Proof: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

Bem vindo novamente.

Agora vou provar uma identidade trigonométrica,

que eu acho incrível!

Apesar de achar que a prova não é tão óbvia.

E tenho que admitir agora que

não é algo que me ocorreria naturalmente.

Eu não teria naturalmente nem ao menos desenhado esta figura

para começar.

Digamos que eu queira aprender um outro modo

de escrever seno de (alfa + beta), onde alfa e beta

são, digamos, ângulos separados.

Se eu tivesse o sendo de 40 e 50 graus, eu ia querer saber

-- seria obviamente o seno de 90, que é fácil.

Mas eu poderia reescrever isso como uma combinação de seno

de 40 e seno de 50?

Acho que você já percebeu onde queremos chegar.

Voltemos a este diagrama e digamos que...

-- deixe-me escolher uma cor melhor.

Digamos que este é o ângulo alfa e este é o ângulo beta.

Então, este outro ângulo aqui é o ângulo (alfa + beta)

Então queremos descobrir o seno de (alfa + beta)

Bom, o seno de alfa + beta, o seno

deste ângulo aqui, oposto à hipotenusa.

Oposto a este ângulo é como se usássemos o este ângulo reto--

ou este triângulo reto, o triângulo BAC.

Oposto está BC, então este é igual a BC.

Vou desenhar uma linha sobre ele.

BC sobre a hipotenusa, AB.

BC sobre AB é o seno de (alfa + beta).

Bem, podemos escrever BC sobre AB de modo diferente?

Vejamos se podemos.

E provavelmente, a pessoa que descobriu esta relação

pela primeira vez estava brincando com as retas.

Desenharam este diagrama e disseram,

Posso escrever BC de modo diferente?

Bem, BC -- todo o comprimento -- é a soma de BD e EF.

E sabemos disso porque esta é uma linha horizontal

e você pode entender simplesmente vendo

todos os ângulos retos.

Mas esta é uma linha horizontal.

Então BC é o mesmo que BD + EF.

Vamos escrever aqui.

BC é o mesmo que BD + EF.

E aí, tudo isso sobre AB.

Tudo o que fiz foi reescrever BC como a soma destes segmentos,

espero que faça sentido para você.

E agora podemos, claro, reescreve-lo como

BD/AB + EF/AB.

Então BD/AB + EF/AB.

E parecem índices sem sentido, não?

BD/AB, o que podemos fazer com isso?

E EF/AAB, o que podemos fazer?

Não seria mais interessante se eu pudesse fazer algo como BD/BE?

Seria uma razão interessante porque

seria um segmento sobre a hipotenusa.

Então vamos ver se consigo escrever algo deste tipo.

Bem, podemos fazer isso matematicamente.

Podemos dizer que isto é igual a BD/BE * BE/AB.

Pode parecer pouco intuitivo,

mas faz sentido.

Não escolhermos BE arbitrariamente.

Dissemos que sabemos quanto é BD, então deixe-me escolher outro lado

para que eu talvez possa fazer razões trigonométricas reais.

Então eu disse que BD/BE vezes BE/AB é

igual a BD/AB.