-
Ukážu vám, proč jsou úhlopříčky
kosočtverce na sebe kolmé.
-
Vzpomeňte si, že kosočtverec je vlastně
rovnoběžník se čtyřmi stejně dlouhými stranami.
-
Když jsou všechny strany stejně dlouhé,
to už zaručuje, že půjde o rovnoběžník.
-
Na vysvětlenou, některé kosočtverce jsou
čtverce, ale ne všechny, jako třeba tento.
-
To se stane, když vnitřní úhly nejsou pravé.
Ale všechny čtverce jsou kosočtverce.
-
Jejich úhly jsou pravé,
to z nich ale kosočtverce nedělá.
-
Navíc však mají stejně dlouhé strany.
-
Takže všechny čtverce jsou kosočtverce,
ale ne všechny kosočtverce jsou čtverce.
-
Podívejme se teď na úhlopříčky kosočtverce,
pro názornost nakreslím takový...
-
Načrtnu ten kosočtverec jinak,
-
pootočím jej trochu,
aby vypadal jako diamant.
-
Ale pozor, neměním žádné jeho vlastnosti,
-
jenom jím otáčím. Jenom jím rotuju.
-
Kosočtverec má z definice
všechny strany stejně dlouhé.
-
Přikreslím jednu uhlopříčku,
teď to opravdu vypadá jako diamant.
-
Jedna bude vodorovně, přesně takto.
-
Trojúhelníky v horní a spodní části
sdílejí tuto stranu.
-
Takže mají samozřejmě
jednu stranu stejné délky.
-
Ty další dvě strany trojúhelníků jsou
taky shodné, jedná se přece o kosočtverec.
-
Takže všechny tři strany těch trojúhelníků
jsou stejně dlouhé.
-
Proto platí shodnost mezi spodním
a horním trojúhelníkem.
-
Vzpomeňte si na matematiku
na základní škole
-
a větu SSS - shodnost tří stran zaručuje
shodnost trojúhelníků.
-
To znamená, že i vnitřní úhly
trojúhelníků jsou shodné.
-
Takže úhel u tohoto vrcholu bude shodný
s odpovídajícím úhlem druhého trojúhelníku.
-
Oba úhly protilehlé této straně budou stejné.
Zároveň jsou oba trojúhelníky rovnoramenné,
-
takže úhly u základny si budou rovny.
Toto je jeden úhel u základny,
-
tohle druhý úhel u základny,
tento trojúhelník je "hlavou dolů",
-
kdežto tenhle je správným vrcholem nahoru.
Když jsou tedy tyto stejné, i tyhle musí být.
-
Budou si rovny, protože se jedná
o rovnoramenný trojúhelník.
-
Zároveň budou rovny i těmto,
kvůli shodnosti trojúhelníků.
-
Teď když se podíváme na výšku...
Vlastně ne,
-
o tom vůbec nemusíme mluvit,
nakonec se to ukáže nepodstatné.
-
Když spustíme výšku
z těchto vrcholů k této straně,
-
bude z definice kolmá k této straně.
-
Rovnoramenný trojúhelník
je navíc dokonale symetrický.
-
Když spustíme výšku ze shora,
z vrcholu nad základnou,
-
rozdělíme trojúhelník na dva symetrické
pravoúhlé trojúhelníky.
-
Ty jsou vlastně navzájem zrcadlovými obrazy.
Taky se tím rozpůlí protější strana.
-
Když uděláme totéž na druhé straně,
stane se nám to samé.
-
Půlíme tuto stranu, tohle bude pravý úhel.
-
Takže v podstatě kombinace těch dvou výšek
je úhlopříčkou kosočtverce,
-
která je kolmá
na druhou úhlopříčku kosočtverce.
-
A zároveň druhou úhlopříčku půlí.
Tentýž argument můžeme použít tady.
-
Mohli bychom si to vzít
jako rovnoramenný trojúhelník.
-
To je jeho výška,
která opět půlí protilehlou stranu.
-
Každý rovnoramenný trojúhelník s touto
stranou shodnou s tamtou,
-
se tímto rozdělí na dva symetrické.
-
Pomocí stejné úvahy
je tato strana shodná s touto.
-
Proto jsou úhlopříčky
každého kosočtverce navzájem kolmé
-
a vzájemně se půlí.
Doufám, že vám to bude užitečné.
