Proof: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

Proof of the trig identity sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

Witam ponownie.

Tym razem udowodnię tożsamość trygonometryczną, która,

według mnie, jest całkiem niesamowita.

Jednocześnie uważam, że jej dowód nie jest aż tak oczywisty.

Od razu muszę przyznać, że nie jest to coś, co

zauważyłbym od razu.

Normalnie nie umiałbym nawet

narysować tej figury, żeby zacząć.

Powiedzmy, że chcemy odkryć inny sposób

zapisania sinus kąta alfa+beta, gdzie alfa i beta są,

powiedzmy, dwoma rozdzielnymi kątami.

Więc, gdybym miał sinus kątów 40 i 50 stopni chciałbym wiedzieć

że jest to, oczywiście, sinus kąta 90 stopni, co jest łatwe.

Ale czy mógłbym to zapisać jako kombinację sinusa 40 stopni

i sinusa 50 stopni, albo w jakiś inny sposób?

Myślę, że zobaczycie, do czego to prowadzi.

Więc wróćmy do schematu i powiedzmy,

że to- wezmę inny kolor-

Powiedzmy, że to jest kąt alfa,

a to jest kąt beta.

A ten cały kąt tutaj jest to kąt alfa plus beta.

Chcemy znaleźć sinus kąta alfa plus beta:

sinus kąta alfa plus beta, czyli sinus

tego całego kąta znajdującego się naprzeciwko przeciwprostokątnej

Naprzeciwko tego całego kąta jest (jeśli weźmiemy kąt prosty, lub

trójkąt prostokątny, czyli trójkąt BAC)

przyprostokąna BC, co daje nam długość odcinka BC

(narysuję linię ponad tym)

podzieloną przez długość przeciwprostokątnej AB

BC podzielone przez AB jest równe sinusowi alfa plus beta

Więc, czy możemy zapisać BC/AB w inny sposób?

Zobaczmy, jeśli możemy.

Prawdopodobnie osoba, która pierwsza zrozumiała ten dowód

poczuła się rozbawiona:

narysowali wykres i pytają się, czy mogę zapisać

BC w inny sposób?

Cóż, BC- ta cała prosta- jest sumą BD oraz EF.

Wiemy to, ponieważ mamy tutaj poziomy odcinek

i możecie sami to zauważyć jedynie patrząc

na kąty proste.

Jest to prosta pozioma,

więc BC jest tym samym, co BD plus EF.

Zapiszmy to.

długość odcinka BC jest równa

sumie długości BD i EF.

Wszystko to wciąż podzielone przez AB.

Jedyne, co zrobiłem, to zapisałem BC jako sumę tego odcinka

i tego, co, mam nadzieję, jest dla Ciebie zrozumiałe.

Teraz możemy zapisać to podobnie jako BD

podzielone przez AB plus EF podzielone przez AB.

Tak więc BD przez AB dodać EF przez AB.

Brzmi trochę bezcelowo, prawda?

BD podzielone przez AB- co mogę z tym zrobić?

No i EF podzielone przez AB- a z tym co mogę zrobić?

Byłoby ciekawie, gdybym mógł zrobić z tego BD podzielone przez BE.

To byłoby interesujące, ponieważ to byłby

odcinek podzielony przez tą przeciwprostokątną

Zobaczmy, czy możemy rozpisać to mniej-więcej w ten sposób

Więc, możemy zrobić to "po matematycznemu"

Możemy powiedzieć, że jest to równe BD podzielone przez BE razy BE podzielone przez AB.

Wygląda to dość nieintuicyjnie, ale

ma sens.

Nie wybraliśmy BE zupełnie dowolnie.

Powiedzieliśmy, co to BD, więc wezmę się za to z innej strony

i wykorzystam prawdziwe własności trygonometryczne.

Tak, jak powiedziałem: BD przez BE pomnożone razy BE przez AB jest

równe BD podzielone przez AB.

Mam nadzieję, że nie zdezorientowałem Was tymi wszystkimi literami.

Ale to ma sens, prawda?

Ponieważ te dwa wyrażenia powinny się skrócić.

Jeżeli pomnożymy te ułamki

wrócimy do początkowego wyrażenia.

Pozwólcie mi upewnić się, że rozumiecie:

że to-- uuups

To wyrażenie oraz to są sobie równe

Teraz zróbmy to z drugim wyrażeniem:

Wiemy,co to EF. Czyż nie byłoby dobrze, gdybyśmy mogli powiązać EF

z czymś, np. z przeciwprostokątną tego

trójkąta prostokątnego?

Na przykład: AE.

Zróbmy więc tak.

Postawmy znak "plus" tutaj.

EF podzielone przez AB jest tym samym, co EF podzielone przez AE razy AE podzielone przez AB.

Po raz kolejny wymnażamy wyrażenia.

Te powinny się skrócić i powinniście znów otrzymać to.

Upewnię się, że rozumiecie, iż to wyrażenie

jest równe temu,

i możecie wymnożyć wyrażenia

otrzymując to.

Zanim pójdziemy dalej

w naszym rozważaniu,

zauważmy, że możemy odkryć jeszcze jedną interesującą rzecz

o tym dziwnym ustawieniu trójkątów i kształtów

które narysowałem.

To jest właściwie całkiem przyjemne.

Jeśli ten kąt jest równy alfa -- mamy prostą AF

EF jest prostopadła do AF, prawda?

A DE jest prostopadła do EF.

Więc DE, ta prosta, i AF są równoległe.

Skoro AF jest równoległa do DE, to AE przecina obie te proste

wiemy, co to znaczy?

Kąt wewnętrzny?

Tak, myślę, że to nazywa się kątem wewnętrznym

z prostymi równoległymi.

Tak więc to jest równe alfa.

Wyobraź sobie długą prostą równoległą tutaj, prostą równoległą tutaj

i wtedy ta prosta przecina obie.

Jeśli jest to dla Ciebie trochę niezrozumiałe spróbuj

powórzyć geometrię prostych równoległych, ale

myślę, że wszystko powinno mieć dla Ciebie sens.

Jeśli ten kąt jest równy alfa, wtedy ten kąt

jest dopełniającym do niego,

czyli jest równy 90 stopni minus alfa.

Skoro ten kąt ma miarę 90stopni - alfa, to

ten kąt jest, oczywiście, równy 90 stopni.

Wiemy, że ten kąt, plus ten, plus ten

kąt daje łącznie 180 stopni.

Więc wiemy, że ten jest równy alfa.

Jeżeli nie rozumiesz, pomyśl: alfa

plus 90 stopni minus alfa plus 90 stopni - tu jest minus,

minus alfa

plus 90 stopni wynosi ile?

alfa plus 90 minus alfa.

Więc ta -alfa i alfa się skracają, więc zostaje jedynie 90

plus 90, co jest równe 180.

Wiemy, że ten tutaj kąt (wiem, że

to jest małe i pewnie trudne do przeczytania)

że ten tutaj kąt jest równy alfa.

Wróćmy do naszych postępów,

czyli do tego, co robiliśmy tutaj

Więc czemu jest równe BD podzielone przez BE?

BD podzielić przez BE.

Cóż, to jest przyprostokątna do tego alfa, który jest

tak naprawdę tym samym kątem.

BD podzielone przez BE- więc jest to przyprostokątna podzielona przez przeciwprostokątną.

Cosinus.

Jest to równe cosinusowi alfa.

A czym jest BE podzielone przez AB?

Jeśli spojrzymy na ten duży trójkąt prostokątny