Introduktion til keglesnit

Lad os prøve at lære en ting
eller to om keglesnit.

Først, hvad er de og
hvorfor de hedder keglesnit?

Du genkender nok nogle af dem

og lad mig lige skrive dem.

Det er cirklen, ellipsen, parablen
og hyperblen.

Du ved allerede, hvad disse er.

Da jeg først lærte om keglesnit,

viste jeg, hvad en cirkel var,
jeg viste, hvad en parabel var.

Jeg viste også lidt om
ellipser og hyperbler.

Men hvorfor er de dog kaldet keglesnit?

For at sige det enkelt,
fordi de er tværsnit

af en kegle, der skæres af et plan.

Jeg viser det om lidt.

Men inden jeg gør det,
så tegner jeg dem hver for sig.

Jeg skifter lige farve.

Cirkel - det ved vi alle, hvad er.

Jeg prøver lige at vælge en tykkere streg

En cirkel ser nogenlunde således ud.

Det er alle punkter med
samme afstand til et centrum

og den afstand svarer til radius.

Hvis dette er r og dette er centrum

så er cirklen alle de punkter,
der ligger præcis r væk fra centrum.

Vi lærte tidligt i vores skolegang,
at en cirkel er rund.

Ellipse ligner en sammentrykket cirkel.

Den kan se nogenlunde således ud.

Lad mig lave en ellipse i en anden farve.

Dette kan være en ellipse eller det her.

Det er svær at lave med dette værktøj,

men den kan også vendes eller drejes.

Dette er en ellipse.

Cirkler er faktisk særlige ellipser.

Det er en ellipse, der ikke er strukket
mere i den ene retning end den anden.

Den har perfekt symmetri.

Parabel.

Den kender du, hvis du har
været i gennem Algebra 2

og det har du nok,
hvis du er gået i gang med keglesnit.

Men en parabel ligner et U

og du kender den klassiske parabel.

Jeg vil ikke skrive ligningen.

Ah nu gør jeg det alligevel,
da du jo nok allerede kender den.

y = x².

Du kan flytte den og

du kan også have en parabel,
der gør sådan.

Det vil være x = y².

Du kan dreje dem,

men jeg tror du kender den
almindelige facon af en parabel.

Vi skal snakke mere om,
hvordan du afbilder den eller

hvilke spændende punkter,
der er på en parabel.

Den sidste, som du måske
har set før, er hyperblen.

Den ligner nærmest to parabler,
men ikke helt

da kurverne ikke helt ligner U,

men er lidt mere åbne.

Men lad mig forklare,
hvad jeg mener med det.

En hyperbel ser typisk således ud.

Hvis dette er akserne,
så kan jeg tegne nogle asymptoter,

der går gennem origo.

Disse er asymptoter,
ikke hyperblerne.

Men en hyperbel kan se
nogenlunde således ud.

Den vil være ret tæt på asymptoten.

Den kommer tættere og tættere
på de blå linjer.

Det samme sker her over.

Grafen er her og
så dukker den op derover.

Grafen i magenta kan være en hyperbel

Den er ikke helt god.

En anden hyperbel kan være
en lodret hyperbel.

Det er ikke det rigtige ord,
men den ser nogenlunde således ud.

Den ligger under asymptoten
og over asymptoten.

Den blå er en hyperbel og
den magenta er en anden hyperbel.

Det er forskellige grafer.

Der er en ting, jeg er sikker på,
du gerne vil spørge om.

Hvorfor kaldes de keglesnit?

Hvorfor kaldes de ikke perbler eller
cirkeltyper eller?

Hvad er sammenhængen mellem dem?

Det er ret tydeligt, at der er en
sammenhæng mellem cirkler og ellipser.

En ellipse er en mast cirkel.

Og man kan måske sige,
at parabler og hyperbler hører sammen.

De har begge "bel" i ders navn
og de ligner lidt et U.

Selvom en hyperbel har to af disse
åbninger i forskellige retning.

De ser lidt ens ud.

Hvad er sammenhængen mellem dem alle?

Det er her ordet kegle dukker op.

Lad mig prøve at tegne
en kegle i tre dimensioner.

Dette er dens top.

Jeg kunne have brugt en
ellipse for toppen.

Sådan.

Den har faktisk ikke en top.

Den bliver ved uendeligt i den retning.

Jeg har skåret i den,
så du kan se, det er en kegle.

Dette vil være dens bund.

Lad os tage et plan og
lave forskellige tværsnit

og se, om vi kan lave de forskellige
figurer, vi lige har snakket om.

Lad os sige, at dette er
den dimensionelle kegles akse.

Lad mig tegne et plan i tre dimensioner,
der er vinkelret på denne akse.

Planet vil se således ud.

Denne linje her er tættest på dig

og så er der en anden linje her bagved.

Det er godt nok.

Dette plan fortsætter uendeligt
i alle retninger.

Når dette plan er vinkelret på denne akse,

så vil tværsnittet mellem planet og keglen
vil se således ud.

Vi ser det fra en vinkel,
men hvis du kigger lige ned,

oppe fra og ned,

Hvis jeg kunne dreje det,
så du ser lige ned på planet,

så er tværsnittet en cirkel.

Lad os vippe planet en lille smule nedad.

Lad mig se,
om jeg kan tegne det ordentligt.

Det går således og

den anden side går her
og jeg forbinder dem.

Dette er planet.

Nu er skæringen ikke længere vinkelret

på aksen af den tre dimensionelle kegle.

I andre videoer vil vi bevise,
at det jeg siger er korrekt.

Jeg vil i hvert fald gennemgå ligninger.

Tværsnittet vil se nogenlunde således ud.

Det vil se således ud.

Hvis du er lige over planet
og kigger lige ned,

så vil du se den figur,
som jeg tegner med lilla,

nemlig en ellipse.

Du kan se, det er en ellipse.

Og hvis jeg vipper planet den anden vej,

så vil ellipsen være mast den anden vej.

Nu kan du se,
hvorfor begge disse kaldes keglesnit.

Hvis vi bliver ved med at vippe planet,
så sker der noget meget spændende.

Dette er en god øvelse i
at tegne i tre dimensioner.

Det vil se nogenlunde således ud.

Jeg går gennem dette punkt.

Dette er mit 3D plan.

Jeg tegner det, så det kun skærer
den nederste kegle og er parallelt

med den øverste kegle.

I dette tilfælde så vil tværsnittet

Du kan næsten se, at jeg tipper

planet over dette punkt og at tværsnitet

nu ser sledes ud.s.

s

s

Det vil blive ved med at gå nedad.

Hvis jeg tegner det såleds.

Hvis jeg er lige over planet

og vil du få en parabel.

s

Spændende.

Hvis du bliver ved med at vippe det,

så starter du med en cirkel, vipper lidt mere
så får du en ellipse

og du får en mere og mere udtalt ellipse.

og på et tidspunkt

så

kommer planet når du er præcis parallele

med den øverste kegles side

Jeg gør det temmelig upræcist men

jeg tror du kan forestille dig, at det sker.

Det kommer ud og det bliver en parabel.

s

Så det er sammenhængen.

En parabel er hvad, der sker, når ellipsen

en ende åbner sig.

Og vhis du vipper planet

-- og jeg bruger en anden farve

så det skærer begge sider af keglen

lad mig se om jeg kan tegne det,

Det er godt nok.

s

HVis mit plan

--det er svært at se --

det grønne plan o kegen

det er forhåbentlig til at overskue

så vil tværsnittet se såedes ud.

Det vil skære den nedster kegle

og den vil skære den øverste kelge.

Du får noget der ser nogenlunde således ud.

Det er tværniste af planetog den nedsete kegle.

Dette vil være tværnisttet af planet

og den øverste kele.

Husk planet fortsætter uendeligt i alle retninger.

SÅ dette er blot for at få en ide om

Hvad kegle snit er, og hvorfor de hedder det.

Sig til hvis det er for svært at se,

måske jeg så laver en bedre video.

Jeg kan måske finde et 3D program

der kan gøre det bedre.

Det er blot for at se, hvorfor de hedder keglesnit.

og hvilken sammenhæng, der er mellem dem.

Vi skal gå lidt mere i dybden matematik

i andre videoer.

I den næste video, nu da du ved hvad de er,

og hvorfor de hedder keglesnit,

kan jeg snakke om deres formler og hvordan

du genkender formlerne.

Og med en given formel, hvordan du afbilder dem

graferne for keglesnit.

Vi ses i næste video.