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Bem-vindo de volta.
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Agora estou indo fazer uma prova de uma identidade trig, que
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Eu acho que é bastante surpreendente.
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Embora, penso eu, a prova não é tão óbvio.
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E eu tenho que admitir que antes do tempo, isso não é algo que
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teria ocorrido a me naturalmente.
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Eu não teria naturalmente atraídos esta figura apenas
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para começar com.
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Vamos apenas dizer que nós queremos descobrir alguma outra forma de
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escrever o seno de alfa e beta, onde alfa e beta são
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digamos, dois ângulos distintos.
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Então, se eu tivesse o seno de 40 e 50 graus, eu gostaria de saber -
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este seria, obviamente, o seno de 90, que é fácil.
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Mas eu poderia reescrever isso como uma combinação dos sine
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de 40 e o seno de 50 ou o que quer?
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Acho que você vai ver onde isso vai dar.
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Então vamos voltar a este esquema e vamos dizer
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que esta - deixe-me escolher uma cor melhor.
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Digamos que este é ângulo alfa e beta isso é ângulo.
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Que este ângulo reto toda aqui é ângulo alfa mais beta.
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Então, nós queremos descobrir o seno de alfa e beta.
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Bem, o seno de alfa e beta, o seno deste
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ângulo totalmente, em frente ao longo hipotenusa.
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Do lado oposto ao ângulo inteiro está se usarmos este ângulo direito - ou
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este triângulo retângulo, triângulo BAC.
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Oposto é BC, de modo que é igual a BC.
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Vou desenhar uma linha pouco sobre ele.
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BC sobre a hipotenusa, AB.
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BC sobre AB é o seno de alfa e beta.
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Bem, pode ser escrever sobre AB BC de forma diferente?
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Vamos ver se conseguimos.
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E, provavelmente, a primeira pessoa que descobriu esta prova
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estava apenas brincando.
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Eles tiraram esse diagrama, eles disseram, eu posso escrever
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BC de forma diferente?
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Bem BC - este comprimento todo - é a soma de BD e EF.
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E sabemos que, porque esta é uma linha horizontal agora
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e você pode descobrir isso só de olhar para todos os
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os ângulos retos.
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Mas esta é uma linha horizontal.
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Então, BC é a mesma coisa é mais BD EF.
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Vamos escrever que um baixo.
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BC é a mesma coisa que BD mais EF.
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E depois ainda, todos os que, ao longo AB.
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Tudo o que fiz é que eu reescrevi BC como uma soma desse segmento e este
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segmento, que deve fazer sentido para você, eu espero.
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E então nós podemos, é claro, de reescrita que como igual a BD
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mais de AB EF mais sobre AB.
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Então BD sobre AB EF mais sobre AB.
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E estes são o tipo de relações sem sentido, certo?
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BD sobre AB, o que posso fazer com isso?
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EF e mais de AB, o que posso fazer com isso?
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Não seria mais interessante se eu pudesse fazer como BD sobre BE.
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Isso seria uma relação interessante, porque isso seria um
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segmento sobre sua hipotenusa.
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Então, vamos ver se podemos reescrevê-lo de alguma forma assim.
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Bem, poderíamos apenas fazê-lo matematicamente.
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Poderíamos dizer que esta é igual a BD mais vezes BE BE sobre AB.
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Então, isso pode parecer não intuitivo para você, mas
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É algo que faz sentido.
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Nós não escolheu ser completamente arbitrária.
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Dissemos nós sabemos o que é BD, então deixe-me escolher um outro lado que eu
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pode fazer alguma coisa, talvez com proporções reais trig.
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E então eu disse sobre BD BE vezes BE sobre AB é
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igual a BD sobre AB.
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Espero não confundi-lo com todas essas letras.
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Mas isso faz sentido, certo?
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Porque estes dois termos seria apenas cancelam.
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Se estamos apenas a multiplicação destas frações então você
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voltar ao topo deste termo.
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Deixe-me realmente ter certeza de que você entende
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que esta - gritos.
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Que este termo e este termo são a mesma coisa.
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E agora vamos fazer isso segundo mandato.
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Sabemos EF, não seria bom se pudéssemos relacionar a EF
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algo, como se fosse a hipotenusa deste
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triângulo retângulo?
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Como AE.
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Então, vamos fazer isso.
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Então, vamos colocar o sinal de mais lá.
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EF sobre AB é a mesma coisa que EF sobre AE AE vezes sobre AB.
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Mais uma vez, nós estamos apenas multiplicar frações.
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Estes seriam cancelar e você terá isso de novo.
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Deixe-me certificar que você entendeu que este termo é a
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mesma coisa que este termo.
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E você pode apenas múltiplas as frações e isso é
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o que você iria ficar.
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Agora, antes de avançar com essa linha inteira de
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pensamento de que estamos fazendo.
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Vamos ver se podemos descobrir alguma coisa interessante
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sobre este estranho conjunto de triângulos e formas
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que eu desenhei.
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É realmente muito legal.
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Se este ângulo for alpha - temos linha AF.
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EF é perpendicular a ele, certo?
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E DE é perpendicular a EF, certo?
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Então DE, nesta linha, e AF são paralelas.
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Desde AF é paralelo ao DE e, em seguida, AE cruza ambos,
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sabemos que, o que é isso?
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Os ângulos internos?
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Sim, eu acho que é chamado de ângulos internos
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com linhas paralelas.
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Que este também é igual a alfa.
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Você pode imaginar linha paralela tempo aqui, tempo paralelo aqui,
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e então essa linha cruza ambos.
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Então, se isso é um pouco confuso talvez você queira
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rever um pouco da geometria linha paralela, mas eu
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acho que isso pode fazer sentido.
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Então, se este ângulo alpha é, então este ângulo aqui
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é complementar a ele.
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Por isso é de menos 90 alpha.
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E, se este ângulo é de 90 alpha menos, este
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ângulo é, obviamente, 90.
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Então sabemos que este ângulo, mais esse ângulo mais esta
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ângulo tem de igual 180.
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Então, nós sabemos que esta é igual a alfa.
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Se isso não faz sentido para você, pense nisso: alpha
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mais 90 menos 90 Alpha Plus - que é um sinal de menos.
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Minus alpha.
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Plus 90 é o quê?
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Alpha mais 90 alpha menos.
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Portanto, este alpha alpha menos e cancelam e você só tem 90
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além de 90 e que é igual a 180.
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Então, nós sabemos que este ângulo certo aqui, eu sei que é
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ficando muito pequena e, provavelmente, difícil de ler.
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Sabemos que este ângulo aqui é alfa.
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Então vamos voltar ao que estávamos progredindo,
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o que estávamos fazendo aqui.
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Então, o que é mais BD BE?
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BD sobre BE.
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Bem, esse é o adjacente a este alfa, que é
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o mesmo ângulo de verdade.
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BD sobre BE, por isso é adjacente sobre hipotenusa.
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Coseno.
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De modo que é igual ao cosseno de alfa.
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E o que é SER mais de AB?
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Bem, se olharmos para este triângulo maior direito, que é o
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oposto do beta vezes sua hipotenusa.
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Então, qual é oposta hipotenusa?
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SOH.
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SO H.
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Sine.
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Então seno de beta é BE sobre AB.
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Portanto, este é seno de beta.
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E agora deixe-me mudar para o magenta.
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O que há de mais AE EF?
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Se olharmos para este triângulo aqui,
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é oposta sobre hipotenusa de alfa.
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Portanto, é seno de alfa.
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Oposto sobre hipotenusa.
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E o que é mais AE AB?
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Então agora estamos olhando para este triângulo retângulo grande aqui.
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AE mais de AB.
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Bem, esse é o lado de beta sobre a hipotenusa.
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Bem, qual é adjacente sobre hipotenusa?
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Isso é o co-seno.
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CAH.
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Cosseno de beta, beta deste aqui.
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Eu acho que estamos a fazer.
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Este é para mim, bastante mente soprando.
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Que o seno de alfa e beta é igual ao cosseno de
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vezes alpha sine de beta.
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Mais sine de alpha vezes o cosseno de beta.
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O que há de interessante sobre isso é que tipo de saiu dessa
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fórmula simétrica agradável.
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Não é essa coisa grande e peludo.
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Você poderia até mesmo ter adivinhado.
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Eu não sei.
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Eu só acho muito legal.
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Nós passamos por essa prova grande complicada com esta grande
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forma complicada, mas temos este belo simétrica trig
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identidade fora dele.
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Portanto, esperamos que você descobriu que incrível bem e na próxima
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apresentação eu vou fazer uma prova para cosseno de alfa e beta.
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Até logo.
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