Rhombus Diagonals

Proof that the diagonals of a rhombus are perpendicular bisectors of each other

Привет! В этом коротком видео я буду доказывать,

что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Помните, что ромб – это просто параллелограмм,

все четыре стороны которого равны.

Ну, а если четыре стороны равны,

это точно или квадрат, или параллелограмм.

Давайте я разъясню.

Некоторые ромбы – это квадраты, но не все,

потому что вы можете встретить вот такие ромбы,

у которых углы не равны 90 градусам.

Но все квадраты – это ромбы,

потому что их углы равны 90 градусам,

хотя не это доказывает, что они ромбы,

а то, что их стороны равны, это доказывает, что они - ромбы.

Т.е. все квадраты – ромбы, но не все ромбы – квадраты.

Теперь поговорим о диагоналях ромба.

Для простоты я сейчас нарисую ромб так,

чтобы он формой походил на алмаз.

Однако обратите внимание: я не меняю свойств ромба,

я просто немного меняю его расположение.

У ромба по определению все четыре стороны равны.

Давайте я нарисую одну из его диагоналей.

Ромб, который я здесь нарисовал, похож на алмаз,

и одна из его диагоналей будет проходить

четко по горизонтали.

У треугольников, образовавшихся вверху и внизу,

есть одна общая сторона.

Очевидно, что эта сторона будет одинаковой

для обоих этих треугольников,

а другие две стороны тоже будут равны,

потому что это стороны нашего ромба.

Т.е. все три стороны верхнего и нижнего треугольников равны.

Значит верхний и нижний треугольники равны.

Равные треугольники.

Вспомните, как в геометрии девятого класса

вы доказывали, что, если каждая из трех сторон

одного треугольника равна соответствующим сторонам другого,

то эти треугольники равны.

Это также значит,

что все углы этих треугольников равны.

Угол, лежащий напротив стороны,

общей для двух треугольников,

равен соответствующему углу второго треугольника.

Оба эти треугольника также равнобедренные.

То есть углы у их оснований также равны.

Вот один угол у основания, вот другой.

Это равнобедренный треугольник,

расположенный головой вниз,

а это такой же треугольник,

но расположенный вершиной вверх.

Значит если эти два угла равны, то и те два тоже равны.

Эти два угла равны друг другу потому,

что это равнобедренный треугольник,

и они также равны этим двум углам потому,

что наши треугольники равны.

Теперь, если мы возьмем -

хотя, я думаю, мы все-таки не будем этого делать,

потому что это не обязательно для того,

чтобы доказать то, что нам нужно.

Давайте лучше отметим высоту обоих треугольников,

а высота по определению будет перпендикулярна основанию.

Равнобедренный треугольник полностью симметричен.

Если вы проведете высоту из его вершины

или верхнего угла, вы разделите его

на два симметричных прямоугольных треугольника.

Они будут зеркальным отражением друг друга.

Вы также разделите основание пополам.

Эта высота, вообще-то, является и медианой треугольника.

Теперь мы можем проделать то же с другой стороны.

Здесь внизу произойдет то же самое.

Мы делим пополам общую сторону,

и получается прямой угол.

Т.е. мы можем сказать, что сочетание этих двух высот –

это просто диагональ ромба,

и она расположена под прямым углом

к другой диагонали ромба

и разделяет при этом ее пополам.

Здесь мы можем построить такое же доказательство.

Вы можете взять равнобедренный треугольник.

Вот его высота. Она делит этот треугольник

на два равных симметричных треугольника

и разрезает его противоположную сторону

на две равные части.

Это, иными словами, медиана этого треугольника.

Это справедливо для

любого равнобедренного треугольника.

Если эта сторона равна этой, и вы нарисуете высоту,

то два треугольника будут симметричны,

и вы разделите противоположную сторону пополам.

По той же причине эта сторона равна этой,

т.е. две диагонали любого ромба перпендикулярны

друг другу и делят друг друга пополам.

Надеюсь, это будет вам полезно.