Introduction to Conic Sections

ลองดูกันว่าเราจะเรียนเกี่ยวกับภาคตัดกรวย

ได้สักอย่างสองอย่างไหม

อย่างแรกเลย, มันคืออะไรและทำไม

มันถึงเรียกว่าภาคตัดกรวยด้วย?

ที่จริงแล้ว, คุณอาจรู้จักบางตัวแล้วก็ได้,

และผมจะเขียนมันลงไป

พวกมันคือวงกลม, วงรี, พาราโบลา,

และไฮเปอร์โบลา

นั่นคือ p

ไฮเปอร์โบลา

และคุณรู้ว่าเจ้าพวกนี้คืออะไรอยู่แล้ว

ตอนผมเรียนเรื่องภาคตัดกรวย, ผมก็บอกว่า, โอ้,

ผมรู้อยู่แล้วว่าวงกลมคืออะไร

ผมรู้ว่าพาราโบลาคืออะไร

ผมยังรู้นิดหน่อยด้วยว่าวงรีกับไฮเปอร์โบลาคืออะไร

แล้วทำไมมันถึงเรียกว่าภาคตัดกรวยล่ะ?

พูดง่ายๆ คือเป็นเพราะว่า พวกมันเป็นรอยตัด

ของกรวยกับระนาบ

เดี๋ยวผมจะวาดให้คุณดู

แต่ก่อนหน้าที่ผมจะวาด ผมว่าผมวาด

พวกมันเองก่อนจะเข้าท่ากว่า

และผมจะเปลี่ยนสีนะ

วงกลม, เราทุกคนรู้ว่ามันคืออะไร

ที่จริงขอผมเลือกเส้นสำหรับวงกลม

ให้หนาหน่อยนะ

วงกลมจะออกมาเป็นแบบนี้

มันคือจุดทุกจุดที่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่าๆ กัน,

และระยะที่ทุกตัวห่างตัวกันคือ รัศมี

งั้นถ้านี่คือ r, และนี่คือจุดศูนย์กลาง, วงกลม

คือจุดทุกจุดที่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นระยะ r

เราเรียนเมื่อนานมาแล้วว่าวงกลม

คืออะไร, มันก็คือสิ่งที่กลม, ตามชื่อเลย

วงรี ถ้าพูดแบบคนขี้เกียจ มันก็คือวงกลมที่ถูกบีบ

มันอาจเป็นอะไรแบบนี้

ขอผมวาดวงรีอีกสีนึงนะ

วงรีอาจเป็นแบบนั้น

อาจเป็นแบบนั้น

ผมวาดยากถ้าใช้เครื่องมือที่ผมวาดอยู่, แต่มัน

สามารถเอียงหรือหมุนได้

แต่นั่นคือกรณีทั่วไป

ที่จริงแล้ว, วงกลมก็คือกรณีพิเศษของวงรี

มันคือวงรีที่ไม่ถูกยืดให้ด้านหนึ่ง

ยาวกว่าอีกด้านหนึ่ง

มันมีสมมาตรสมบูรณ์แบบในทุึกทาง

พาราโบลา

คุณเรียนไปแล้วหากคุณเรียนวิชาพีชคณิต 2 และ

คุณเรียนไปแล้วถ้าคุณรู้จักภาคตัดกรวย

พาราโบลา -- ขอผมลากเส้นแบ่งของพวกนี้หน่อยนะ

พาราโบลามีหน้าแบบนี้, เหมือนกับตัว U และคุณ

รู้ว่า, มันคือพาราโบลาแบบดั้งเดิม

ผมไม่อยากพูดถึงสมการในตอนนี้

อืม, ผมบอกไปเลยดีกว่าเพราะคุณคงคุ้นเคยอยู่แล้ว

y เท่ากับ x กำลังสอง

แล้วก็, คุณสามารถเลื่อนมันไปมาแล้วคุณก็มี

พาราโบลาแบบนี้ก็ได้

นั่นก็คือ x เท่ากับ y กำลังสอง

คุณสามารถหมุนไปมาได้, แต่ผมว่าคุณคงรู้จัด

รูปร่างของพาราโบลาโดยทั่วไปอยู่แล้ว

เราจะพูดถึงวิธีการวาดกราฟ หรือวิธีหาจุด

ที่น่าสนใจของพาราโบลาว่าอยู่ตรงไหนอีกที

แล้วอันสุดท้าย, คุณอาจเห็นเจ้านี่

มาก่อนแล้ว, มันคือไฮเปอร์โบลา

บางทีมันดูเหมือนพาราโบลา, แต่ไม่ใช่เสียทีเดียว,

เพราะเส้นโค้งดูเป็นตัว U หน่อยกว่า

และมันเปิดมากกว่า

แต่ผมจะอธิบายอีกทีว่าผมหมายความอย่างไร

ไฮเปอร์โบลาจะออกมาเป็นแบบนี้

ถ้าพวกนี้คือแกน -- แล้วถ้าผมวาด --

ขอผมวาดเส้นกำกับหน่อยนะ

ผมอยากลากผ่าน -- มันดูดีแล้ว

พวกนี้คือเส้นกำกับ

พวกนี้ไม่ใช่ไฮเปอร์โบลาจริง

แต่ไฮเปอร์โบลาจะมีหน้าตาแบบนี้

พวกมันอยู่ตรงนี้ และมัน

เข้าใกล้เส้นกำกับมาก

พวกมันเข้าใกล้เส้นสีฟ้าพวกนั้นมากขึ้น มากขึ้นแบบนั้นแล้ว

มันก็เป็นด้านนี้เหมือนกัน

กราฟจะปรากฏตรงนี้ แล้วมันก็โผล่มาตรงนี้แล้ว

ก็อยู่ตรงนี้

เส้นสีบานเย็นอาจเป็นไฮเปอร์โบลาอันหนึ่งด้วย, ผมยัง

ไม่ได้ตรวจดู

หรือไฮเปอร์โบลาอีกอันอาจเป็น, คุณอาจ

เรียกมันว่าไฮเปอร์โบลาแนวดิ่งก็ได้

มันไม่ใช่คำที่ถูกต้อง, แต่มันดูเหมือนว่า

มันอยู่ใต้เส้นกำกับตรงนี้

มันอยู่เหนือเส้นกำกับตรงนี้

เส้นสีฟ้านี่คือไฮเปอร์โบลาอันหนึ่ง แล้วก็

สีบานเย็นเป็นไฮเปอร์โบลาอีกอัน

พวกนี้คือกราฟคนละอันกัน

สิ่งหนึ่งที่ผมแน่ใจว่าคุณต้องถามคือว่า ทำไม

พวกมันถึงเรียกว่า ภาคตัดกรวย?

ทำไมไม่เรียกพวกมันว่า เหล่าโบลา หรือชุด

วงกลม หรืออะไรอื่น?

ที่จริงแล้ว, ความสัมพันธ์ของพวกมันคืออะไร

มันค่อนข้างชัดเจนว่าวงกลมกับวงรี

เกี่ยวข้องกัน

วงรีก็เป็นวงกลมที่ถูกบีบ

และบางทีพาราโบลากับไฮเปอร์โบลา

อาจดูเกี่ยวข้องกัน

นี่คือ P เหมือนเดิม

ทั้งคู่มีชื่อโบลาเหมือนกัน แล้วพวกมันก็

ดูเหมือน U เปิดเหมือนกัน

แม้ว่าไฮเปอร์โบลาจะมีเจ้านี่สองอัน และเปิด

ไปในทิศต่างกัน, แต่มันดูเกี่ยวข้อง

แต่ความสัมพันธ์เชื่อมโยงทุกตัวนี้คืออะไร?

และนั่นคือที่มาของคำว่าภาคตัดกรวย

ขอผมลองดูว่าผมจะวาดกรวยสามมิติได้ไหม

นี่คือกรวย

นั่นคืออันบน

ผมใช้รูปวงรีวาดด้านบนได้

แบบนั้น

ที่จริงแล้ว, มันไม่มีด้านบน

มันจะขยายยาวไปหาอนันต์ในทิศนั้น

ผมแค่ตัดมันให้คุณเห็นว่ามันเป็นกรวย

นี่อาจเป็นส่วนล่างของมัน

ลองเอาระนาบมาตัดกับ

กรวยนี่แล้วดูว่าอย่างน้อยเราสามารถสร้าง

รูปร่างต่างๆ ที่เราพูดถึงไปได้ไหม

ดังนั้นถ้าเรามีระนาบที่ไปตรงๆ -- ผมว่าถ้าคุณเรียก

นี่ว่าแกนของกรวยสามมิติ,

นี่ก็คือแกน

แล้วถ้าเรามีระนาบที่ตั้งฉากกับ

แกนนั่นพอดี -- สมมุติว่าผมสามารถวาดมันเป็นสามมิติได้

ระนาบจะออกมาเป็นแบบนี้

มันก็คือเส้นตรง

นี่คือเส้นด้านบนที่อยู่ใกล้คุณ แล้วมันก็

มีอีกเส้นข้างหลังตรงนี้

ดูใกล้เคียงทีเดียว

และแน่นอน, คุณก็รู้ว่ามันระนาบขนาดอนันต์, มัน

จะขยายอกกไปทุกทิศทาง

ถ้าระนาบนี้ตั้งฉากกับแกน

ของพวกนี้ และนี่คือที่ที่ระนาบขยายไปด้านหลัง

รอยตัดของระนาบนี้กับกรวยนี้

จะเป็นแบบนี้

เราดูมันจากมุมหนึ่ง, แต่ถ้าคุณมอง

ลงไปตรงๆ, ถ้าคุณฟังอยู่และดู

ที่ระนาบนี้ -- ถ้าคุณดูมันตรงนี้จากด้นบน

ถ้าผมสามารถพลิกเจ้านี่มาเป็นแบบนี้, เราจะ

มองลงตรงไปบนระนาบนี้, รอยตัด

จะเป็นวงกลม

ทีนี้, ถ้าเราระนาบมาบิดสักหน่อยล

แล้วแทนที่เราจะมีกรณีแบบนี้

ขอผมดูว่าผมจะวาดได้ไหม

เราได้กรณีที่มัน -- โอ๊ะ

ขอผมยกเลิกนะ

แก้ไข

ยกเลิก

โดยมันเป็นแบบนี้ และมีอีกด้านแบบนี้,

และผมลากเส้นต่อมัน

มันก็คือระนาบ

ทีนี้รอยตัดของระนาบนี้, ซึ่งไม่ใช่

ระนาบที่ orthogonal หรือไม่ตั้งฉากกับแกน

ของกรวยสามมิตินี่อีกต่อไป

ถ้าคุณเอารอยตัดระหว่างระนาบกับกรวยนั่นมา --

ในวิดีโอต่อไป, คุณจะไม่เห็นมันในวิชา

พีชคณิต 2 ของคุณ

แต่สุดท้ายแล้ว เราจะหารอยตัด

ในสามมิติแล้วสมมุติว่านี่เป็นจริง

คุณจะได้สมการออกมาแน่นอน, โดยผมจะแสดง

ให้คุณดูในอนาคตไม่ไกล

รอยตัดนี่จะออกมาแบบนี้

ผมว่าคุณคิดนึกภาพมันออกแล้วตอนนี้

มันจะออกมาเป็นแบบนี้

และถ้าเรามองลงไปตรงๆ บนระนาบนี้, ถ้า

คุณดูจากเหนือระนาบพอดี, นี่จะดู

เหมือน -- รูปที่ผมเพิ่งวาดด้วยสีม่วง -- มัน

จะเป็นแบบนี้

อืม, ผมวาดมันไม่ค่อยสวยเท่าไหร่

มันจะเป็นวงรี

คุณก็รู้ว่าวงรีหน้าตาเป็นอย่างไร

และหากผมเอียงมันอีกทาง, วงรี

จะบีบไปอีกทางหนึ่ง

มันทำให้คุณเข้าใจโดยรวมว่าทำไมทั้งสอง

ตัวถึงเรียกว่าภาคตัดกรวย

ทีนี้ บางสิ่งที่น่าสนใจ

ถ้าเราเอียงระนาบนี้ไปเรื่อยๆ, ถ้าเราเอียงระนาบ

จนมัน -- สมมุติว่าเราหมุนมันรอบจุดนั้น

แล้วตอนนี้ระนาบเรา -- ขอผมดูหน่อยว่าผมจะทำนี่ได้ไหม

มันเป็นการฝึกวาดรูปสามมิติที่ดี

สมมุติว่ามันออกมาเป็นแบบนี้

ผมอยากผ่านจุดนั้น

นี่คือระนาบสามมิติของผม

ผมจะวาดมันในแบบที่มันตัดกับกรวย

ด้านล่างอย่างเดียว และผิวของระนาบ

ขนานกับด้านนี้ของกรวย

ในกรณีนี้ รอยตัดของกรวยกับระนาบ

จะตัดตรงจุดนั้น

คุณอาจมองได้ว่าผมเอียงรอบจุดนี้,

ที่รอยตัดของจุดนี้ ระนาบ กับรวย

ทีนี้ตรงนี้, รอยตัดนั้น, จะ

ออกมาเป็นแบบนี้

มันเป็นแบบนั้น

และมันจะลงไปเรื่อยๆ

ดังนั้นถ้าผมวาดมัน, มันจะเป็นแบบนี้

ถ้าผมอยู่เหนือระนาบพอดี, ถ้าผม

อยู่เหนือระนาบ

คุณจะได้พาราโบลา

มันน่าสนใจ

ถ้าคุณยังคงเอียงต่อไป -- ถ้าคุณเริ่มด้วย

วงกลม, เอียงมันหน่อย, คุณจะได้วงรี

แล้วคุณจะได้วงรีที่เบ้มากขึ้นเรื่อยๆ

และถึงจุดหนึ่ง, วงรีจะเบี้ยวมากขึ้น

มากขึ้นแบบนั้น

มันโผล่ขึ้นมา ตอนที่คุณขนานกับ

ด้านข้างของกรวยบนพอดี

ตรงนี้ผมจะทำแบบคร่าวๆ, แต่ผม

ว่าคุณคงได้สัญชาตญาณนะ

มันโผล่แล้วก็กลายเป็นพาราโบลา

คุณเลยอาจมองว่าพาราโบลา --

ว่ามีความสัมพันธ์นี้อยู่

พาราโบลาคือสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อด้านหนึ่งของวงรี

เปิดออกแล้วคุณได้พาราโบลานี่ออกมา

แล้วก็, ถ้าคุณยังเอียงระนาบนี้ต่อ, ผมจะ

ใช้อีกสีนะ -- จนมันตัดกับ

กรวยตั้งสองด้าน

ขอผมดูว่าผมจะวาดได้ไหม

ถ้านี่คือระนาบใหม่ของผม -- โอ๊ะ

มันใช้ได้แล้ว

แล้วถ้าระนาบผมเป็นแบบนี้ -- ผมรู้ว่ามันอ่าน

ยากแล้ว -- และคุณอยากได้รอยตัดของระนาบนี้,

ระนาบสีเขียวนี่กับกรวย -- ผมควรวาดมันใหม่

ทั้งหมด, แต่หวังว่าคุณคงไม่งง

จนเกินไปนะ -- รอยต่อจะเป็นแบบนี้

มันจะตัดกรวยอันล่างตรงนั้น และมัน

ตัดกับกรวยบนตรงนี้

แล้วคุณจะได้อะไรแบบนี้

นี่ก็คือรอยตัดของระนาบกับกรวยด้านล่าง

แล้วบนนี้ เป็นรอยตัดของระนาบ

กับกรวยอันบน

จำไว้, ระนาบนี่ยาวไปในทุกทิศหาอนันต์

นั่นก็คือคำอธิบายว่าภาคตัดกรวยคืออะไร และ

ทำไมมันถึงเรียกว่าภาคตัดกรวย

บอกผมหน่อยแล้วกันว่านี่ทำให้คุณงงหรือเปล่า เพราะบางทีผมอาจ

ทำวิดีโออีกอัน โดยผมจะวาดให้มันสวยหน่อย

บางทีผมควรหาโปรแกรมสามมิติที่วาด

ของพวกนี้ได้ดีกว่าผมวาดเอง

นี่ก็คือสาเหตุที่พวกมันเรียกว่าภาคตัดกรวย

และทำไมพวกมันถึงเกี่ยวข้องกัน

เราจะมาลงรายละเอียดคณิตศาสตร์

กันต่อในวิดีโอหน้าๆ

แต่ในวิดีโอต่อไป, เมื่อคุณรู้ว่ามันคืออะไรและทำไม

มันถึงเรียกว่าภาคตัดกรวยแล้ว, ผมจะพูดถึง

สูตรที่ใช้บรรยาย, วิธีจำสูตร

ดูสูตรเหล่านั้น

เมื่อมีสูตรให้มา, คุณจะพลอตกราฟ

ของภาคตัดกรวยเหล่านี้ได้อย่างไร?

แล้วพบกันในวิดีโอหน้าครับ