Introduction to Conic Sections

Nauczmy się czegoś

o krzywych stożkowych.

Na początku zastanówmy się czym są i dlaczego

nazywa się je krzywymi stożkowymi?

Znacie już pewnie kilka,

więc wypiszę je.

Okrąg, elipsa, parabola

i hiperbola.

To jest p.

Hiperbola.

Wiecie już, co to za obiekty.

Gdy się uczyłem o krzywych stożkowych

wiedziałem, co to okrąg.

Wiedziałem co to parabola.

I nawet wiedziałem co nieco o elipsach i hiperbolach.

Jakim prawem one nazywają się krzywymi stożkowymi?

Mówiąc prosto, ponieważ są przecięciem

płaszczyzny i stożka.

Narysuję wam to za sekundę,

ale wcześniej sensownie będzie

narysować je wszystkie.

Zmienię kolor.

Okrąg, wiemy jak wygląda.

W zasadzie spróbuję wybrać grubszą

linię dla moich okręgów.

Okrąg wygląda jakoś tak.

To wszystkie punkty równoodległe od jakiegoś środka,

a ta odległość to promień.

Więc jeśli to jest r, a to jest środek, to okrąg

to wszystkie punkty odległe o r od środka.

Nauczyliśmy się wcześniej czym jest okrąg,

sprawia, że świat się kręci, dosłownie.

Elipsa, jak mówią laicy, to spłaszczony okrąg.

Wygląda mniej więcej tak. Może być...

Narysuję ją innym kolorem.

Elipsa może być taka.

Może być taka.

Trudniej jest rysować używając narzędzi do rysowania,

ale może być też pochylona i obrócona.

Ale tak to ogólnie wygląda.

W zasadzie okręgi, to szczególne przypadki elips.

To jest elipsa, która nie jest wyciągnięta

w żadnym kierunku.

Jest jakby perfekcyjnie symetryczna w każdą stronę.

Parabola.

Uczyliście się o tym w dziale algebra II, który pewnie

mieliście, skoro uczycie się o krzywych stożkowych.

Ale parabola -- narysuję tu linię, aby oddzielić te rzeczy.

Parabola wygląda jakoś tak. Trochę przypomina U.

Typowa parabola.

Nie chcę wypisywać równań w tym momencie,

albo czemu nie, ponieważ pewnie je znacie.

y równa się x do kwadratu.

Możecie ja przesunąć, obrócić i możecie

otrzymać taką parabolę.

To będzie x równe y do kwadratu.

I możecie obrócić to jeszcze bardziej, ale myślę,

że znacie ogólny kształt paraboli.

Porozmawiamy później o tym, jak ją rysować, albo

które punkty na paraboli są interesujące.

Ostatnia jest, mogliście już ją widzieć

wcześniej, to hiperbola.

Wygląda prawie jak dwie parabole, ale nie do końca,

ponieważ krzywe trochę mniej przypominają

literę U, są bardziej otwarte.

Wytłumaczę, co przez to rozumiem.

Hiperbola wygląda mniej więcej tak.

Niech to będą dwie osie.

To są osie współrzędnych.

Narysuję asymptoty.

Narysuję asymptoty.

Chcę przejść idealnie przez -- całkiem nieźle.

To są asymptoty.

To nie jest hiperbola.

Hiperbola wygląda jakoś tak.

Będzie wyglądać...

Może wyglądać tak i przechodzić tutaj

bardzo blisko asymptot.

Coraz bardziej się zbliża do tych niebieskich linii

i to samo dzieje się po tej stronie.

Wykres pojawia się tu, wystrzela w górę

i pojawia się w tym miejscu.

Ta karmazynowa linia mogłaby być hiperbolą.

Inną hiperbolą mogłaby być, tak zwana

pionowa hiperbola.

To nie do końca dobra nazwa, ale wygląda to

mniej więcej tak, że znajduje się ona pod asymptotą

i nad asymptotą tutaj.

Zatem ta niebieska mogłaby być jedną hiperbolą,

a ta karmazynowa drugą.

To są oddzielne wykresy.

Domyślam się, że zadajecie pytanie dlaczego

nazywamy je krzywymi stożkowymi?

Dlaczego nie nazywają się bolasy, albo rodzaje

okręgów, albo cokolwiek innego?

I jakie one mają wspólne cechy?

Jasne jest, że okręgi i elipsy

są jakoś spokrewnione.

Elipsy to takie spłaszczone okręgi.

I nawet wydaje się, że parabole i hiperbole

są jakoś spokrewnione.

To jest p.

Obie mają bola w swojej nazwie i obie

wyglądają podobnie do U.

Chociaż hiperbola ma dwa takie i otwiera się

w dwie różne strony, ale są podobne.

Ale co je wszystkie łączy?

I tu w zasadzie pojawia się słowo stożek.

Spróbuję narysować trójwymiarowy stożek.

To jest stożek

Więc...

Tu jest góra.

Narysuję...

Mogłem użyć elipsy do narysowania góry.

Wygląda jakoś tak.

W zasadzie on nie ma góry.

W zasadzie on może się ciągnąć w nieskończoność w tym kierunku.

Ścinam go jakby, żebyście zobaczyli, że to stożek.

To mógłby być dół.

Spróbujmy wziąć jakieś przecięcia płaszczyzny

ze stożkiem, żeby zobaczyć czy uda nam się stwożyć

kształty, o których mówiliśmy.

Jeśli weźmiemy płaszczyznę idącą dokładnie -- myślę,

że możemy nazwać to osią trójwymiarowego stożka,

więc to jest oś.

Zatem, jeśli mamy płaszczyznę, która jest dokładnie prostopadła

do tej osi -- zobaczmy, czy uda mi się to narysować w trzech wymiarach.

Płaszczyzna będzie wyglądać jakoś tak.

Będzie miała tu linię.

To jest frontowa linia, ta bliższa nas,

i będzie jeszcze jedna z tyłu.

Prawie wyszło.

Oczywiście wiecie, że to są nieskończone płaszczyzny,

więc one rozchodzą się w każdym kierunku.

Jeśli ta płaszczyzna jest dokładnie prostopadła do osi

i idzie tutaj z tyłu,

to przecięcie tej płaszczyzny ze stożkiem

będzie wyglądać jakoś tak.

Patrzymy na to z jakiegoś kąta, ale jeśli byśmy patrzyli

prosto w dół -- jeśli byście siedzieli tu i patrzyli

na płaszczyznę -- jeśli byście patrzyli na nią od góry.

Jeśli bym ją obrócił w ten sposób,

to byśmy patrzyli na nią prosto w dół, a przecięcie

byłoby okręgiem.

Teraz, jeśli weźmiemy płaszczyznę i pochylimy ją trochę,

więc zamiast takiej sytuacji mielibyśmy taką...

Spróbuję zrobić to odpowiednio.

Mamy sytuację, że -- łoops

Cofnę to.

Edycja.

Cofnij.

Mamy coś takiego, i z drugiej strony.

Łączymy je.

I mamy płaszczyznę.

Przecięcie tej płaszczyzny, która nie jest

prostopadła do osi

tego trójwymiarowego stożka.

Jeśli weźmiemy przecięcie tej płaszczyzny ze stożkiem --

w następnych filmach -- nie będziecie tego robić

na algebrze II,

ale ewentualnie zrobimy jakieś trójwymiarowe

przecięcia i dowiedziemy, że to rzeczywiście jest ten przypadek,

że dostajemy równania, które pokażę wam

w niedalekiej przyszłości.

To przecięcie będzie wyglądać jakoś tak.

Myślę, że już to sobie wyobraziliście.

Wygląda jakoś tak.

Jeśli byśmy popatrzyli prosto w dół na tę płaszczyznę,

jeśli byście patrzyli z góry na nią, to to wyglądałoby --

tę figurę narysuję na fioletowo -- będzie

wyglądać jakoś tak.

Nie narysowałem tego dokładnie.

To będzie elipsa.

Wiecie, jak wygląda elipsa.

Jeśli nachylę to w inną stronę, to elipsa

wyciągnie się w inny sposób.

Ale macie już pojęcie dlaczego obie te figury

należą do krzywych stożkowych.

Teraz coś bardzo interesującego.

Jeśli będziemy dalej obracać tę płaszczyznę, aż

-- powiedzmy, że obracamy wokół tego punktu.

Moja płaszczyzna -- zobaczę, czy mi się uda.

To dobre ćwiczenie na rysowanie w trzech wymiarach.

Powiedzmy, że wygląda mniej więcej tak.

Chcę przejść przez ten punkt.

To jest moja trójwymiarowa płaszczyzna.

Rysuję ją tak, aby tylko przecinała

tą dolną część stożka, i by była równoległa

do boku górnej części.

Tym razem przecięcie płaszczyzny ze stożkiem...,

ten punkt będzie należał do przecięcia.

Możecie prawie zobaczyć jak obracam to wokół tego punktu,

przecięcie w tym punkcie, płaszczyzny ze stożkiem.

To przecięcie będzie wyglądać

w ten sposób.

Będzie wyglądać jakoś tak.

I będzie ciągnąć się tu w dół.

Więc jeśli narysuję, to będzie wyglądać jakoś tak.

Gdybym był nad płaszczyzną, gdybym

rysował tylko płaszczyznę.

I dostajemy parabolę.

To interesujące.

Jeśli będziemy dalej przechylać -- zaczęliśmy

z okręgiem, przechyliliśmy i dostaliśmy elipsę.

Elipsa coraz bardziej się przekrzywiała.

W pewnym miejscu elipsa -- elipsa coraz bardziej

się wydłuża w ten sposób.

Jakby pęka gdy staje się dokładnie równoległa

do boku górnej części stożka.

Robię to dosyć niedokładnie w tym momencie,

ale myślę, że to łapiecie.

Pęka i zmienia się w parabolę.

Możecie zobaczyć parabolę -- i to jest

relacja między nimi.

Parabola powstaje gdy jeden bok elipsy pęka

otwiera się i dostajecie parabolę.

I jeśli będziemy dalej przechylać płaszczyznę -- zrobię to

innym kolorem -- to będzie się przecinać

z obydwiema częściami stożka.

Spróbuję to narysować.

To będzie moja nowa płaszczyzna -- łoops.

Prawie idealnie.

Jeśli moja płaszczyzna będzie taka -- wiem,

że mało teraz widać -- i chcemy przecięcie tej płaszczyzny,

tej zielonej płaszczyzny ze stożkiem -- pewnie powinienem

wszystko przerysować, ale mam nadzieję, że to was

nie przytłacza -- przecięcie będzie wyglądać tak.

Będzie przecinać i dół stożka

oraz górę stożka w tym miejscu.

I otrzymamy coś takiego.

To będzie przecięcie płaszczyzny z dołem.

A potem tutaj przecięcie płaszczyzny

z górną częścią.

Pamiętajcie, płaszczyzna rozchodzi się w każdą stronę w nieskończoność.

To tylko ogólny zarys krzywych stożkowych

i powód, dlaczego nazywamy je krzywymi stożkowymi.

Dajcie mi znać, czy to jest jasne, bo mogę

zrobić inny film, w którym to ładnie przerysuję.

Może uda mi się znaleźć jakąś ładną aplikację 3D,

która zrobi to lepiej niż ja.

To jest tylko powód, dlaczego to są krzywe

stożkowe, i dlaczego są spokrewnione.

Omówię ten temat bardziej matematycznie

w kilku następnych filmikach,

ale w następnym filmie -- teraz wiecie dlaczego

nazywamy je krzywymi stożkowymi -- opowiem

o wzorach na te krzywe, jak rozpoznawać te wzory,

i jak, mając dany wzór, narysować każdą

z tych krzywych stożkowych.

Do zobaczenia w następnym filmie.