-
Vi skal bevise, hvorfor diagonalerne i en rombe er vinkelrette.
-
En rombe er et parallelogram, hvor alle 4 sider er lige lange.
-
Nogle romber er kvadrater,
-
men ikke alle er, for den her har eksempelvis ikke vinkler på 90 grader.
-
Kvadrater er romber,
-
for alle kvadraters vinkler er 90 grader. At alle siderne er lige lange gør dem til romber.
-
Alle kvadrater er romber, men ikke alle romber er kvadrater.
-
Lad os se på diagonalerne i en rombe.
-
Vi drejer romben lidt,
-
så den ligner en diamant.
-
Vi ændrer ikke selve romben,
-
vi drejer den bare lidt.
-
I en rombe er alle 4 sider lige lange.
-
Nu tegner vi diagonalerne.
-
Den ene diagonal er lodret. Sådan her.
-
Nu deler trekanten i toppen og trekanten i bunden den her side.
-
Den her side er lige lang i begge trekanter.
-
De andre 2 sider i trekanterne er også ens.
-
Alle 3 sider i trekanten i toppen og den i bunden er altså ens.
-
Trekanten i toppen og trekanten i bunden er kongruente.
-
Vi har tidligere lært side-side-sidesætningen:
-
Hvis alle 3 sider er kongruente, er trekanterne kongruente.
-
Det betyder også, at alle vinklerne er kongruente.
-
Vinklen her er altså kongruent med den tilsvarende vinkel i den anden trekant.
-
Vinklen på den modsatte side vil være ens.
-
Begge trekanter er også ligebenede, så grundvinklerne er ens.
-
Det her er en omvendt ligebenet trekant, og den her vender den rigtige vej.
-
Hvis de her 2 er ens, er de her 2 også ens.
-
De er ens, fordi det er en ligebenet trekant.
-
De er også ens med de andre hernede, fordi trekanterne er kongruente.
-
Når vi snakker om det her bevis, behøver vi faktisk ikke kigge på højden.
-
Vi prøver alligevel.
-
Vi kigger på højden fra hver af vinkelspidserne og hertil.
-
Højden vil per definition være vinkelret på den her. En ligebenet trekant er perfekt symmetrisk.
-
Hvis vi tegner højden fra toppen,
-
vil vi dele den ligebenede trekant op i 2 ens trekanter.
-
De er et spejlbillede af hinanden. Vi halverer også den modstående side.
-
Højden er faktisk en median i trekanten. Vi kan gøre det på den anden side.
-
Det samme vil ske. Det her er en ret linje.
-
Kombinationen af de her 2 højder bliver til en diagonal i romben,
-
og den står vinkelret på den anden diagonal.
-
Den halverer den anden diagonal i romben. Vi kan bruge samme argument her.
-
Vi kan se på det her som en ligebenet trekant. Det her er højden,
-
der deler den om i 2 symmetriske trekanter. Den halverer den modstående side.
-
Hvis vi tegner højden i en ligebenet trekant, vil de her 2 trekanter altid være symmetriske,
-
og vi vil have halveret den modstående side.
-
Derfor er den her side lig med den her side. De 2 diagonaler i romben står altså
-
vinkelret på hinanden og halverer hinanden.
