Introduction to Conic Sections

Vediamo d'imparare un paio di cosette

sulle sezioni coniche

Innanzitutto, cosa sono e perché

sono chiamate sezioni coniche

Probabilmente ne conoscete già alcune

Fatemele scrivere

Il cerchio, l'ellisse, la parabola,

e l'iperbole

Le conoscete già

Tutti sappiamo cos'è un cerchio

E cos'è una parabola

Pure d'ellissi e iperbole sapevo qualcosa

Perché sono dette sezioni coniche?

Per semplificare, perché sono intersezioni

di un piano con un cono

Lo disegno fra un istante

Prima di disegnare l'intersezione

disegnamoli da soli

Cambiamo colori

Un cerchio, lo conosciamo tutti

Scegliamo una linea più spessa

per le mie circonferenze

Una circonferenza è una figura del genere

è il luogo dei punti
equidistanti dal centro

e tale distanza è chiamata 'raggio'

Se questo è 'r' e questo è il centro
la circonferenza

è l'insieme di tutti i punti
a distanza 'r' dal centro

Sappiamo tutti cosa è una circonferenza

è ciò che fa ruotare il mondo :-)

Un'ellisse è una specie
di cerchio schiacciato

Ha un aspetto del genere

Usiamo un altro colore per l'ellisse

Un'ellisse ha un aspetto del genere

così

È difficile disegnarla
con questo coso

può essere anche ruotata e inclinata

questo è il concetto

In verità sono i cerchi ad essere
un caso speciale delle ellissi

È un'ellisse che non è schiacciata
in una direzione più che nell'altra

È perfettamente simmetrica
da ogni punto di vista

Ora la parabola

Nei corsi di algebra avete imparato

(li avete seguiti, si?) Certo,
se seguite questo video

Fatemi disegnare una linea qui
per separare gli argomenti

Un parabola ha l'aspetto di una 'U'

Lasciamo da parte le equazioni per ora

Anzi no, tanto le conoscete tutti

y = x al quadrato

Potete invertire x e y

ed otterrete una parabola

corrispondente all'equazione x = y^2

Potete invertire questi fattori

riconoscerete la parabola

Parleremo dopo di come
disegnarla e di quali siano

i punti d'interesse in una parabola

Passiamo all'ultima, che
avrete incontrata

già, si chiama iperbole

Sembra quasi una coppia di parabole
ma non proprio

perché non hanno esattamente
la forma ad 'U'

sono più aperte

Fatemi spiegare cosa intendo

Un'iperbole ha questa forma

Se questi sono gli assi

disegniamo gli asintoti

facciamoli passare attraverso l'origine.
Questi sono gli asintoti

Queste non sono esattamente le iperboli

ma un'iperbole avrà un aspetto del genere

Staranno qui, vicinissime all'asintoto

Si avvicineranno sempre più
a queste linee blu

e ugualmente dall'altra parte

La linea continua qui e poi "salta"

dall'altra parte

Indichiamo l'iperbole col magenta

Così va meglio

Questa potrebbe essere un'altra iperbole

un'iperbole verticale, diciamo

Il termine non è esatto ma

indichiamo una cosa del genere

C'è un asintoto qui

Questa blu è la prima iperbole

col magenta indichiamo
una seconda iperbole

Vi state certamente chiedendo
perché sono chiamate 'sezioni coniche'?

Perché non 'bole' o variazioni

del cerchio, o altro ancora?

In effetti non c'e' neanche un rapporto

È abbastanza chiaro che cerchi ed ellissi

sono correlati

un'ellisse è un cerchio schiacciato

E magari sembra addirittura che
parabole e iperboli

siano un po' correlati.

Questa è ancora una volta un P.

Entrambi hanno bola nel nome ed entrambi

sembrano una U aperta.

Anche se un'iperbole ha due
di queste che si aprono

in direzioni diverse

Ma qual è la connessione ?

E questo è francamente da dove
viene la parola conica

Quindi fammi vedere se riesco a
disegnare un cono tridimensionale.

Quindi questo e' un cono.

Che è la base (in alto)

Avrei potuto usare un'ellisse
per la parte superiore.

E' fatto cosi'.

In realtà, non ha base

Potrebbe continuare per sempre
in quella direzione.

Lo sto affettando così vedi che è un cono.

Questa potrebbe essere la parte inferiore.

Disegnamo diverse intersezioni
di un piano con

questo cono e vediamo se possiamo
generare almeno le diverse

forme di cui abbiamo appena parlato.

Allora, se abbiamo un piano che
va direttamente, chiamiamolo

asse di questo cono tridimensionale,

quindi questo è l'asse.

Se abbiamo un piano che è
esattamente perpendicolare a quell'asse

Il piano sarebbe qualcosa di simile

Disegniamo la linea

Questa è la linea di fronte che
sta più vicina

e poi un'altra linea qui dietro.

Piu' o meno ci siamo.

Questi piani sono infiniti,

quindi continuano in ogni direzione.

Se questo piano è direttamente
perpendicolare all'asse

qui è dove il piano va dietro il cono

L'intersezione del piano con il cono

sarà una cosa simile.

Noi lo stiamo guardando da un angolo
ma se guardassi

dritto verso il basso

se lo stessi guardando proprio da sopra.

Se lo capovolgessi così, e guardassi

dritto verso il basso, quella intersezione

sarebbe una circonferenza

Ora, se prendiamo il piano e lo
incliniamo un po',

quindi se invece di quello avessimo
una situazione come questa.

Fammi vedere se posso fargli giustizia.

Abbiamo una situazione dove è... oops

Fammi annullare.

Dove è così e ha un altro lato fatto così

e li collego.

Percio' il piano è così

Ora l'intersezione di questo piano
che ora non è

ortogonale ne' perpendicolare all'asse

di questo cono tridimensionale.

Se fai l'intersezione tra il piano
e il cono

questo non si fa in algebra due

Fai l'intersezione tridimensionale
e dimostri che è vero

Ottieni le equazioni, che ti mostrerò
presto

Quest'incrocio è qualcosa di simile

Riesci a visualizzarlo?

Sarebbe qualcosa di simile.

E se guardassi questo piano dritto
verso il basso

se stessi proprio sopra il piano
questo sarebbe

questa figura che ho disegnato in viola

sarebbe piu' o meno cosi'.

Non l'ho disegnato bene

Sarebbe un'ellisse.

Lo sai com'e' fatta un'ellisse.

Se lo inclinassi nell'altro modo l'ellisse
sarebbe schiacciata dall'altra parte

Questo ti dà un'idea del perché entrambe

sono sezioni coniche

Una proprietà interessante

Se continuiamo ad inclinare questo piano

diciamo che facciamo perno
intorno a quel punto

Questo è il mio piano tridimensionale

Lo sto disegnando in modo che
intersechi solo questo

cono di fondo e la superficie del
piano è parallela

al lato di questo cono superiore

In questo caso l'intersezione
tra il piano e il cono

intersecherà proprio quel punto

Sto facendo perno in questo punto

all'intersezione tra questo punto
il piano e il cono

L'intersezione, sarebbe qualcosa di simile

Sarebbe più o meno così

E continuerebbe a scendere

Se dovessi disegnarlo sarebbe fatto così

Se mi trovassi proprio sopra il piano

se dovessi disegnare giusto il piano

E lì ottieni la parabola.

Se continui ad inclinarlo, se inizi con un

cerchio, lo inclini un po', ottieni
un'ellisse

Ottieni un'ellisse sempre più distorta

Ad un certo punto l'ellisse diventa
sempre più distorta

S'apre quando diventa parallelo
al lato di questo cono superiore

E sto facendo tutto molto impreciso
vi voglio solo dare un'idea

Si apre e si trasforma in una parabola

Quindi puoi vedere una parabola

c'è questo rapporto

La parabola è ciò che otteniamo quando
si apre un lato di un'ellisse

E poi, se continui a inclinare questo
piano - usiamo un altro colore

quindi interseca entrambi i lati del cono

Vediamo se riesco a disegnarlo

Percio' se questo è il mio nuovo piano
--- ooops.

Ecco, così bene

Quindi se il mio piano è fatto così
--- lo so che è molto difficile

da leggere -- e volessi fare
l'intersezione tra questo piano

verde e il cono --- dovrei ridisegnare

tutto, spero di non avervi completamente
confusi

l'intersezione sarebbe fatta così

Interseccherebbe il cono inferiore lì e

intersecherebbe il cono superiore lì

E quindi avresti qualcosa di simile

Questa sarebbe l'intersezione tra il
piano e il cono di sotto

E qui in alto c'è l'intersezione
del piano e di quella in alto

Questo piano s'estende indefinitamente
in tutte le direzioni

Questo vi dà l'idea di cosa siano
le sezioni coniche

e del perché sono così chiamate

Ditemi francamente se ho fatto confusione
e rifarò il video con disegni più chiari

Magari utilizzando un programma
per i disegni in 3D

così viene meglio

Questa è la ragione per cui sono dette
tutte sezioni coniche

Vedremo le loro equazioni
fra qualche video

Ma nel prossimo video
ora che le conoscete

e che sapete il perché del loro nome
vi parlerò

delle loro equazioni e di come
si riconoscono le loro equazioni

E come, data una formula
si disegnano le curve

di queste sezioni coniche

Al prossimo video