Proof: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

Proof of the trig identity sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

.

Hoş geldiniz.

Her ne kadar bu kanıtın o kadar açık olduğunu düşünmesem de,

şİmdi size oldukça ilginç bulduğum trigonometrik bir

özdeşliğin kanıtını yapacağım.

Ve itiraf etmeliyim ki bu başıma sık

gelen bir şey değil.

Kanıta başlamak için genellikle bu şekli

çizmem.

Alfa ve beta farklı açılar olmak üzere

sinüs alfa artı betayı göstermenin farklı bir yolunu aradığımızı

düşünelim.

O halde elimizde sinüs kırk artı altmış derece varsa, bu kesinlikle

sinüs doksan olacak ve bu basit bir şey.

Ama acaba bunu sinüs kırk ve sinüs elli

içerecek şekilde yazmamız mümkün mü?

Sanırım nereye varmaya çalıştığımı anlıyorsunuz.

Öyleyse hadi şekle geri dönelim

ve diyelim ki -- daha iyi bir renk seçeyim.

Diyelim ki bu açı alfa ve şu açı da beta.

.

O zaman buradaki açının tamamı alfa artı beta oluyor

Yani sinüs alfa artı betayı bulmaya çalışıyoruz.

Güzel, sinüs alfa artı beta yani bu açının tamamı

karşı bölü hipotenüse eşit.

Eğer buradaki dik BAC üçgenini kullanırsak,

bu açının tamamının

karşısı BC olur, yani karşı eşittir BC kenarı.

Üzerine bir çizgi çizeyim.

BC bölü hipotenüs, yani AB.

BC bölü hipotenüs, yani AB.

BC bölü AB sinüs alfa artı betaya eşit.

Peki, BC ve AB'yi farklı bi şekilde yazabilir miyiz?

Hadi bakalım.

Büyük ihtimalle bu kanıtı ilk bulan insan

bu açılarla uğraşıyordu.

Bu şekli çizdi ve dedi ki acaba BC'yi

farklı bir şekilde ifade edebilir miyim?

Aslında BC, bütün bu uzunluk BD ve EF'nin toplamına eşit.

Bunu biliyoruz çünkü burası yatay bir çizgi

ve sadece bakarak da dik açılardan

bunu çıkarabiliriz.

Ama bu yatay bir çizgi.

Yani BC, BD artı EF ile aynı şey.

Hadi bunu yazalım.

BC eşittir BD artı EF.

.

Ve hepsi bölü AB.

Burada yaptığım sadece BC kenarı yerine şuradaki iki kenarın toplamını yazmak.

Umarım anladınız.

Öyleyse bunu BD bölü AB artı EF bölü AB olarak yazabiliriz.

.

Yani BD bölü AB artı EF bölü AB.

Bunlar birbirleriyle ilişkisiz oranlar değil mi?

BD bölü AB, bunu nasıl kullanabilirim ki?

Ya EF bölü AB, bu nasıl kullanılabilir?

BD bölü BE olsaydı daha kolay olmaz mıydı?

Tabii ki olurdu, çünkü kenar bölü hipotenüsü elde ederdik.

.

Bakalım, bunu başka bir şekilde yazabilecek miyiz?

Biz BE kez üzerinde, AB içinde BE bu BD eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Yani bu sezgisel görünüyor, ama olabilir

bu tür mantıklı.

Biz tamamen keyfi BE almak değildi.

Biz BD ne olduğunu biliyoruz, bu yüzden, bana başka bir tarafı seçim yapmasına olanak ben

gerçek trigonometrik oranları ile belki bir şeyler yapabiliriz.

Ve böylece BD, BE kez üzerinde AB üzerinden BE dedi

AB içinde BD eşit.

Ben bütün bu harfler ile karıştırmayın umuyoruz.

Ama bu doğru, mantıklı?

Bu iki terim sadece iptal çünkü.

Biz sadece bu kesirler çarparak iseniz o zaman.

Bu üst vadede geri almak.

Beni gerçekten anladığınızdan emin olun.

bu, Whoops.

Bu terim ve bu terimi aynı şey olduğunu.

Ve şimdi bu ikinci dönem yapalım.

EF, iyi olmaz biliyorum biz EF ilgili olabilir

bir şey gibi bu hipotenüs

dik üçgenin?

AE gibi.

Yani o yapılacak.

Yani orada artı işareti koymak.

AB aşkın EF, AB içinde AE kez AE aşkın EF aynı şey.

Bir kez daha, biz sadece kesirler çarpılması.

Bu iptal edecek ve yine bu olacaktı.

Bana bu terim olduğunu anladığınızdan emin olun edelim

Bu terim aynı şey.

Ve siz sadece kesirler dışarı birden fazla ve

Ne olsun istiyorsunuz.

Biz bütün bu çizgi ile ilerleme Şimdi önce

yaptığımızı düşündüm.

Ilginç başka bir şey anlamaya eğer görelim

bu garip üçgen ve şekiller hakkında

çizmiş olduğunuz.

Bu aslında oldukça düzgün.

Bu açı alfa IF hat AF var.

EF, dik?

Ve DE, EF dik?

Yani DE, bu hat, ve AF paralel.

AF DE paralel ve o zamandan beri, AE, hem de kesişiyor

bunu biliyoruz, bu da ne?

Iç açıları?

Evet, iç açıları denir olduğunu düşünüyorum

paralel çizgiler.

Bu da alfa için eşit olduğunu.

, Uzun paralel burada, burada uzun paralel çizgi hayal edebiliyorum

ve daha sonra bu hat hem de kesişiyor.

Belki bu biraz kafa karıştırıcı ise istediğiniz

paralel hat geometrisi biraz gözden, ama I

Bu mantıklı olabileceğini düşünüyorum.

Bu açı alfa, daha sonra bu açının tam burada Yani eğer

tamamlayıcı.

Bu yüzden eksi 90 alfa bulunuyor.

Ve bu açı 90 eksi alfa, bu ise

açısını açıkça 90'dır.

Sonra biz biliyoruz ki bu açı artı bu açı artı bu

açı 180 eşit.

Bu yüzden bu alfa için eşit olduğunu biliyoruz.

Bu sizin için bir anlam ifade etmiyor, bu düşünmek: alfa

artı 90 eksi alfa artı 90 - eksi.

Alfa Eksi.

Ayrıca 90 nedir?

Alpha artı 90 eksi alfa.

Bu eksi alfa ve alfa iptal etmek ve sadece 90 Yani

artı 90 ve 180 eşittir.

Bu yüzden burada bu açı, ben biliyorum biliyorum

okumak için gerçekten çok küçük ve büyük olasılıkla sabit.

Biz burada bu açıdan alfa olduğunu biliyoruz.

Yani, biz ilerleyen ne dönelim

biz burada ne yapıyordunuz.

Böylece BD BE üzerinde nedir?

BD üzerinden BE.

Peki, bu alfa, bitişik

Aynı açısı gerçekten.

BD üzerinden Be, hipotenüs üzerinde bitişik.

Kosinüs.

Böylece alfa kosinüsünü eşittir.

Ve ne AB içinde OLUR MUSUN?

Peki, bu büyük bir dik üçgenin bakarsanız, bu

hipotenüs beta kez tam tersi.

Yani hipotenüs üzerinde tam tersi nedir?

SOH.

SO H.

Sinüs.

Yani beta sinüs AB üzerinden BE.

Peki bu beta sinüs.

Ve şimdi bana kırmızı geçmek sağlar.

AE üzerinde EF neler bulunuyor?

Biz burada bu dik üçgenin bakacak olursak,

alfa için hipotenüs üzerinde tam tersidir.

Bu nedenle sinüs alfa.

Hipotenüs üzerinde tersi.

AE ne AB bitti?

Yani şimdi biz burada bu büyük dik üçgenin bakıyoruz.

AB üzerinden AE.

Eh, bu komşu hipotenüs üzerinde beta.

Peki, hipotenüs üzerinde bitişik ne?

Kosinüsünü budur.

CAH.

Burada bu beta beta kosinüsü.

Sanırım bitti düşünüyorum.

Bu benim için, oldukça akla esen.

Sinüs alfa artı beta kosinüsünü eşit olduğunu

alfa beta kez sinüs.

Ayrıca alfa, beta, sinüs kez kosinüsünü.

Bu konuda derli toplu, bu tür geldiğini

güzel simetrik bir formül.

Bu büyük, tüylü bir şey değil.

Hatta tahmin olabilir.

Bilmiyorum.

Ben sadece çok temiz bulabilirsiniz.

Biz bu kadar büyük, bu büyük dolambaçlı kanıtı geçti

dolambaçlı şekil, ama biz bu güzel simetrik süslemek var

bunun dışında kimlik.

Umarım siz de ve sonraki şaşırtıcı bulundu.

sunum, alfa artı beta kosinüs bir kanıtı yapacağız.

Görüşmek üzere.