Introduction to Conic Sections

Apprenons quelques elements au sujet des

sections coniques.

Donc, tout d'abord, que sont elles, et pourquoi sont elles

appellees sections coniques?

A vrai dire, vous en reconnaissez surement certaines,

et je les ecrire.

Ce sont le cerce, l'ellipse, la parabole,

et l'hyperbole.

C'est un p.

Hyperbole.

Et vous savez deja ce que sont ces objets.

Quand j'ai appris ce qu'etait une section conique pour la premiere fois,

je me suis dit : je sais deja ce qu'est un cercle.

Je sais deja ce qu'est une parabole,

et je sais quelques trucs a propos des ellipses et des hyperboles.

Mais pourquoi sont elles appellees sections coniques?

que je les dessine toutes seules.

Et je changerai de couleurs.

Un cercle, on sait tous ce que c'est.

Je vais en fait prendre une trace plus epaisse pour

mes cercles.

Un cercle ressemble a ca.

Ce sont les points equidistants d'un centre

et cette distance qu'ils partagent est le rayon.

Donc si ceci est r, et si ceci est le centre, le cercle est

l'ensemble des points a une distance r du centre.

On a appris tres tot a l'ecole

ce qu'est un cercle.

Une ellipse, en termes simples, est un cercle ecrase.

Ca ressemble a ca.

Je vais utiliser une autre couleur.

Une ellipse, c'est comme cela.

Comme cela.

C'est difficile pour moi de le faire, mais

on pourrait aussi l'orienter differement.

Voila un a peu pres de l'idee d'une ellipse.

En fait, un cercle est un cas particulier d'ellipse.

C'est une ellipse qui n'est pas etiree

dans aucune dimension.

C'est parfaitement sympetrique, un cercle.

Une parabole.

Vous savez ce que c'est si vous avez suivi Algebre II

et aussi si vous vous interessez aux coniques.

Mais une parabole - je vais tirer un trait pour separer.

Une parabole ressemble un U

une parabole classique.

Je vais pas rentrer dans les equations tout de suite.

Enfin si,vous devez deja les connaitre.

y est egal a x carre

Et on peut l'orienter differement

et avoir ceci.

x egal y carre

On pourrait reorienter,

mais je pense que vous comprenez le principe de la parabole.

On va revenir sur la facon de dessiner la parabole,

et ses points remarquables.

Et le dernier, vous avez deja vu cela,

une hyperbole.

C'est presque comme deux paraboles

mais sauf que ca a moins une forme de U

et c'est un peu plus ouvert.

Je veux dire par la:

Une hyperbole ressemble a ca

Voila les axes.

Et les asymptotes.

Passons a autre chose.

Voila les asymptotes.

Ils n'appartiennent pas a l'hyperbole.

Voila l'hyperbole.

Elles sont la et

tres proches de l'asymptote.

De plus en plus proches

et de ce cote aussi.

Les graphes sont ici

et la.

De cette couleur on pourrait avoir une hyperbole.

Une autre hyperbole,

pourrait etre une hyperbole verticale.

C'est pas le bon terme

mais elle est en tout cas en dessous de l'asymptote.

Au dessus ici.

En bleu, une hyperbole,

en magenta une autre.

Voici les differents graphes.

On peut se demander:

pourquoi dit-on sections coniques?

Pourquoi pas un autre

terme pour les qualifier?

En fait, il est clair

que les cercles et les ellipses

sont liees.

Une ellipse est un cercle ecrase.

Et peut etre les hyperboles et les paraboles

sont liees aussi.

C'est un P.

Ils contiennent le suffixe bole et

ils ont une forme de U.

Sauf qu'une hyperbole en a 2, et elle s'ouvre

dans d'autres directions, mais paraboles et hyperboles se ressemblent.

Quel est le lien entre elles?

C'est de la que vient le mot "conique".

Un cone en 3 dimensions.

Voila.

C'est le haut.

J'aurai pu faire une ellipse en haut.

Voila.

En fait, il n'a pas de haut.

Il continue a l'infini

avec ici l'axe du cone

voila,

On a un plan parfaitement perpendiculaire a cet

axe - je vais le dessiner en 3d.

Le plan est comme cela.

Il comporte une droite.

C'est la droite la plus proche de nous et ensuite

une autre droite a l'arriere ici.

Voila.

C'est des plans infinis donc

ca part dans toutes les directions.

Si ce plan est perpendiculaire a l'axe

de ceci et voici par ou par le plan.

L'intersection du plan et du cone est

comme ceci.

On le voit en perspective mais si vous regardiez

pile en face,

vu de haut,

et que vous regardiez le plan,

cette intersection

serait un cercle.

Si on incline le plan

on obtient ceci

Je vais essayer de le dessiner proprement,

Oops.

Je vais effacer.

Edit.

Undo.

Voila, avec un autre cote comme ceci.

Et je les raccorde.

Voila le plan

L'intersection du plan

n'est plus orthogonale ou perpendiculaire

au cone.

Si on prend l'intersection,

et vous verrez plus tard pourquoi

en Algebre II

On refera cette intersection

et on demontrera que c'est bien le cas.

Vous comprendrez les equation

que je vous montrerai bientot.

L'intersection est comme ca.

Vous voyez bien.

Voila.

Si on se place au dessus,

en regardant vers le bas,

en mauve, ce que jai dessine

ressemblerait a ceci.

Je dessine mal.

C'est une ellipse.

Vous savez a quoi ca ressemble.

En l'inclinant,

l'ellipse est ecrasee dans l'autre sens.

Voila une idee

de pourquoi ce sont des coniques.

Quelque chose d'interessant:

Si on incline encore,

en pivotant comme cela

Mon plan-

c'est difficile de dessiner-

Mon plan ressemble a ca.

Je passe par ce point.

Voila mon plan.

Je le dessine pour qu'il ne passe

par le cone du bas et la surface du plan est parallele

au cote du cone du haut.

Dans ce cas, l'intersection du plan et du cone,

et a ce point la.

Vous voyez que je pivote a ce point,

a cette intersection.

Cette intersection

ressemble a ca.

Comme cela.

Et elle descend.

Si vous la dessiniez, c'est comme cela.

En regardant de haut,

en dessinant le plan

on a la parabole

Interessant.

En inclinant toujours,

du cercle on a l'ellipse,

et une ellipse encore plus ecrasee

Puis ensuite

encore plus ecrasee.

Quand on est parallele au cote du cone

ca s'arrete.

Je le fais mal, mais

je veux vous donner une idee.

Ca devient une parabole

Vous voyez la parabole

voila est le lien.

La parabole arrive quand l'ellipse arrete de s'ecraser.

On obtient la parabole.

Et si vous continuez a incliner le plan,

dans une autre couleur, il intercepte

les deux cotes du cone.

Voila.

C'est mon nouveau plan.

Comme cela.

Mon plan est comme cela, c'est dur a lire,

et l'intersection du plan vert

et du cone, je devrais le redessiner

mais j'espere que vous comprenez quand meme

l'intersection est comme ca.

Le bas vient ici et

il intercepte le cone du haut.

je referrai une autre video plus propre.

En utilisant une application de dessin 3d

c'est surement mieux.

Voila pourquoi ce sont des sections coniques.

Elles sont toutes liees.

On se plongera dans les equations

dans quelques videos.

Dans la prochaine video, maintenant que vous savez tout ca,

je parlerai

de leurs formules et comment on reconnait

ces formules.

Avec une formule, comment dessine-t'on?

ces coniques?

A bientot dans la video suivante.