Introduction to Conic Sections

Koni geometrisi hakkında neler öğrenebiliriz bir bakalım.

Öncelikle, bunlar ne ve neden

koni geometrisi olarak adlandırılıyor.

Siz büyük ihtimalle bir kaç tanesini çoktan

fark ettiniz, ve onları buraya yazacağım.

Onlar çember, elips, parabol,

ve hiperbol.

bu aslında p idi.

Hiperbol.

Zaten siz bunların ne olduğunu biliyorsunuz.

Koni geometrisini ilk öğrendiğimde, şunları dedim,

Çemberin ne olduğunu biliyorum.

Parabolün ne olduğunu biliyorum.

Hatta elips ve hiperboller hakkında bile biraz bilgiye sahibim.

Peki niçin bunlar koni geometrisi diye adlandırılmış?

Bunları basitçe koyalım, çünkü bunlar bir düzlem

ve koninin kesişimi.

Bunları hemen çizeyim,

ama çizmeden önce bunları teker teker çizersem

daha mantıklı olur.

Şimdi renkleri değiştireceğim.

Çember, hepimiz bunun ne olduğunu biliyoruz.

Daireyi çizmek için daha kalın çizgiler kullansaydım

daha iyi olurdu.

Bir daire buna benzer.

Tüm bu noktalar, çemberin merkezi ile eşit uzaklıkta,

ve bu mesafe yarıçap olarak adlandırılır.

Eğer bu r, ve bu çemberin merkezi ise, çemberin

tüm noktaları merkezden r kadar uzaklıktadır.

Çemberin ne olduğunu önceden öğrenmiştik,

Bu dünyanın yuvarlak bir biçimde dönmesini sağlar.

Elips, bu işten çok anlamayan birine göre ezilmiş bir çemberdir.

Buna benzer.

Başka bir renk elips yapayım.

Yani bir elips bu şekilde olabilir,

bu şekilde de olabilir.

Bunları çizmek için kullandığım araçlar ile zor, ama elips

sağa sola eğilebilir ve döndürülebilir.

Bu genel bir görüş.

Aslında, çemberler, elipsin bir alt başlığı.

Çember, elipsin bir yöne doğru esnetilmemiş olanıdır

diğerinden daha fazla.

Çember her yönden mükemmel bir şekilde paraleldir.

Parabol.

Eğer cebir iki öğrendiyseniz ve koni geometrisi hakkında meraklı iseniz

parabolün ne olduğunu zaten öğrenmişsinizdir.

Ama bir parabol, bunları birbirinden ayırmak için bir çizgi çizeyim.

Bir parabol buna benzer, bir nevi U ya benzer,

bilirsiniz, klasik parabol.

şimdilik denklemlere değinmeyeceğim.

Pekala, değineceğim, çünkü büyük ihtimalle denklemler ile zaten ilgilisiniz.

y, x in karesine eşittir.

Ardından, bunu ters çevirebilirsiniz, hatta

bu şekilde bir parabol bile çizilebilir.

Bu: x, y nin karesine eşittir denkleminin parabolü.

Bunları etrafında çevirebilirsiniz, ama düşünüyorum ki siz zaten

parabolün genel şeklini biliyorsunuz.

Bunları nasıl grafik yapacağınız hakkında ya da parabolün ilginç

özellikleri hakkınca neler bildiğiniz hakkında biraz daha konuşacağız.

Ve son olarak, belki önceden görmüşsünüzdür,

bu bir hiperbol.

Bu hemen hemen iki parabol e benzer, ama tamamen değil,

çünkü şekli biraz U'ya benzer ancak U nun

daha açık hali.

Ne demek istediğimi açıklayacağım.

Bir hiperbol genellikle böyle bir şeydir.

Bunlar eksenler ise, eğer çizecek olsaydım,

Bir kaç asimptot çizmeme izin verin.

Buradan sağ tarafa girmek istiyorum, bu çok iyi oldu.

Bunlar asimptotlar.

Bunlar gerçek hiperbol değiller,

ama bir hiperbol buna benzer.

Buradan başlar ve asimptot a çok

yaklaşır.

Bunlar mavi çizgilere giderek daha fazla yakınlaşır ve

aynısı bu taraf için de olur.

Grafik buradan çıkar, burada kıvrılır,

ve buradan gider.

Bu eflatun renkli olan bir hiperbol olabilir; Onları

çok iyi yapamadım

Ya da başka bir hiperbol üst tarafta olabilir, bunu dikey hiperbol

gibi bir şekilde adlandırırız.

Tam olarak doğru kelime değil ancak buna benzer bir şey.

Bu asimptot un aşağısında.

Bu ise asimptot un yukarısında.

yani, bu mavi olan bir hiperbol ve eflatun rengi olan

ise başka bir hiperbol.

Yani, bunlar başka grafikler.

Eminim ki şu an, bunlara neden koni geometrisi denildiğini

sorguluyorsunuz.

Niçin bunlar boller, ya da çemberin farklı çeşitleri değil de

koni geometrisi?

Aslında, bunlar bir bağa sahip.

Bunlar, çemberler ve elipsler ne kadar bağıntılı ise

o kadar bağıntılı.

Bu bir elips ve bu sadece ezilmiş bir çember.

Belki de paraboller ve hiperboller de bir nevi

bağıntılı gözüküyorlar.

Bu aslında P idi.

İkisinin de isminde "bol" var ve ikisi de

açık U harfine benziyor.

Bir hiperbol iki farklı yöne açılan 2 çizgiye sahip olmasına rağmen,

paraboller ve hiperboller birbiri ile çok bağıntılı gözüküyor.

Peki bunların altında yatan bağlantı ne?

Koni geometrisinin nereden geldiği açıkça belli.

3 boyutlu bir koni çizeyim.

Bu bir koni.

Bu tepesi.

Tepesi için bir elips kullanabilirim.

Bunun gibi.

Aslında, bu bir tepeye sahip değil.

Bu bir yönde sonsuza kadar bu doğrultuda gider.

Bir nevi bunun küçük bir parçasını koninin ne olduğunu göstermek için kesiyorum.

Bu koninin alt tarafı.

Bir düzlem üzerinde farklı kesişim noktaları alalım,

bu bir koni ve eğer farklı şekiller oluşturabilirsek,

az önce bahsettiğimiz gibi.

Eğer direkt olarak giden bir düzleme sahipsek, tahminen

bunları 3 boyutlu koninin eksenleri olarak adlandırmışsınızdır.

Bu bir eksen.

Eğer bu eksene dik bir düzleme sahipsek,

üç yönlü bir koni çizelim.

Düzlem buna benzer.

Bunun bir çizgisi olur.

Bu ön taraftaki size daha yakın olan çizgi ve

arka tarafta başka bir çizgi var.

Bu gayet yakındı.

Elbette, bunlar sonsuz düzlemler, bunlar

sonsuza kadar her yönde ilerler.

Eğer bu düzlem eksene dik ise

burası düzlemin koninin arkasında kalan kısmı.

Düzlem ve koninin kesişimi

buna benzeyecek.

Buna bir açıdan bakıyoruz, ama eğer buna üstten

bakabilseydiniz, eğer dinliyor olsaydınız ve bu düzleme baksaydınız,

eğer buradan üstleren bakıyor olsaydınız,

Eğer bunu bu şekilde tesine çevirseydim, şimdi

düzleme tepeden bakıyoruz, kesişim

bir çember olacaktı.

Şimdi, eğer bu düzlemi alırsak ve herhangi bir yöne biraz yatırırsak,

yani bunun yerine böyle bir durum var elimizde.

Bakalım, bunu düzgün bir biçimde yapabilecek miyim.

Böyle bir durum var, hopp

Bunu geri alayım

Düzenle

Geri al

Buna benzediği ve başka bir kenarı olduğu yer,

ve ben bunları birleştireceğim.

Bu bir düzlem.

Şimdi, bu düzlemin kesişim noktası,

3 boyutlu koninin eksenlerine

ortogonal ya da dik değil.

Eğer düzlem ile koninin kesişimini alırsanız,

gelecek videolarda ve cebir iki sınıfında

bunu yapmazsınız.

Ama sonuç olarak, biz bu 3 boyutlu kesişimi yapacağız

ve bunu kanıtlayacağız.

Siz kesinlikle bu denklemleri öğreneceksiniz, bunları ben

yakın bir zamanda göstereceğim.

Bu kesişim bunun gibi bir şeye benziyor.

Bence, artık görsel bir şekilde düşünebilirsiniz.

O bunun gibi bir şeye benziyor.

Eğer düzleme yukarıdan dik bir şekilde bakarsanız,

eğer düzlemin hemen üstünden bakarsanız, bu

mor ile çizdiğim yere benzeyecektir. Bunun gibi

bir şeye benzeyecektir.

Pekala, Bunu çok iyi çizemedim.

Bu bir elips olabilirdi.

Bir elipsin neye benzediğini biliyorsunuz.

Eğer diğer yöne yatırsaydım, elips

diğer tarafa doğru sıkışacaktı.

Ama bu sadece bunların neden koni geometrisi olduğu

hakkında genel bir düşünce verir.

Şimdi çok ilginç bir şey göreceğiz.

Eğer bu düzlemi sürekli bir tarafa yatırırsam,

Bu noktanın ekseni etrafında dönüyoruz diyelim.

Şimdi bu düzlem,-- eğer yapabilirsem..

Bu 3 boyutlu çizim için güzel bir egzersiz.

Bunun, buna benzediğini düşünelim.

Bu nokta üzerinden gitmek istiyorum.

Bu benim 3 boyutlu düzlemim.

Bunu öyle bir çiziyorum ki, sadece koninin altı ile düzlemin yüzeyi kesişiyor

ve düzlemin yüzeyi ve koninin

bu tarafı birbirine paralel.

Bu durumda, Düzlemin ve koninin kesişimi

bu nokta ile de kesişecek.

Bu noktanın ekseni etrafında çevirdiğim zaman

koninin, düzlemin ve bu noktanın kesiştiğini görebilirsiniz.

Şimdi, kesişim buna

benzeyecekti.

Bunun gibi bir şeye benzeyecekti.

Ve bu aşağıya gitmeye devam edecekti.

Eğer bunu çizecek olsaydım, buna benzeyecekti.

Eğer bunu düzlemin hemen üstüne

çizecek olsaydım.

Burada bir parabol oluşacaktı.

Bu gerçekten ilginç.

Eğer bir nevi çevirirseniz, ve elinizde daire varsa,

biraz çevirince elips olduğunu görürsünüz.

Ve giderek daha çok eğrilmiş bir elips.

Bu noktada elips sürekli

daha fazla eğrilir.

Eğer koninin bu kenarına tamamen paralel olursa, birden

açığa çıkar.

Ben bunu size çok doğru bir yoldan anlatmıyorum,

ancak size bunu anlatabildiğimi düşünüyorum.

Bu birden açığa çıkar ve parabole döner.

Şu an burada parabol ü görebilirsiniz

burada bir bağıntı var.

Elips bir tarafından patlar ve açılırsa

Parabol e dönüştüğünü görebiliriz.

Eğer düzlemi hala çevirmeye devam ediyorsanız, bunu başka bir

renk ile yapacağım, bu koninin iki tarafı

ile kesişir.

Bakalım çizebilecek miyim.

Bu benim yeni düzlemim, hopp.

Bu yeterince iyi.

Bu düzlem şuna benziyor, biliyorum şu anda okumak çok zor

ve siz yeşil düzlem ile koninin keşisimini

istiyorsunuz. Bunun hepsini yeniden çizmeliyim.

Umarım, aklınız büyük bir şekilde karışmaz.

Kesişim buna benziyor.

Bu koninin tabanı ile kesişir ve burada da

koninin tepesi ile kesişir.

Ve bunun gibi bir şey elimize geçer.

Bu, düzlem ile koninin altı kısmının kesişmesidir.

Yukarı tarafta ise düzlem ve koninin üstünün

kesiştiğini görüyoruz.

Hatırlayın, bu düzlem her yöne doğru sonsuza kadar gider.

Bu sadece koni geometrisinin ve niçin bunların

açıkça koni geometrisi olarak adlandırıldığının genel bir gösterimi.

Eğer bu video akıl karıştırıcı ise, beni bilgilendirin. Belki

bunları daha temiz bir şekilde çizerek yeni bir video yaparım.

Belki 3 boyutlu bir uygulama bulurum ve şu an yapabildiğimden

çok daha iyi bir video yapabilirim.

Bu video sadece bunların neden koni geometrisi olarak adlandırıldığı,

ve bunların niçin birbirleri ile bağlantılı olduğu ile ilgiliydi.

Bunu birkaç videoda daha derin bir matematik ile

yapacağım.

Şimdi siz bunların neden koni geometrisi olarak

adlandırıldığını biliyorsunuz. Bir sonraki videoda formüller

ve bu formülleri nasıl fark edeceğiniz hakkında

konuşacağım.

Verilmiş bir formülden, nasıl koni geometrisinin grafiklerini

çizebileceğinizi göstereceğim.

Bir sonraki videoda görüşürüz.