Valor da Distribuição Binomial

Valor de esperança de uma variável aleatória com distribuição binomial

.

No último vídeo nós aprendemos um pouco sobre

o que é o valor de esperança de uma variável aleatória, e nós vimos que isso

era realmente apenas a média da população -- a mesma coisa.

Mas com a variável aleatória, uma vez que a população é

infinita, você não pode pegar todos os elementos e então

tirar a média de todos eles.

O que você tem que fazer é dizer "OK, cada um desses termos ocorre com

alguma frequência ou com certa probabilidade e você apenas

pega a soma de probabilidades ponderadas.

O que nós dissemos no último vídeo foi exatamente a mesma coisa que

somar tudo junto e dividir pelo número de

números, exceto que este método funcionou com um número

infinito de uma população infinita que é a

variável aleatória.

Porquê você sempre pode continuar fazendo o experimento que

gera a variável aleatória.

E então, nós agora calculamos o valor da esperança

para estas distribuições binomiais particulares, que nós estudados,

especialmente aquela de lançar a moeda.

Neste vídeo nós iremos encontrar uma fórmula geral para a média,

ou de fato, para o valor de esperança de uma distribuição

binomial

Então se nós dissermos que a variável aleatória, x, é igual ao

número de... nós podemos chamar isso de sucessos.

.

O número de sucessos com probabilidade p depois de n tentativas.

Então eu estou sendo um pouco generalista aqui.

Eu quero dizer que eu poderia dizer "o número de caras sucessivas,

que têm a probabilidade de 0,5, depois de 10 lançamentos.

Isso é a mesma coisa que isso, eu estou sendo apenas um pouco

mais generalista aqui.

E agora, nós iremos calcular qual o

valor de esperança disso.

E nós dissemos que se nós calcularmos a distribuição

de probabilidades para esta variável aleatória, você obtém esta bela

distribuição binomial que se parece um pouco

com uma curva em sino.

E nós iremos estudar mais sobre curvas em sino mais tarde.

Mas antes eu irei mostrar para você que eu

irei lhe dar a resposta.

Porquê a resposta, em algum grau, agora é um

pouco intuitiva

O valor de esperança para esta variável aleatória é n vezes

p, ou algumas pessoas escreverão p x n.

Deixe-me fazer isso um pouco mais tangível para você.

Então se eu disser que esse x é... vamos fazer isso numa cor diferente.

Vamos ver, x é igual ao número de cestas que eu fiz.

E eu estou falando sobre o jogo de basquete, não construção de cestos.

Número de cestas que eu fiz depois de 10 arremessos onde eu tive

a probabilidade de acertar qualquer um dos arremessos... eu não sei... 40%.

Nós sabemos que o número de esperança das cestas

que eu fiz depois de 10 arremessos.

Então nós sabemos que o número de esperança das cestas que eu fiz depois

de 10 arremessos, onde cada um dos meus arremessos tinha 40% de chance... e tudo o que eu tenho que fazer

é multiplicar a probabilidade vezes o número de

cestas que eu estou fazendo.

Então eu multiplico probabilidade vezes o número de cestas ou o

número de aerremessos que eu estou fazendo, o que será igual a 4.

Então eu sei eu disse... e você realmente não precisa necessariamente

ver estritamente o valor da esperança como o número de arremessos que você poderia

esperar acertar, porquê algumas vezes as distribuições

de probabilidade podem ser um pouco estranhas.

Mas na distribuição binomial você pode ver

isso dessa maneira.

Que isso é o número de cestas que você espera fazer.

Ou você pode ver isso como o resultado mais provável.

De que se você tem a porcentagem de acerto de 40% e você faz 10

lançamentos, o resultado mais provável é que você irá fazer 4 cestas.

Você poderia ainda fazer 6 cestas ou 3 cestas, mas isso irá ser

o resultado mais provável.

E na minha cabeça, a maneira que eu penso sobre isso, a maneira como isso

me faz senso intuitivo é que para cada vez que você arremessa você tem a chance

de 40% de fazer a cesta.

Então você poderia dizer que você sempre faz 40% de uma cesta.

E se você fizer 10 arremessos, você irá fazer 4 cestas inteiras.

Então esta é uma maneira de pensar sobre isso e o porquê isso

pode fazer algum senso intuitivo.

Mas agora, vamos provar para nós mesmos de que isso é realmente

verdadeiro para qualquer variável aleatória que for descrita por uma

distribuiçõa binomial.

Então em uma distribuição binomial qual é a probabilidade... bem se eu

disser, "qual a probabilidade de que X seja igual a k?

E eu sei que isso se torna às vezes um pouco complicado.

Mas eu estou apenas dizendo, "qual a probabilidade digamos,

nessa analogia do basquete?

Isso será você sabe, qual a probabilidade que eu faça...

k pode ser 3 arremessos ou algo como isso.

Então é disso que nós estamos falando.

E o que nós aprendemos foi, se nós estivermos fazendo n arremessos, nós

iremos escolher k deles.

E nós fizemos isso muitas vezes em muitos dos nossos vídeos anteriores.

E então nós multiplicamos isso vezes a probabilidade de qualquer uma

dessas ocorrências particulares.

Então se eu estiver fazendo k arremessos, isso será a probabilidade de que eu faça

qualquer cesta, o que é p elevado à potência de k.

p vezes ele mesmo por k vezes.

Essa é a probabilidade de fazer k cestas.

E então o resto dos arremessos, eu terei que errar.

Então a probabilidade de um erro é 1 menos p.

E então quandos foram os arremessos?

Se eu fizer k arremessos, o resto dos arremessos eu tenho que errar.

Então eu irei errar n menos k arremessos.

Então em qualquer distribuição binomial, esta é a probabilidade

de que você tenha k cestas.

Agora que nós sabemos o valor da esperança, a maneira de você calcular

um valor de esperança de uma variável aleatória é você apenas pegar

a soma ponderada da probabildiade.

Eu não quero o confundir muito e se você simplesmente

conseguir entender deste vídeo apenas isso, é o suficiente.

Você se sentirá bem.

Agora eu serei um pouco mais técnico, mas espero o

fazer um pouco mais confortável com as notações de

sigma e de somatório.

Eu o deixarei mais confortável com

coeficientes binomiais e coisas como isso.

Mas apenas para retornar, o valor de esperança é a

probabilidade ponderada da soma de cada um desses.

Então o que você irá fazer se você quiser tomar a probabilidade

de que X seja igual a k, vezes k, e então somar tudo isso para

cada um dos ks possíveis.

E então como eu poderia escrever isso?

Então o valor da esperança de X, o valor da esperança da nossa variável

aleatória que foi descrita como uma distribuição binomial...

é igual ao somatório.

.

E nós iremos somar todos esses valore que k pode ter.

Então k pode iniciar com 0... na versão do basquete, eu não fiz nenhuma

cesta... por toda a vida até n, o que significa que eu fiz n cestas.

E para cada um deles você irá querer multiplicar k, então o resultado...

então eu fiz k cestas, vezes a probabilidade de que

eu tenha feito k cestas.

Bem, qual foi a probabilidade de que eu faça k cestas?

Isso foi isso bem aqui.

Então isso sera k vezes n escolhe k vezes p elevado à k vezes 1...

menos p elevado à n menos k.

E agora nós iremos fazer apenas um pouco de álgebra, um pouco

de álgeba de sigma, eu penso que você poderia chamar isso...

Então a primeira simplificação que nós podemos fazer é que nós estamos somando

de K igual a zero até n.

Então o primeiro termo aqui irá ter um k igual a zero aqui.

Isso irá ser zero no primeiro termo.

Então este primeiro termo é zero, então toda essa coisa bem aqui irá ser

zero, e o k igual a zero não irá contribuir para o somatório

porque toda essa coisa irá ser zero!

Deixe-me escrever isso porque eu penso que isso... então este somatório poderia

ser escrito como zero vezes n escolhe zero vezes p elevado à zero, vezes 1

menos p elevado à n menos zero.

Mais 1 vezes n escolhe 1 vezes p elevado à 1 vezes 1 menos

p elevado à n menos 1.

E então você irá continuar somando, por toda a vida até você

chegar a k igual a n.

Então isso será n vezes n escolhe n vezes p elevado à n, vezes

1 menos p, n menos n.

Isso é apenas outra maneira de escrever este somatório bem aqui.

E o que eu disse foi apenas que este primeiro termo, que é este termo,

será igual a zero porque k é igual a zero.

zero vezes qualquer coisa é zero!

Então nós podemos ignorar este termo e nós podemos reescrever este somatório como

essencialmente este somatório bem aqui.

.

E o que nós precisamos fazer é essencialmente apenas

reescrever essa coisa bem aqui.

Então o valor de esperança para nossa variável aleatória

será igual ao somatório.

E nós náo precisamos ir desde k igual a zero, nós podemos

começar com k igual a 1.

De k igual a 1 até n da mesma coisa... k vezes n escolhe

k vezes p elevado à k, vezes 1 menos p, n menos k.

Vamos ver o que nós podemos fazer a partir de agora.

Tudo o que eu fiz até agora foi vir deste primeiro termo, porquê

isso é um tipo de truque que nós usaremos para simplificar isso eventualmente

para o resultado que nós queremos obter.

Então vamos escrever nosso coeficiente binomial e ver se nós

podemos fazer alguma coisa ali.

Oh, olhe para isso!

Meu iPod quer ser sincronizado!

Deixe me livrar disso.

Muito bem, e então, onde eu estava?

OK, então isso é igual a... eu irei apenas escrever

o coeficiente binomial.

k igual a 1 a n.

k vezes... isso bem aqui é n fatornal sobre k fatorial

sobre n menos k fatorial.

Vezes p elevado à k vezes 1 menos p elevado à n menos k.

E aqui nos podemos fazer um pouco de simplificações...

porquê o que é k dividido por k fatorial?

Talvez eu possa reescrever isso de uma maneira diferente. k fatorial é k

vezes k menos 1 vezes k menos 2, e seguindo, por toda a

vida até eu chegar a 1.

Isso é k fatorial!

Então k fatorial poderia ser escrito como k vezes k menos 1 fatorial.

Isso é k vezes, e então número 1 menor que k vezes

todos os números abaixo dele.

Então vamos reescrever.

Então isso poderia ser reescrito como k vezes k menos 1 fatorial.

E a razão pela quel eu fiz isso é porquê eu posso cancelar

este k com aquele k.

Então se eu cancelar isso eu penso que isso nos permite reescrever

toda a coisa novamente.

E agora, eu penso que você poderia simplificar isso, isso fica igual à

soma deste k é igual a 1 elevado à n de n fatorial sobre k

menos 1 fatorial.

Vezes n menos k fatorial vezes p elevado à k vezes 1 menos

p elevado à n menos k.

E então vamos fazer outra simplificação.

Agora, o que eu quero fazer e nós queremos saber

onde queremos chegar, certo?

Isso poderia simplificar com n vezes p.

Então vamos ver se nós podemos fatorar um n vezes p e então vamos

ver se nós podemos tornar tudo o mais em um 1, e então

nós teremos terminado.

Então nós podemos reescrever n fatorial usando o mesmo truque daqui.

n fatorial pode ser reescrito como n vezes n menos 1 fatorial...

pela mesma lógica.

E então p elevado a pode ser reescrito como p vezes

p elevado à k menos 1.

E então nós podemos fatorar este n e este p e nós iremos obter

que ele é igual a np vezes o somatório de k... é igual a 1 a

n de... vamos ver...

Nós fatoramos aquele n e p fora.

n menos 1 fatorial sobre k menos 1 fatorial vezes

n menos k fatorial.

Vezes p elevado à k menos 1.

Isso não está no denominador.

Isso é apenas um termo regular... vezes 1 menos p elevado à n menos k.

E nós fechamos.

Lembre-se, nós queremos o resultado do nosso valor de esperança da nossa

variável, e isso é o que nós estivemos fazendo antes.

Isso deve ser igual a isso.

Então nós terminamos se nós pudermos mostrar que toda essa

coisa vale 1.

E para fazer isso eu terei que fazer uma substituição simplificadora.

Vamos fazer a substituição... eu não sei... vamos dizer que

a é igual a k menos 1.

E aquele b é igual a n menos 1.

E então n menos k seria igual a quê?

Vamos ver.

Se a é igual a k menos 1 então um +1 é igual a k.

E então aqui, b mais 1 é igual a n, então n menos

k será igual a isos, um +1 menos isso.

Menos b menos 1, estes se cancelam...

O que será igual a -b.

E vamos ver se nós podemos simplificar isso.

Então todo esse somatório irá se tornar np vezes o somatório

de... OK, quando k é igual a 1, isso é a mesma coisa...

que quando k é igual a 1, e isso é igual a quê?

a é igual a zero.

De a igual a zero a... agora quando k é igual a n...

Isso será igual a quê?

Se isso é igual a n, se k é n, então a é

igual a n menos 1.

Então nós temos um igual a a igual a n menos 1.

Mas n menos 1 é a mesma coisa que b.

Então nós podemos reescrever este somatório aqui.

Isso sempre é um pouco confuso.

Você pode querer dar uma pausa e pensar sobre isso um pouco.

Mas eu percebi que eu já esgotei meu tempo, então eu irei

apenas um pouco mais adiante.

E então nós temos b igual a n menos 1.

Então isso será b fatorial sobre k menos 1, nós fizemos

a definição de que isso é igual a a.

Então isso é a fatorial!

E então bem aqui, n menos k poderia ser a...

Oh, você sabe o porquê?

Eu inverti isso! n menos... OK poderia ser b menos a...

n menos k... certo.

n é b mais 1, então este b mais 1 menos um +1.

Menos a, menos 1.

Então os 1s se cancelam e você tem b menos a.

Então o n menos k irá se tornar b menos a fatorial.

E então p elevado a k menos 1... k menos 1 é p elevado à a...

E então vezes 1 menos p elevado à n menos k.

Nós já mostramos que n menos k é a mesma

coisa que b menos a.

E então aqui, e agora nós praticamente terminamos... isso

bem aqui, o que é isso?

Isso é a probabilidade de... bem, deixe-me reescrever...

de uma maneira mais simples.

Isso é igual a np vezes o somatório de a é igual a 0 a b.

O que é isso?

Isso é b escolhe a.

Eu tenho b coisas e eu quero escolher a coisas delas, de quantas

maneiras diferentes eu posso... vezes p elevado à a vezes 1...

menos p elevado à b menos a.

O que é essa coisa aqui?

Isso é que você está pegando todos os termos da distribuição

binomial.

Então você está dizendo, qual é a probabilidade

quando a é igual a zero?

Isso é a probabilidade para cada um dos as, certo?

E você está somando para todos os as que você pode obter.

Então se eu puder escrever uma distribuição rápida e porca como essa...

se a é igual a zero, você tem uma determinada probabildiade.

E então uma certa probabilidade para a é igual a 1. E então outra

probabilidade, e isso aumenta.

E então isso é como uma curva em sino, algo como isso...

Este termo bem aqui de cada um desses.

Cada uma dessas caixas, você poderia dizer, representa

cada um desses termos.

Quando a é igual a zero, este é o termo.

Quanto a é igual a 1, é este termo.

Quando a é igual a 2, é este termo, por toda a vida até b termos.

Mas nós estamos somando eles, então nós estamos somando todas

as probabilidades.

Nós estamos somando sobre todos os valores que nossa

variável aleatóia pode ter.

Se nós resolvermos todas as probabilidades que uma variável

aleatória pode ter, ou se nós somarmos sobre todos os valores,

isso irá somar 1.

Isso é como dizer que esta é a probabilidade de dar cara,

mais a probabilidade de dar coroa.

Ou você poderia dizer que na analogia de lançar a moeda,

esta é a probabililidade de que eu tenha 1 cara mais a

proababilidade de que eu tenha 2 caras, mais a probabilidade de que eu tenha 3

caras, mais a probabilidade de que eu tenha 4 caras, por toda a vida até

a probabilidade de que eu tenha b caras.

Então isso é um pouco como que toda circunstância que pode ocorrer...

Então esta é o somatório sobre toda a distribuição

de probabilidades, então isso irá ser igual a 1.

E então, nós restamos com o valor de esperança da nossa

variável aleatória, X, que é igual a n vezes p.

Onde n é o número de tentativas e p é a probabilidade

de sucesso para cada tentativa.

E isso é verdade apenas para distribuições binomiais.

Isso não é verdade para qualquer variável aleatória, X.

Apenas verdadeiro para a variávela aleatória, X, cuja distribuição

de probabilidades é a distribuição binomial.

De qualquer maneira, meu tempo acabou.

O vejo no próximo vídeo.

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