Доказателство: sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

Доказателство на тригонометрична идентичност sin(a+b) = (cos a)(sin b) + (sin a)(cos b)

Здравейте отново.

Ще направя доказателство за тригонометрична идентичност, което

мисля, че е наистина изумително.

Въпреки, че мисля, че доказателството не е така очевидно.

Трябва да признаем предварително, че това не е нещо, което

щеше да ми хрумне непринудено.

Нямаше да нарисувам тази фигура като

за начало.

Да кажем, че искаме да намерим начин

за записване на синус от алфа плюс бета, където алфа и бета са

да речем, два отделни ъгъла.

Ако аз имам синус от 40 и 50 градуса и търся--

това очевидно е синус от 90, което е лесно.

Но мога ли да препиша това като комбинация от синус

от 40 и синусът от 50 или др. подобно?

Мисля, виждате накъде клоня.

Да се върнем на диаграмата и да кажем, че

това--ще избера по-добър цвят.

Да речем, че това е ъгъла алфа, а това е ъгъл бета.

Да речем, че това е ъгъла алфа, а това е ъгъл бета.

След това, този целият ъгъл тук е алфа плюс бета.

Искаме да намерим синус от алфа плюс бета.

Добре, синус от алфа плюс бета, синус от този

целия ъгъл, срещу хипотенузата.

Срещу този целия ъгъл е, ако ползвам този прав ъгъл--или

този правоъгълен тръгълник, триъгълник ВАС.

Срещу ВС, това е равно на ВС.

Ще нарисувам малка права върху него.

ВС върху хипотенузата АВ.

ВС върху хипотенузата АВ.

ВС върху АВ е синус от алфа плюс бета.

Добре, можем ли да запишем ВС върху АВ по различен начин?

Да видим дали е възможно.

Вероятно, този, който е намерил това доказатезлство

просто е налучквал.

Нарисували са тази диаграма, и казват, можем ли

да запишем ВС по различен начин?

Ами, ВС--тази цялата дължина--е сумата от BD и EF.

Ние знаем това, защото това е хоризонтална линия сега

и можете да намерите просто като я гледате

правите ъгли.

Но това е хоризонтална права.

Така ВС е същото като BD плюс EF.

Ще запиша това.

ВС е същото като BD плюс EF.

ВС е същото като BD плюс EF.

И после, всичко това, върху АВ.

Всичко, което направих е, че преписах ВС като сума от този сегмент и този

сегмент, което би трябвало да ви е ясно.

След това можем, разбира се, да препишем това като ВС е същото като BD

върху АВ плюс EF върху АВ.

Значи, BD върху АВ плюс EF върху АВ.

Това са един вид незначими съотношения, нали?

BD върху АВ, какво мога да направя с това?

EF върху АВ, какво мога да направя с това?

Нямаше ли да е по-интересно ако можех да направя същото като BD върху ВЕ.

Това щеше да е интересно съотношение, защото щеше да е

сегмента върху хипотенузата.

Да видим дали можем да запишем като това.

Добре, можем просто да го решим математически.

Можем да мажем, че това е равно на BD върху ВЕ по ВЕ върху АВ.

Това може да ви изглежда като неинтуитивно, но

има смисъл.

Не сме избрали ВЕ напълно произволно.

Казахме, че знаем какво е BD, така че нека изберем друга страна, където

мога да направя нещо може би с истински тригонометрични съотношения.

Както казах, BD върху ВЕ по ВЕ върху АВ е

равно на BD върху АВ.

Надявам се, че не ви обърках с тези букви.

Но това има смисъл, нали?

Защото тези два члена се съкращават.

Ако просто умножавахме тези дроби, щяхме да

се върнем на този горния член.

Нека всъщност да се уверим, че разбирате,

че този--опа.

Че този член и този член са едно и също нещо.

Сега нека решимза този втория член.

Знаем, че EF, добре ще е ако свържем EF към

нещо, например хипотенузата на този

правоъгълен триъгълник.

Като АЕ.

Да направим това.

Да направим това.

Ще сложим знак плюс тук.

EF върху АВ е същото като EF върху АЕ по АЕ върху АВ.

Още веднъж, ние просто умножаваме дроби.

Тези се съкращават и получавате това отново.

Нека се уверим, че разбирате, че този член е

същия като този член.

Можете просто да умножите дробите и ще

получите това.

Сега преди да продължим в посока на това,

което правихме досега.

Да видим дали можем да намерим нещо друго интересно

за товастранно множество от триъгълници и форми, които

съм нарисувал.

Доста ясно се вижда.

Ако този ъгъл е алфа--имаме правата AF.

ЕF е перпендикулярна, нали?

А DE е перпендикулярна на EF, нали?

Значи DE, тази права, и AF са паралелни.

Тъй като AF е паралелна на DE и после АЕ пресича и двете,

ние знаем, че това е какво?

Вътрешни ъгли?

Да, мисля, че това се нарича вътрешни ъгли

с паралелни линии.

Това също така е равно на алфа.

Можете да си представите дълга паралелна права, дълга паралелна права тук,

и след това тази права пресича и двете.

Така, че ако това е малко объркващо може би трябва

да преговорите малко паралелни прави по геометрия, но

мисля, че това е доста ясно.

Ако този ъгъл е алфа, то този ъгъл тук

го допълва.

Така, че той е 90 минус алфа.

Така, че той е 90 минус алфа.

Ако този ъгъл е 90 минус алфа, този

ъгъл е очевидно 90.

Тогава знаем, че този ъгъл плюс този ъгъл плюс този

ъгъл е равно на 180.

Знаем, че това е равно на алфа.

Ако не го разбирате, помислете малко: алфа

плюс 90 минус алфа плюс 90--това е минус.

Минус алфа.

Плюс 90 е какво?

Алфа плюс 90 минус алфа.

Това минус алфа и алфа се съкращават и имате просто 90

плюс 90 и това е равно на 180.

Знаем ,че този ъгъл тук, знам, че е

написано с малки букви и сигурно трудно се чете.

Знаем, че този ъгъл тук е алфа.

Да се върнем на това, което правехме,

ето тук.

Така какво е BD върху ВЕ?

BD върху ВЕ?

Ами, това е съседния на алфа, което

е същия ъгъл всъщност.

BD върху ВЕ, е съседен върху хипотенузата.

Косинус.

Това е равно на косинус от алфа.

Това е равно на косинус от алфа.

Какво е BE върху АВ?

Какво е BE върху АВ?

Ами, ако погледнем този голям правоъгълен триъгълник, това е

обратното на бета по хипотенузата.

Какво е обратното върху хипотенузата?

SOH.

SOH.

Синус.

Синус от бета е ВЕ върху АВ.

Това е синус от бета.

Това е синус от бета.

Сега нека мина на лилаво.

Какво е EF върху АЕ?

Какво е EF върху АЕ?

Ако погледнем този правоъгълен триъгълник тук,

той е обратното върху хипотенузата за алфа.

Така това е синус от алфа.

Обратното върху хипотенузата.

Обратното върху хипотенузата.

Какво е АЕ върху АВ?

Какво е АЕ върху АВ?

Сега ще разгледаме този голям правоъгълен триъгълник тук.

АЕ върху АВ.

Добре, това е съседно на бета върху хипотенузата.

Добре, какво е съседното върху хипотенузата?

Това е косинусът.

CAH.

Косинус от бета, тази бета тук.

Мисля, че сме готови.

Това според мен е изумително.

Това е синус от алфа плюс бета е равно на косинус от

алфа по синус от бета.

Плюс синус от алфа по косинус от бета.

Това, което е ясно оттук е, че получихме

ясна симетрична формула.

Не нешо голямо и сложно.

Дори можеше и да сетите.

Не знам.

На мен ми се струва много ясно.

Минахме през това голямо сложно доказателство с тази голяма

сложна форма, но получихме тази ясна симетрична тригонометрична

идентичност.

Надявам се и вие да сте впечатлени колкото мен, а в следващата

презентация ще направя доказателство за косинус от алфа плюс бета.

До скоро.

До скоро.