-
Ще ти покажа един бърз начин да докажеш,
-
че диагоналите на ромб са перпендикулярни.
-
Спомни си, че ромбът е просто
успоредник с четири равни страни.
-
Всъщност когато четирите страни на четириъгълник
са равни, той трябва да е успоредник.
-
За да поясня – някои ромбове
са квадрати, но не всички,
-
защото може да имаш ромб като този,
-
който се получава, когато ъглите не са 90°.
-
Но всички квадрати са ромбове,
-
защото всички квадрати имат ъгли от 90 градуса,
-
но това не ги прави ромбове,
но всичките им страни са еднакви.
-
Тоест всички квадрати са ромбове,
но не всички ромбове са квадрати.
-
Сега, като казахме това,
нека помислим за диагоналите на един ромб.
-
За да помислим за това малко по-ясно,
-
ще начертая ромба малко по –
-
ще го завъртя малко, така че
да изглежда горе-долу като диамант.
-
Но забележи, че не променям
никоя от характеристиките на ромба.
-
Просто променям ориентацията му малко.
-
Променям ориентацията му.
-
На ромба, по определение,
четирите страни са равни.
-
Сега нека начертая един от диагоналите му.
-
Тук ромбът изглежда като диамант.
-
Единият от диагоналите му
ще е хоризонтален, ето така.
-
Триъгълникът отгоре и триъгълникът отдолу
имат тази обща страна.
-
Тази страна очевидно ще има
същата дължина за двата триъгълника.
-
Другите две страни на триъгълниците
също ще са равни,
-
защото са страни на ромб.
-
Значи и трите страни на триъгълниците
отгоре и отдолу са едни и същи.
-
Тоест триъгълникът отгоре и
триъгълникът отдолу са еднакви.
-
Еднакви триъгълници са.
-
Ако се върнеш в геометрията от 9 клас,
-
ще използваш теоремата за трите страни:
ако и трите страни на триъгълниците
-
са еднакви, то и триъгълниците са еднакви.
-
Това значи, че и ъглите на триъгълниците са еднакви.
-
Ъгълът срещу тази обща страна тук
-
ще е равен на съответния ъгъл в другия триъгълник –
-
срещулежащият ъгъл на тази страна.
-
Тези ще бъдат равни.
-
Освен това, тези триъгълници,
и двата са равнобедрени.
-
Тоест ъглите при основите им ще са равни.
-
Това е единият ъгъл при основата,
това е другият.
-
Това е равнобедрен триъгълник, обърнат надолу.
Този е обърнат нагоре.
-
Така че ако тези двата са равни,
значи и тези ще са равни.
-
Ще са равни един на друг, защото
това е равнобедрен триъгълник.
-
Ще бъдат равни и на тези двата долу,
-
защото това са еднакви триъгълници.
-
Сега, ако вземем височината...
Не, всъщност не трябва да говоря за това,
-
защото не мисля, че то ще е необходимо,
-
когато докажем това, което искаме да докажем.
-
Нека спуснем височини от тези върхове до тази страна.
-
Височината, по определение,
ще е перпендикулярна на тази страна.
-
Равнобедреният триъгълник е симетричен.
-
Ако спуснеш височина отгоре,
-
или от уникалния връх в един равнобедрен триъгълник,
-
ще разделиш триъгълника на два
симетрични правоъгълни триъгълника –
-
два правоъгълни триъгълника,
които са огледални образи един на друг.
-
А също и ще разполовиш срещуположната страна.
-
Тази височина всъщност е медиана в триъгълника.
-
Можем да направим същото и от другата страна.
-
Ще се случи абсолютно същото нещо.
-
Разполовяваме тази страна, това е прав ъгъл.
-
И комбинацията от тези две височини
е всъщност диагоналът в този ромб
-
и е под прав ъгъл с другия диагонал на ромба.
-
И също разполовява другия диагонал на ромба.
-
Можем да направим същите разсъждения и тук.
-
Можеш да разсъждаваш за
равнобедрен триъгълник и тук.
-
Това е височината му, разделя го
на два симетрични правоъгълни триъгълника
-
и разполовява отсрещната страна,
т.е. е и медиана в триъгълника.
-
При всеки равнобедрен триъгълник,
с тази страна равна на тази,
-
ако се спусне височина, тези два триъгълника
ще са симетрични,
-
а отсрещната страна ще е разполовена.
-
По същия начин тази страна е равна на тази.
-
Следователно диагоналите на всеки ромб
-
са взаимно перпендикулярни и
се разполовяват взаимно.
-
Надявам се това да ти беше полезно.
