-
Laten we proberen twee dingen te leren over kegelsneden.
-
Eerst: wat zijn het en waarom heten ze kegelsneden?
-
Waarschijnlijk ken je er al een paar.
-
Ik schrijf ze hier op:
-
Het zijn de cirkel, de ellips, de parabool, en de hyperbool.
-
Met een p: Hyperbool.
-
En je weet al wat dat zijn.
-
Toen ik voor het eerst kegelsneden leerde, dacht ik:
-
Ik weet wat een cirkel is.
-
Ik weet wat een parabool is.
-
En ik weet zelfs een klein beetje over ellipsen en hyperbolen.
-
Waarom heten ze dan kegelsneden?
-
Simpel: omdat ze de snijlijn van een vlak en een kegel zijn.
-
En dat zal ik je zo laten zien.
-
Maar eerst zal ik ze gewoon tekenen.
-
Ik neem een ander kleurtje.
-
De cirkel, kennen we allemaal
-
Laat ik een dikker lijntje nemen voor mijn cirkels
-
zodat een cirkel iets dergelijks lijkt.
-
Hij bestaat uit alle punten die op gelijke afstand van een middelpunt zijn,
-
en die afstand tot het middelpunt heet de straal.
-
Dus als dit r is, en dit het middelpunt, dan is de cirkel
-
alle punten die precies op afstand r van dit punt zijn.
-
We hebben dat vroeg in ons onderwijs al geleerd.
-
De cirkel laat de wereld draaien; letterlijk.
-
Een Ellips is in lekentaal een soort geplette cirkel.
-
Hij kan er als volgt uitzien:
-
De ellips geef ik een andere kleur.
-
Een ellips zou er zo uit kunnen zien
-
Het is moeilijker om te tekenen met dit gereedschap
-
maar hij kan ook worden gekanteld of gedraaid.
-
En eigenlijk, cirkels zijn een speciaal geval van een ellips.
-
Het is een ellips die niet in één richting meer wordt
uitgerekt dan in een andere.
-
Hij is perfect symmetrisch in elk opzicht.
-
Parabool.
-
Die heb je geleerd als je algebra twee hebt gedaan
voordat je nu kegelsneden leert.
-
Maar een parabool--Ik trek hier een scheidslijn--
-
Een parabool ziet er zo uit, een soort U-vorm,
-
de klassieke parabool.
-
Ik zal niet ingaan op de vergelijkingen nu.
-
Even, omdat je het waarschijnlijk al weet:
y is x-kwadraat
-
En daarna kun je hem verschuiven en draaien;
-
er is zelfs een parabool die zo gaat.
-
Dan is x gelijk aan het kwadraat van y.
-
Je kunt deze dingen ronddraaien, maar ik denk dat je de
-
de algemene vorm van een parabool al kent.
-
We zullen het hebben over hoe je hem in een grafiek zet en
-
Wat de interessante punten van een parabool zijn.
-
En dan de laatste, je hebt hem misschien wel eens gezien,
-
is een hyperbool.
-
Het ziet er bijna als twee parabolen, maar niet helemaal,
-
omdat de curven minder een U-vorm hebben en
-
een beetje meer open.
-
Maar ik zal uitleggen wat ik bedoel.
-
Dus een hyperbool ziet er meestal zo uit:
-
Dit zijn de assen en ik teken daarin
-
een paar asymptoten.
-
Dit zijn asymptoten.
-
Dit is niet de werkelijke hyperbool.
-
Maar een hyperbool zou er zo uitzien:
-
Ze kunnen hier zitten en komen dan dichtbij de asymptoot.
-
Zij kruipen dichter en dichter bij die blauwe lijnen, zo,
-
en aan deze kant ook.
-
Hier verschijnen de grafieken en dan zij springen ze naar de andere kant en
-
zij verschijnen ook hier.
-
Deze magenta lijn zou één hyperbool kunnen zijn;
-
Ik heb hem niet heel fraai gemaakt.
-
Of een andere hyperbool zou
een verticale hyperbool kunnen zijn
-
Dat is niet het exacte woord, maar het zou er ongeveer zo uitzien
-
die bevindt zich onder de asymptoot hier.
-
en boven de asymptoot daar.
-
Dus deze blauwe zou één hyperbool zijn
-
en de magenta een andere hyperbool.
-
Dus zijn dat de verschillende grafieken.
-
Nou wil je zeker nog weten waarom het kegelsneden heten?
-
Waarom heten ze niet bolas of variaties van
cirkels ofzo?
-
En wat is nou de onderlinge relatie?
-
Het is vrij duidelijk dat cirkels en ellipsen
-
op een of andere manier gerelateerd zijn.
-
Dat een ellips een geplette cirkel is.
-
En misschien lijken parabolen en hyperbolen
-
enigszins gerelateerd.
-
Dit is een P.
-
Ze hebben allebei bola in hun naam en het zijn beide
-
een soort open U-vorm.
-
Hoewel een hyperbool twee lijnen heeft, met
-
openingen in verschillende richtingen.
-
Maar wat is het verband achter al deze krommen?
-
Dit is waar het woord 'kegel' of 'conisch' vandaan komt.
-
Ik ga een drie-dimensionale kegel tekenen.
-
Dit is dus een kegel.
-
Dat is de top.
-
Ik had een ellips voor de top kunnen nemen.
-
Het ziet er zo uit.
-
Eigenlijk heeft hij geen top.
-
Hij zou eigenlijk voor altijd door blijven gaan in die richting.
-
Ik snijd hem gewoon af, zodat je kunt zien dat het een kegel is.
-
Dit is het onderste deel.
-
Dus laten we eens verschillende doorsneden van een vlak met
deze kegel bekijken
-
Kijken of we de verschillende vormen kunnen maken
-
waar we het over hebben gehad.
-
Als we een vlak hebben dat loodrecht gaat
-
laten we dit de as van deze drie-dimensionale kegel noemen,
-
dus dit is de as.
-
Dus we hebben een vlak dat is precies loodrecht op die as
-
ik probeer het 3D te tekenen.
-
Het vlak zou er als volgt uitzien.
-
Het zou dus een lijn hebben.
-
Dit is de voorste lijn die dichter bij je is en dan heb je
-
hierachter een andere lijn.
-
Dat lijkt erop.
-
En je weet natuurlijk dat dit een oneindig vlak is, het
-
spreidt zich uit in elke richting.
-
Als dit vlak loodrecht op de as is
-
en het vlak loopt erachter door,
-
Dan zal het snijpunt van dit vlak en deze kegel er
zo uitzien.
-
We bekijken het onder een hoek, maar als je het
-
recht van boven bekijkt,
-
Dit vlak
-
Als ik dit zou kantelen en losknippen,
-
zodat we recht neerkijken op dit vlak,
-
dan is de snijlijn een cirkel.
-
Dan, als we het vlak nemen en wij het kantelen een beetje omlaag,
-
In plaats daarvan krijgen we een situatie als deze:
-
Eens kijken of ik het goed kan tekenen.
-
Oeps
-
Ik wil dat ongedaan maken.
-
Bewerken.
-
Ongedaan maken.
-
Waar het zo is en de andere kant zo,
-
en ik sluit ze.
-
Dus dat is het vlak.
-
Nu is de doorsnede van dit vlak
-
niet orthogonaal of loodrecht op de as van
-
deze drie-dimensionale kegel.
-
Als je de doorsnede van dat vlak en de kegel bekijkt en
-
in volgende video's, nog niet in algebra 2,
-
behandelen we driedimensionale doorsnedes
-
en dan krijg je het bewijs.
-
Je krijgt zeker de vergelijkingen, die zal ik je laten zien
-
in de niet te verre toekomst.
-
Deze doorsnede zou er als volgt uitzien.
-
Ik denk dat je het nu kunt visualiseren.
-
Het zou er als volgt uitzien.
-
En als je recht naar beneden kijken op dit vlak, als
-
je recht boven het vlak zou hangen, zou je dit zien:
-
deze figuur die ik paars maak, is een ellips.
-
Je weet hoe een ellips eruit ziet.
-
En als ik hem de andere kant op kantel, zou hij de andere kant op 'geplet' geworden.
-
En dit geeft je een algemene indruk waarom dit kegelsneden genoemd worden.
-
Iets heel interessants: als je dit vlak blijft kantelen,
en we kantelen rond dat punt
-
Dit is een oefening in 3-dimensionaal tekenen
-
Ik wil door dat punt. Dit is mijn 3-dimensionale vlak.
En ik teken het ongeveer zo,
-
dat dit vlak alleen de onderste kegel snijdt.
En het vlak parallel is aan de zijkant van de bovenste kegel.
-
In dit geval, gaat de snijlijn precies door dat punt.
-
Je kunt je voorstellen dat ik kantel rond dit punt,
dit snijpunt van het vlak en de kegel
-
Dus nu zou de doorsnede er zo uitzien.
En het zou zo steeds verder omlaag gaan.
-
Als ik het moest tekenen, zag het er zo uit.
Als ik recht boven het vlak zou kijken en alleen het vlak teken...
-
Daar heb je je parabool!
-
Dat is interessant: je start met een cirkel, en je kantelt, dan krijg je een ellips
-
en als je doorgaat met kantelen, wordt de ellips steeds verder uitgerekt,
-
En op een gegeven moment knalt hij, precies wanneer je
precies parallel aan de topkegel bent.
-
Ik teken het nu allemaal onnauwkeurig
-
Hij knalt open en hij verandert in een parabool.
-
Dus kunt je het zo zien: een parabool heeft dit verband
-
Een parabool is wat er gebeurt wanneer een kant van een ellips openspringt
-
open en je krijgt deze parabool.
-
En dan, als je dit vlak blijft kantelen, en ik doe het
-
in een andere kleur--zodat het vlak beide
-
delen van de kegel snijdt,
-
Laat me zien als ik die kan tekenen.
-
Dus als dit mijn nieuwe vlak is,
-
- zo -
-
Dus als mijn nieuwe vlak er zo uitziet --ik weet dat het moeilijk te zien is,
-
en je wilde het snijpunt van dit vlak,
-
dit groene vlak en de kegel
-- ik had het beter allemaal opnieuw kunnen tekenen --
-
maar hopelijk raak je niet totaal in de war
-
dan zou de doorsnede er zo uitzien.
-
Hij zou de onderkant van de kegel doorsnijden en hij zou
-
daar de bovenste kegel doorsnijden.
-
En dan heb je zo iets als dit:
-
Dit zou de doorsnede van de onderste kegel zijn,
-
En dan hier de doorsnede van het vlak en de bovenste kegelhelft.
-
Vergeet niet, dit vlak loopt in alle richtingen oneindig door.
-
Dus dit is een algemene indruk van wat kegelsneden zijn
-
en waarom ze zo genoemd worden.
-
En laat me weten als dit verwarrend was, omdat ik dan misschien
-
een nieuwe video maak, met een beetje nettere tekeningen.
-
Misschien kan ik een soort van 3D toepassing vinden, die beter werkt.
-
Beter dan ik het kan doen.
-
Dit is de reden waarom ze allemaal kegelvormige secties zijn
-
en waarom ze echt aan elkaar zijn gerelateerd.
-
En over een paar video's gaan we wiskundig
-
een beetje meer de diepte in.
-
Maar in de volgende video, nu je weet wat het zijn en waarom
-
ze kegelsneden heten, zal ik het hebben over
-
de formules, en over hoe je
-
de formules kunt herkennen.
-
En gegeven een formule, hoe je de grafieken kunt tekenen
-
van deze kegelsneden.
-
Ik zie je in de volgende video!
Khan Academy
