Доказательство: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

Доказательство тригонометрического тождества sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

И снова здравствуйте!

Я сейчас буду доказывать тригонометрическое тождество, которое

мне кажется довольно интересным,

хотя я считаю, что его доказательство не из легких для понимания.

Сразу признаюсь, что само собой мне бы такое

в голову не пришло.

Случайно я бы не нарисовал такую фигуру.

Допустим, нам нужно найти какой-то новый способ

записи sin (α+β), где α (альфа) и β (бета) –

отдельные углы.

Если бы у меня был синус 40 и 50 градусов,

это был бы просто синус 90 градусов, это легко.

Но еще я мог бы записать это как комбинацию

синуса 40 и синуса 50 градусов.

Сейчас поймете, к чему все это ведет.

Давайте вернемся к чертежу…

Дайте-ка я выберу другой цвет.

Допустим, это угол α, а это угол β,

а весь вот этот большой угол – это сума углов (α+β).

Нам нужно найти синус угла (α+β).

Тогда, синус (α+β), синус всего этого угла,

- это отношение противолежащего катета к гипотенузе…

если мы используем этот прямоугольный треугольник ВАС,

то прилежащийотволежащий катет здесь – ВС… т.е. это равно ВС –

я поставлю здесь черточку.

ВС, деленный на гипотенузу АВ…

ВС/АВ – это синус угла (α+β).

Можем ли мы записать ВС/АВ по-другому?

Посмотрим, что здесь можно сделать.

Наверно, человек, который первым пришел к этому доказательству,

просто экспериментировал –

нарисовал эту фигуру и сказал себе: можно ли записать

ВС по-другому?

ВС, вся эта длина, – это сумма BD и EF.

Мы знаем это потому, что это – горизонтальная прямая.

Это видно, как только если мы посмотрим на все

эти прямые углы.

А это горизонтальная прямая.

Т.е. ВС – это то же, что и BD + EF.

Давайте это запишем.

ВС – это то же, что и (BD + EF) / АВ.

Я просто представил ВС как сумму этого отрезка и

этого отрезка – это все, что я сделал. Надеюсь, вам понятно.

Теперь мы можем записать это, в свою очередь, как (BD/AB) + (EF/AB).

BD/AB плюс EF/AB

Получается, сумма каких-то бессмысленных отношений, да?

BD/АВ – что мы можем с этим сделать?

Или EF/АВ – что мы с этим можем сделать?

Было бы интереснее, если бы у нас было BD/ВЕ,

потому что тогда у нас был бы

катет, деленный на гипотенузу.

Давайте попытаемся записать это вот таким образом.

Мы можем сделать это математически.

Скажем, это равняется (BD/ВЕ) * (ВЕ/АВ).

Возможно, вы бы до этого интуитивно не догадались, но

во всем этом есть смысл.

Мы не просто так выбрали ВЕ.

Мы сказали, что мы знаем, чему равно BD. Теперь давайте я выберу другую сторону,

где я смогу применить знакомые нам тригонометрические функции.

Итак, я сказал, что (BD/ВЕ) * (ВЕ/АВ) = BD/АВ.

Надеюсь, я не запутываю вас всеми этими буквами.

Понятно, да?

Эти два элемента просто сократятся,

и если мы просто перемножим эти две дроби,

мы вернемся снова к изначальной дроби.

Я хочу удостовериться, что вам понятно, что это и это – одно и то же.

Теперь давайте перейдем ко второму слагаемому.

Было бы неплохо, если бы мы изобразили EF

как отношение к чему-то. Допустим, к гипотенузе

вот этого прямоугольного треугольника – АЕ.

Давайте это сделаем.

Здесь мы ставим «плюс».

EF/АВ – это то же самое, что (EF/АЕ) * (АЕ/АВ).

Мы снова просто перемножаем дроби.

Это сократится, и вы снова получите то, что и было.

Чтобы вам было понятнее, что это и это – одно и то же,

я просто обведу вот так.

Достаточно просто перемножить эти дроби, и вот,

что вы получите.

Прежде, чем мы продолжим развивать

наш ход мысли,

давайте найдем еще кое-что интересное в этом

странном нагромождении треугольников и фигур,

которые я нарисовал.

Они, в общем, аккуратно выглядят

Если это угол α… У нас есть отрезок AF.

EF перпендикулярно ему, правильно?

DE перпендикулярно EF.

Значит, DE (вот этот отрезок) и AF параллельны.

Если AF параллельно DE, а AE пересекает их обе, то что это?

Внутренние углы?

По-моему, они называются внутренними углами

при пересечении двух параллельных прямых третьей.

Значит, этот угол равен α.

Вам нужно представить себе длинную прямую здесь, параллельную ей прямую здесь,

и вот прямая, которая их пересекает.

Возможно, вам кажется, что все это слишком запутанно,

и, может быть, стоит повторить немного раздел геометрии о параллельных прямых, но

я все же надеюсь, вы успеваете за ходом моей мысли.

Если этот угол – α, то это -

дополнительный к нему угол,

то есть он равен (90 - α).

Этот угол равен (90 - α),

этот угол равен 90 градусам.

Дальше мы знаем, что сумма этого угла, этого и этого

должна быть 180 градусов.

Значит, этот угол тоже должен быть равен α.

Если вам не понятно почему, посмотрите на это так:

α+90-α+90, чему это равно?

α+90-α+90=?

-α и α сократятся, у вас остается 90+90,

а это равно 180.

Значит, мы знаем, что вот этот угол равен α. Я знаю, что

написано мелко, и, наверно, прочесть это сложно.

Итак, это угол α.

Теперь давайте вернемся к тому,

что мы здесь делали.

Что такое BD/BE?

BD, деленное на BE?

Это катет, прилежащий к углу α, т.е.

к уже известному нам углу.

BD/BE – это прилежащий катет, деленный на гипотенузу.

То есть, косинус.

То есть, это cos α.

Что такое ВЕ/АВ?

Если мы посмотрим на этот большой прямоугольный треугольник,

мы увидим, что это катет, противолежащий углу β, умножить на гипотенузу.

Что такое отношение противолежащего катета к гипотенузе?

CПГ

СПГ - Синус = (Противолежащий катет/ Гипотенузу)

Синус

Значит, sinβ – это ВЕ/АВ…

Значит это синус β

теперь давайте я поменяю цвет на пурпурный…

что такое EF/AE?

Если мы посмотрим на вот этот прямоугольный треугольник,

это противолежащий углу α катет, деленный на гипотенузу,

то есть это sinα.

Протволежащий катет деленный на гипотенузу - sinα.

Что такое АЕ/АВ?

Посмотрим на вот этот большой прямоугольный треугольник.

АЕ, деленное на АВ.

Это прилежащий к углу β катет, деленный на гипотенузу.

Что такое прилежащий катет, деленный на гипотенузу?

Это косинус.

КПГ - Косинус=(Прилежащий катет/Гипотенузу)

Косинус вот этого угла β.

Я думаю, мы это сделали!

Потрясающе, не так ли?

То, что sin(α+β) = (cosα)(sinβ) + (sinα)(cosβ).

Что интересно, все это получилось из этой

симпатичной симметричной формулы,

не из чего-то большого и запутанного.

Вы могли бы даже догадаться об этом.

Я не знаю,

мне все это кажется очень красивым.

Мы прошли через такое замысловатое доказательство с этими большими

запутанными фигурами и вывели из этого такое симпатичное

тригонометрическое тождество.

Надеюсь, вам тоже это кажется красивым, а в следующем

уроке я разберу доказательство для cos(α+β).

До скорого!