
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    如果我们将这些分数相乘
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    就能回到上一个式子
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    我确认一下
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    你们能理解这些
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    这部分和这部分是一样的
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    现在我们做第二部分
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    我们知道EF 如果我们可以
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    将EF与右边直角三角形斜边
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    相互关联 不是很好吗？
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    比如说AE
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    所以 我们就这样做
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    先在这里写个加号
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    EF除以AB等于
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    EF除以AE乘以AE除以AB
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    再强调一次 我们将这些分数相乘
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    这些将会消掉 你将会再次得到上面这个式子
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    确认一下你们都理解了
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    这部分和这部分是相同的
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    你们可以将这些分数相乘
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    这就是你们想要得到的
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    现在 在我们沿着思路
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    继续往下做之前
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    让我们想一下 我们是否能找出
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    关于这些奇怪的三角形和我画的一些东西之外
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    其他一些有趣的东西
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    实际上图是相当整齐的
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    如果这个角是α 我们有线段AF
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    EF垂直于AF 对吗？
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    DE垂直于EF 对吗？
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    所以DE和AF是平行的
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    因为AF平行于DE
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    AE和两者相交 我们可以知道这是什么？
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    内错角？
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    是的 平行线之间的这两个角
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    叫做内错角
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    这个角和α角相等
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    你们可以想象这里有很长的平行线
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    这有很长的平行线 这条线(AE)和两平行线相交
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    如果对这还有一些迷惑
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    你们需要复习一些几何中平行线的知识
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    不过我的推理是有道理的
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    所以如果这个角是α 这儿的这个角
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    和它是互余的
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    所以它是90°-α
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    如果这个角是90°-α
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    显然这个角是90°
    this angle is obviously 90°
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    我们知道这个角(角DBE)加上这个角(角BDE)
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    再加上这个角(角DEB)是180°
    plus this angle has to equal 180°
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    所以我们知道 这个角等于α
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    如果你们不理解 这样想想
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    α加上(90°-α)再加上90°这儿是个减号
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    减去α
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    加上90° 是什么？
    Plus 90°is what?
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    α加上90°-α
    Alpha plus 90°minus alpha
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    所以这个减去α α就消去了
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    所以只剩90°加90°得到180°
    and you just have 90°plus 90°and that equals 180°
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    所以我们知道这里的这个角
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    我知道这个角很小
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    可能难以分辨
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    我们知道这个角等于α
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    那么我们回到刚才的步骤
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    我们这里要做的
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    那么BD除以BE是多少？
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    BD除以BE
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    BD是这个角的邻边
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    实际上这个角等于α
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    BD除以BE是邻边比上斜边
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    就是cos
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    所以它等于cosα
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    BE除以AB是什么？
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    如果我们看看这个大直角三角形
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    这是β的对边除以斜边
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    那么对边除以斜边是什么呢？
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    正弦函数
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    S O H
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    sin
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    所以sinβ等于BE除以AB
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    所以这是sinβ
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    现在我换成洋红色的笔
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    EF除以AE是什么？
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    如果我们看这儿的直角三角形
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    EF/AE是α的对边除以斜边
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    所以这是sinα
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    对边除以斜边
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    AE除以AB是什么
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    现在我们看一下
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    这儿的大直角三角形
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    AE除以AB
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    是β的邻边除以斜边
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    邻边除以斜边是什么？
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    是cos
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    CAH
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    cosβ 这里的β
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    我认为我们已经做完了
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    对我来说 相当兴奋
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    sin(α+β)等于
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    cosαsinβ
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    加上sinαcosβ
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    这是多么工整啊
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    很好的对称公式
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    这不是很大 很乱的式子
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    你或许曾猜测它会怎么样
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    我不知道
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    我只是发现它很工整
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    我们用这个复杂图形
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    完成了复杂的证明
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    但是我们从中得到了很好的
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    对称的三角恒等式
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    所以希望你们能感受到
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    接下来的讲述中的神奇之处
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    下节课我将要证明cos(α+β)
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    再见
Title:
Proof: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)
Description:

Proof of the trig identity sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)
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Video Language:
English
Duration:
09:48
oliviagao8971 edited Chinese, Simplified subtitles for Proof: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)
oliviagao8971 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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