Introduction to Conic Sections
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0:01 - 0:04这一节介绍圆锥曲线
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0:04 - 0:08首先 什么是圆锥曲线及为何这么叫
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0:08 - 0:09其实 大家是认识的
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0:09 - 0:11我把它们写出来
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0:11 - 0:31圆 椭圆 抛物线 双曲线
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0:31 - 0:34这些大家已经知道
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0:34 - 0:36我开始学圆锥曲线时
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0:36 - 0:38马上就想起圆和抛物线的样子
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0:38 - 0:40椭圆和抛物线我也知道一些
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0:40 - 0:43这些为什么要叫圆锥曲线呢
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0:43 - 0:46因为它们是平面和圆锥曲面的截线
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0:46 - 0:48因为它们是平面和圆锥曲面的截线
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0:48 - 0:49一会我来作图
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0:49 - 0:51在这之前 我先
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0:51 - 0:55把这些曲线画出来 用不同颜色
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0:55 - 0:59圆是这样的 大家都知道
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0:59 - 1:03选个更粗的线条
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1:03 - 1:06圆是这样的
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1:06 - 1:09从圆心到圆上每点距离相等
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1:09 - 1:13这个距离称为半径
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1:13 - 1:17这是r 这是圆心 圆也就是
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1:17 - 1:20同圆心距离为r的所有点
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1:20 - 1:22讲圆的时候我讲过
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1:22 - 1:25世界因此而转动
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1:25 - 1:29椭圆 可以看作是压扁的圆
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1:29 - 1:33大概是这样
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1:33 - 1:36换一种颜色画椭圆
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1:36 - 1:40椭圆可以像这样 或者这样
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1:40 - 1:42它还可以旋转倾斜
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1:42 - 1:44用这个工具不大好画
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1:44 - 1:45大概就是如此
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1:45 - 1:48其实 圆是椭圆的特例
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1:48 - 1:51圆是各方向距离都相等的椭圆
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1:51 - 1:52圆是各方向距离都相等的椭圆
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1:52 - 1:55圆怎么看都对称
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1:55 - 1:56抛物线
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1:56 - 2:00学过之前视频的应该知道
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2:00 - 2:03它也是一种圆锥曲线
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2:03 - 2:08先把图像分隔开
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2:08 - 2:12抛物线大概是这样的U形线
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2:12 - 2:14抛物线大概是这样的U形线
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2:14 - 2:16比如y=x2这样的函数就是如此
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2:16 - 2:19比如y=x2这样的函数就是如此
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2:19 - 2:20比如y=x2这样的函数就是如此
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2:20 - 2:24它还可以平移
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2:24 - 2:25还可以像这样
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2:25 - 2:28这是x=y2
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2:28 - 2:32还可以旋转 这就是
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2:32 - 2:33抛物线的大致形状
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2:33 - 2:36以后我还会讲如何作图
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2:36 - 2:39及怎么求抛物线的某些关键点
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2:39 - 2:42最后一个大家也许见过 双曲线
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2:42 - 2:46有点像两条抛物线 不过不是
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2:46 - 2:52双曲线U得没这么厉害 张得更开
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2:52 - 2:54我会解释这是什么意思的
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2:54 - 2:56双曲线一般是这样的
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2:56 - 3:07先画轴线 再画一些渐近线
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3:08 - 3:14经过原点 很好
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3:14 - 3:17这是渐近线 不是双曲线
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3:17 - 3:23双曲线像这样
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3:23 - 3:26逐渐逼近渐近线
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3:26 - 3:30像这样逐渐逼近蓝色直线
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3:30 - 3:32这一侧也一样
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3:32 - 3:36图像在两侧都有
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3:36 - 3:40洋红色就是一条双曲线 我没画好
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3:40 - 3:41当然 双曲线
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3:41 - 3:44也可以在竖直方向
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3:44 - 3:46可以在渐近线下方和上方
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3:46 - 3:54可以在渐近线下方和上方
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3:54 - 3:57蓝色这是一条双曲线
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3:57 - 3:59洋红色是另一条
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3:59 - 4:00以上就是不同图像
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4:00 - 4:04大家肯定想问 为什么这些称为圆锥曲线
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4:04 - 4:05大家肯定想问 为什么这些称为圆锥曲线
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4:05 - 4:10为什么不叫其它什么名字呢
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4:10 - 4:12它们之间有什么联系呢
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4:12 - 4:15显然圆和椭圆的形状有关
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4:15 - 4:17椭圆是压扁的圆
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4:17 - 4:22而抛物线和双曲线似乎也有关联
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4:22 - 4:23这是p
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4:23 - 4:25两者名字里都有bola
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4:25 - 4:28而且都是U形
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4:28 - 4:30虽然双曲线有两支
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4:30 - 4:32而且开口朝不同方向 但它俩很像
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4:32 - 4:35这些曲线之间有什么联系呢
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4:35 - 4:38这其实就是"圆锥"这个字眼的来源
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4:38 - 4:43我先来画一个三维圆锥
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4:43 - 4:50这是圆锥 这是顶面
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4:52 - 4:56顶面其实可以用椭圆工具
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4:56 - 4:58其实是没有顶面的
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4:58 - 5:02可以朝这个方向无限延伸
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5:02 - 5:04我这里给了一个截面 让它看起来像圆锥
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5:04 - 5:07下面也一样
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5:07 - 5:11下面 找一些不同的平面
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5:11 - 5:14同圆锥曲面相交
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5:14 - 5:16将得到不同形状
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5:16 - 5:20先画一下该圆锥的中轴
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5:20 - 5:23先画一下该圆锥的中轴
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5:23 - 5:24这是中轴
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5:24 - 5:27如果平面正好与中轴垂直
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5:27 - 5:30我试着画一下
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5:30 - 5:32平面大概是这样
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5:32 - 5:35先画直线
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5:35 - 5:38这是靠近你的这一端
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5:38 - 5:43后面表示另一端
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5:43 - 5:45很接近了
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5:45 - 5:47当然 平面各方向是无限延伸的
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5:47 - 5:50当然 平面各方向是无限延伸的
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5:50 - 5:53如果该平面垂直于中轴
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5:53 - 5:55如果该平面垂直于中轴
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5:55 - 6:01平面和圆锥曲面的截线是这样的
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6:01 - 6:04这是有一定视角的视图
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6:04 - 6:06我们可以从正上方看
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6:06 - 6:09我们可以从正上方看
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6:09 - 6:13假设我把镜头旋转一下
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6:13 - 6:18俯视平面 可以看到截线就是圆
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6:18 - 6:23如果平面稍微倾斜一些
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6:23 - 6:28则情况会像这样
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6:28 - 6:31看我画不画得好
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6:31 - 6:36大概是这样 哦
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6:36 - 6:39大概是这样 哦
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6:39 - 6:46大概是这样 另一侧是这样 连起来
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6:49 - 6:50这是平面
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6:50 - 6:55此时与圆锥的中轴不再垂直
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6:55 - 7:00此时与圆锥的中轴不再垂直
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7:00 - 7:03该平面与圆锥曲面的截线
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7:03 - 7:05未来的视频中大家就会知道
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7:05 - 7:06立体几何中 我可以证明是这样
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7:06 - 7:09立体几何中 我可以证明是这样
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7:09 - 7:11以后 我们会求出准确的方程
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7:11 - 7:13以后 我们会求出准确的方程
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7:13 - 7:15这个截线会像这样
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7:15 - 7:16大家可以想象下
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7:16 - 7:18大概是这样
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7:21 - 7:24从平面正上方看
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7:24 - 7:28从平面正上方看
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7:28 - 7:31紫色这一圈大概是这样
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7:32 - 7:35画得不好 它是一个椭圆
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7:35 - 7:37椭圆的样子大家知道
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7:37 - 7:42朝别的方向倾斜 椭圆也会是别的方向
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7:42 - 7:45这就大致说明为何圆和椭圆是圆锥曲线
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7:45 - 7:46这就大致说明为何圆和椭圆是圆锥曲线
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7:46 - 7:47再看更有趣的
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7:47 - 7:52如果继续倾斜平面
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7:52 - 7:55沿此点旋转平面
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7:55 - 8:00平面会变成这样 我画一下
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8:00 - 8:03这是立体绘图的很好练习
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8:03 - 8:06大概是这样
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8:06 - 8:09穿过这个点
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8:09 - 8:11这是三维平面
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8:13 - 8:17这个平面只同下侧曲面相交
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8:17 - 8:23平面同上侧曲面一边平行
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8:23 - 8:26此时平面同曲面的交线
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8:26 - 8:28正好过这一点
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8:28 - 8:32我一直是沿此点旋转的
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8:32 - 8:36平面和圆锥曲线的交线始终过这一点
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8:36 - 8:39这一次大致会像这样
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8:39 - 8:42一直往下
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8:42 - 8:45画出来 也就是这样
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8:45 - 8:49从平面正上方看
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8:49 - 8:52这就是抛物线 很有趣
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8:52 - 8:55不断倾斜 开始时是圆
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8:55 - 8:58然后得到椭圆
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8:58 - 9:01然后得到椭圆
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9:01 - 9:05逐渐变扁到一定程度后
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9:05 - 9:11到平面正好同上圆锥一边平行后
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9:11 - 9:12到平面正好同上圆锥一边平行后
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9:12 - 9:14这里画得不准确 意思是到了
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9:14 - 9:15这里画得不准确 意思是到了
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9:15 - 9:17椭圆变为抛物线
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9:17 - 9:20椭圆变为抛物线
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9:20 - 9:24抛物线也就是椭圆一端开口的情况
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9:24 - 9:26抛物线也就是椭圆一端开口的情况
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9:26 - 9:30如果继续倾斜平面
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9:30 - 9:36换一种颜色 会同两侧圆锥相交
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9:36 - 9:37我画着试试
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9:37 - 9:44这是新的平面 不错
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9:44 - 9:48平面是这样 有点看不清了
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9:48 - 9:51我画一下这个绿色平面同圆锥曲面的截线
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9:51 - 9:53我画一下这个绿色平面同圆锥曲面的截线
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9:53 - 9:56希望大家不会迷惑得有些绝望
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9:56 - 9:59截线大概是这样的
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9:59 - 10:01同时同下圆锥和上圆锥相交
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10:01 - 10:05同时同下圆锥和上圆锥相交
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10:05 - 10:08大概像这样
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10:08 - 10:11这是同下圆锥曲面的交线
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10:11 - 10:14上面则是同上圆锥曲面的交线
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10:14 - 10:19记住 平面各向都是无限延伸的
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10:19 - 10:22这就是圆锥曲线的大致概念
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10:22 - 10:25以及为何叫作圆锥曲线
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10:25 - 10:28这个画得有些糟糕
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10:28 - 10:29有机会我会找个3D程序 好好画一下
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10:29 - 10:33有机会我会找个3D程序 好好画一下
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10:33 - 10:36有机会我会找个3D程序 好好画一下
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10:36 - 10:38这就是圆锥曲线名称的由来
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10:38 - 10:40以及它们之间的关系
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10:40 - 10:43以后我们将从数学上进行更深的探讨
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10:43 - 10:45知道什么是圆锥曲线
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10:45 - 10:47以及为何这么称呼之后 下一节
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10:47 - 10:50我会讲到它们的公式 如何辨识公式
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10:50 - 10:52及根据公式
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10:52 - 10:56及根据公式
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10:56 - 10:58下一节再见
- Title:
- Introduction to Conic Sections
- Description:
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 10:58
|
Jenny_Zhang edited Chinese, Simplified subtitles for Introduction to Conic Sections |