Introduktion til keglesnit

Lær os prøve at lære en ting eller to

om keglesnit.

Først, hvad er de og hvorfor hedder

de keglesnit?

Du genkender nok nogle af dem

og lad mig lige skrive dem.

Det er cirklen, ellipsen, parablen og hyperblen.

s

d

d

Du ved hvad disse er.

Da jeg først lærte om keglesnit,

tænkte, jeg jeg ved hvad en cirkel er,

jeg ved hvad en parabel erl.

Og jeg ved også lidt om ellipser
og hyperboler.

Men hvorfor er de dog kaldet keglesnit?

For at sige det enkelt, fordi

de er tværsnittet af en kegle, der skæres af et plan.

Jeg skal nok tegne det om lidt.

Men inden jeg gør det, så tegner jeg dem

lige hver for sig.

Jeg skifter lige farve.

Cirkel - det ved vi alle hvad er.

Jeg prøver lige at vælge en tykkere streg

s

En cirkel ser nogenlunde således ud.

Det er alle punkter med samme afstand til et centrum

og den afstand svarer til radius.

Hvis dette er r og dette er centrum

så er cirklen alle de punkter, der ligger præcis r væk fra centrum.

Vi lærte tidligt i vores skolegang

at en cirkel er rund.

Ellipse ligner en sammentrykket cirkel.

Den kan se nogenlunde således ud.

Lad mig lave en ellipse i en anden farve.

Dette kan være en ellipse.

Sådan.

Den er svær at lave med dette værktøj,

men den kan også vendes eller drejes.

Men dette er en ellipse.

Cirkler er faktisk særlige ellipser.

Det er en elipse, hvor den ikke

er strukket mere i den ene retning end den anden.

Den har perfekt symmetri.

Parabel.

Den kender du, hvis du har gennemgået Algebra 2.

og det har du nok, hvis du er gået i gang med keglesnit.

Men en parabel

ligner et U og

du kender den klassiske parabe

Jeg vil ikke skrive ligningen her

Ah nu gør jeg det alligevel, da du jo nok
allerede kender den.

y = x².

Du kan flytte den og

du kan også have en parabel der gør således.

Det vil være x = y².

Du kan dreje dem,

men jeg tror du kender den almindelige facon af en parabel.

Vi skal snakke mere om, hvordan du afbilder den

eller, hvilke spændende punkter der er på en parabel.

Den sidste, som du måske har set før

er hyperblen.

Den ligner nærmest to parabler, men ikke helt

da kurverne ikke helt ligner U,

men er lidt mere åbne.

Men lad mig forklare hvad jeg mener med det.

En hyperbel ser typisk således ud.

Hvis dette er akserne, så kan jeg

tegne nogle asymptoter.

Det blev da meget godt.

De er asymptoter.

De er ikke hyperbler.

Men en hyperble ser nogenlunde således ud.

De vil være ret tæt på

asymptoten.

De kommer tættere og tættere på
de blå lnjer

og det samme sker her over.

grafen dukker op her og

så dukker den op herover

Denne i magenta kunne være en hyperbel,

den er ikke helt god.

En anden hyperbel kan være

en lodret hyperbel.

Det er ikke det rigtige ord,
men den ser nogenlunde således ud.

og asymptoterne er her.

Den ligger over asymptoten.

Den blå er en hyperbel og

den magenta er en anden hyperbel.

Det er forskellige grafer.

Der er en ting, jeg er sikker på du

gerne vil spørge om, hvorfor kaldes de keglesnit?

Hvorfor kaldes de ikke perbler elelr

forskelige typer af cirkler eller?

Som slet ikke er deres sammenhæng.

Det er ret tydeligt at der er en sammenhæng mellem cirkler og ellipser

s

En ellipse er en mast cirkel.

Og man kan måske sige at parabler og
hyperbler

måske hører sammen.

Dette er et P.

De har begge ple i ders navn

og de ligner lidt et U.

Selvom en hyperbel har to af disse åbninger

i forskellige retning, men de ser lidt ens ud.

Men hvad er sammenhængen mellem dem alle?

Det er her ordet kegle dukker op.

Lad mig prøve at tegne en kegle i tre dimensioner.

Dette er en kegle.

Dette er dens top.

Jeg kunne have lavet en ellipse her.

Sådan.

Den har faktisk ikke en top,

den bliver ved uendeligt i den retning.

Jeg har skåret i den, så du kan se, det er en kegle.

Dette vil være dens bund.

Lad os tage et plan og lave forskellige tværsnit.

af denne kegle og se, om vi kan

lave de forskellige figurer,
vi lige har snakker om

Hvis vi har et plan, der

er præcist vinkelret

til denne akse gennem keglen,

s

--lad mig se om jeg kan tegne det i tre dimenstioner--

Planet ser således ud.

Denne linje her er tættest på dig

og så er

der en anden linje her bagved.

Det er godt nok.

Og du ved at disse plan fortsætter uendeligt.

i alle retninger.

Hvis dette plan er vinkelret på denne akse

og dette er hvor planet går om bagved,

Så vil tværsnittet mellem planet og kengle

se således ud.

Vi ser på det fra en vinkle, men hvis du kigger lige ned,

oppe fra og ned,

s

Hvis jeg kunne dreje den så du

ser ligened

så er tværsnittet encirkel.

Hvis vi tager planet og hælder det en lille smule

så vil det se således ud.

Lad mig prøve at gøre det ordentlit.

Det vil

s

s

s

Det går således og

den anden side går her og jeg forbinder dem.

Dette er planet.

Nu er tværsnittet ikke længere

vinkelret på aksen,

af denne tre dimensionelle kegle.

s

s

s

På et tidspunkt vil vi bevise

at dette er korrekt.

Jeg vil i hvert fald gennemgå lignigenr

.

Tværsnittet vil se nogenlunde således ud.

Jeg tror du kan visualisere det.

Det vil se således ud.

Hvis du kiger lige ned på planet

hvis du er lige over planet og kigger ned

så vil du se denne figur

som jeg lige har tegnet i lilla

nemlig en ellipse.

s

Du kan se det er en ellipse.

Og hvis jeg hælder det den anden vej

så ville ellipsen gå den anden vej.

Men det fortæller dig hvorfor

begge sidde er keglesnit.

Men nu sker der noget meget spændende.

Hvis vi bliver ved med at hælde planet

omkring dette punkt

--lad mig se om jeg kan gøre det,

det er god øvelse af at tegne i 3 dimensioner.

Det vil se nogenlunde således ud.

Je går gennem dette punkt.

Og dette er mit 3D plan.

Jeg tegner det så det kun skærer

den nederste kegle og planet er parallelt

med den øverste kegle.

I dette tilfælde så vil tværsnittet

s

Du kan næsten se, at jeg tipper

planet over dette punkt og at tværsnitet

nu ser sledes ud.s.

s

s

Det vil blive ved med at gå nedad.

Hvis jeg tegner det såleds.

Hvis jeg er lige over planet

og vil du få en parabel.

s

Spændende.

Hvis du bliver ved med at vippe det,

så starter du med en cirkel, vipper lidt mere
så får du en ellipse

og du får en mere og mere udtalt ellipse.

og på et tidspunkt

så

kommer planet når du er præcis parallele

med den øverste kegles side

Jeg gør det temmelig upræcist men

jeg tror du kan forestille dig, at det sker.

Det kommer ud og det bliver en parabel.

s

Så det er sammenhængen.

En parabel er hvad, der sker, når ellipsen

en ende åbner sig.

Og vhis du vipper planet

-- og jeg bruger en anden farve

så det skærer begge sider af keglen

lad mig se om jeg kan tegne det,

Det er godt nok.

s

HVis mit plan

--det er svært at se --

det grønne plan o kegen

det er forhåbentlig til at overskue

så vil tværsnittet se såedes ud.

Det vil skære den nedster kegle

og den vil skære den øverste kelge.

Du får noget der ser nogenlunde således ud.

Det er tværniste af planetog den nedsete kegle.

Dette vil være tværnisttet af planet

og den øverste kele.

Husk planet fortsætter uendeligt i alle retninger.

SÅ dette er blot for at få en ide om

Hvad kegle snit er, og hvorfor de hedder det.

Sig til hvis det er for svært at se,

måske jeg så laver en bedre video.

Jeg kan måske finde et 3D program

der kan gøre det bedre.

Det er blot for at se, hvorfor de hedder keglesnit.

og hvilken sammenhæng, der er mellem dem.

Vi skal gå lidt mere i dybden matematik

i andre videoer.

I den næste video, nu da du ved hvad de er,

og hvorfor de hedder keglesnit,

kan jeg snakke om deres formler og hvordan

du genkender formlerne.

Og med en given formel, hvordan du afbilder dem

graferne for keglesnit.

Vi ses i næste video.