Introduktion til keglesnit

Sal introducerer de fire keglesnit og viser, hvordan de er afledt af tværsnit mellem en kegle og et plan.

I emnet keglesnit skal vi se på kegler - eller mere præcist deres tværsnit! Tværsnittene af en kegle danner flere interessante buede figurer - cirkler, ellipser, parabler og hyperbler. Brug afstandsformlen til at lære om sammenhængen mellem geometriske egenskaber ved figurerne til tallene i de algebraiske ligninger.

I kurset videregående geometri skal vi lære om transformationer, kongruens, ligedannethed, trigonometri, analytisk geometri og meget mere.

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Lad os prøve at lære en ting
eller to om keglesnit.

Først, hvad er de og
hvorfor de hedder keglesnit?

Du genkender nok nogle af dem

og lad mig lige skrive dem.

Det er cirklen, ellipsen, parablen
og hyperblen.

Du ved allerede, hvad disse er.

Da jeg først lærte om keglesnit,

viste jeg, hvad en cirkel var,
jeg viste, hvad en parabel var.

Jeg viste også lidt om
ellipser og hyperbler.

Men hvorfor er de dog kaldet keglesnit?

For at sige det enkelt,
fordi de er tværsnit

af en kegle, der skæres af et plan.

Jeg viser det om lidt.

Men inden jeg gør det,
så tegner jeg dem hver for sig.

Jeg skifter lige farve.

Cirkel - det ved vi alle, hvad er.

Jeg prøver lige at vælge en tykkere streg

En cirkel ser nogenlunde således ud.

Det er alle punkter med
samme afstand til et centrum

og den afstand svarer til radius.

Hvis dette er r og dette er centrum

så er cirklen alle de punkter,
der ligger præcis r væk fra centrum.

Vi lærte tidligt i vores skolegang,
at en cirkel er rund.

Ellipse ligner en sammentrykket cirkel.

Den kan se nogenlunde således ud.

Lad mig lave en ellipse i en anden farve.

Dette kan være en ellipse eller det her.

Det er svær at lave med dette værktøj,

men den kan også vendes eller drejes.

Dette er en ellipse.

Cirkler er faktisk særlige ellipser.

Det er en ellipse, der ikke er strakt
mere i den ene retning end den anden.

Den har perfekt symmetri.

Parabel.

Den kender du, hvis du har
været i gennem Algebra 2

og det har du nok,
hvis du er gået i gang med keglesnit.

Men en parabel ligner et U

og du kender den klassiske parabel.

Jeg vil ikke skrive ligningen.

Ah nu gør jeg det alligevel,
da du jo nok allerede kender den.

y = x².

Du kan flytte den og

du kan også have en parabel,
der gør sådan.

Det vil være x = y².

Du kan dreje dem,

men jeg tror du kender den
almindelige facon af en parabel.

Vi skal snakke mere om,
hvordan du afbilder den eller

hvilke spændende punkter,
der er på en parabel.

Den sidste, som du måske
har set før, er hyperblen.

Den ligner nærmest to parabler,
men ikke helt

da kurverne er mindre U-agtige,

men er lidt mere åbne.

Men lad mig forklare,
hvad jeg mener med det.

En hyperbel ser typisk således ud.

Hvis dette er akserne,
så kan jeg tegne nogle asymptoter,

der går gennem origo.

Disse er asymptoter,
ikke hyperblerne.

Men en hyperbel kan se
nogenlunde således ud.

Den vil være ret tæt på asymptoten.

Den kommer tættere og tættere
på de blå linjer.

Det samme sker her over.

Grafen er her og
så dukker den op derover.

Grafen i magenta kan være en hyperbel

Den er ikke helt god.

En anden hyperbel kan være
en lodret hyperbel.

Det er ikke det rigtige ord,
men den ser nogenlunde således ud.

Den ligger under asymptoten
og over asymptoten.

Den blå er en hyperbel og
den magenta er en anden hyperbel.

Det er forskellige grafer.

Der er en ting, jeg er sikker på,
du gerne vil spørge om.

Hvorfor kaldes de keglesnit?

Hvorfor kaldes de ikke perbler eller
cirkeltyper eller?

Hvad er sammenhængen mellem dem?

Det er ret tydeligt, at der er en
sammenhæng mellem cirkler og ellipser.

En ellipse er en mast cirkel.

Og man kan måske sige,
at parabler og hyperbler hører sammen.

De har begge "bel" i deres navn
og de ligner lidt et U.

Selvom en hyperbel har to af disse
åbninger i forskellige retning.

De ser lidt ens ud.

Hvad er sammenhængen mellem dem alle?

Det er her ordet kegle dukker op.

Lad mig prøve at tegne
en kegle i tre dimensioner.

Dette er dens top.

Jeg kunne have brugt en
ellipse for toppen.

Sådan.

Den har faktisk ikke en top.

Den bliver ved uendeligt i den retning.

Jeg har skåret i den,
så du kan se, det er en kegle.

Dette vil være dens bund.

Lad os tage et plan og
lave forskellige tværsnit

og se, om vi kan lave de forskellige
figurer, vi lige har snakket om.

Lad os sige, at dette er
den 3-dimensionelle kegles akse.

Lad mig tegne et plan i to dimensioner,
der er vinkelret på denne akse.

Planet vil se således ud.

Denne linje her er tættest på dig

og så er der en anden linje her bagved.

Det er godt nok.

Dette plan fortsætter uendeligt
i alle retninger.

Når dette plan er vinkelret på denne akse,

så vil tværsnittet mellem planet og keglen
vil se således ud.

Vi ser det fra en vinkel,
men hvis du kigger lige ned,

oppe fra og ned,

Hvis jeg kunne dreje det,
så du ser lige ned på planet,

så er tværsnittet en cirkel.

Lad os vippe planet en lille smule nedad.

Lad mig se,
om jeg kan tegne det ordentligt.

Det går således og

den anden side går her
og jeg forbinder dem.

Dette er planet.

Nu er skæringen ikke længere vinkelret

på aksen af den 3-dimensionelle kegle.

I andre videoer vil vi bevise,
at det jeg siger er korrekt.

Jeg vil i hvert fald gennemgå ligninger.

Tværsnittet vil se nogenlunde således ud.

Det vil se således ud.

Hvis du er lige over planet
og kigger lige ned,

så vil du se den figur,
som jeg tegner med lilla,

nemlig en ellipse.

Du kan se, det er en ellipse.

Og hvis jeg vipper planet den anden vej,

så vil ellipsen være mast den anden vej.

Nu kan du se,
hvorfor begge disse kaldes keglesnit.

Hvis vi bliver ved med at vippe planet,
så sker der noget meget spændende.

Dette er en god øvelse i
at tegne i tre dimensioner.

Det vil se nogenlunde således ud.

Jeg går gennem dette punkt.

Dette er mit 2D plan.

Jeg tegner det, så det kun skærer
den nederste kegle og er parallelt

med den øverste kegle.

Planet vil skære keglen i dette punkt,
som jeg vipper planet over.

Tværsnittet vil nu se således ud.

Det vil fortsætte nedad.

Hvis jeg tegner det,
når du er lige over planet

og vil du få en parabel.

Spændende.

Hvis du starter du med en cirkel

og vipper planet,
så får du en ellipse

og du får en mere og mere udtalt ellipse.

I et punkt åbnes ellipsen,

når planet bliver parallelt

med den øverste kegles side

Jeg gør det temmelig upræcist,

men jeg tror du kan se det.

Ellipsen åbnes og bliver en parabel.

Der er en sammenhæng.

En parabel er, hvad der sker,
når en ellipse åbnes i den ene ende.

Hvis du fortsætter med at vippe planet,

-- jeg bruger en anden farve --

så det skærer begge kegler.

Lad mig se, om jeg kan tegne det.

Det er godt nok.

Det er svært at se.

Vi ser på skæring mellem
det grønne plan og keglen.

Jeg burde tegne det hele igen.

Forhåbentlig bliver du ikke forvirret.

Tværsnittet ser således ud.

Det vil skære den nederste kegle her,

og det vil skære den øverste kegle der.

Dette er tværsnittet ved
den nederste kegle.

Dette er tværsnittet
ved den øverste kegle.

Husk planet fortsætter
uendeligt i alle retninger.

Dette er blot for at få en ide om,

hvad keglesnit er og
hvorfor de hedder det.

Måske jeg burde lave en bedre video.

Jeg kan måske finde et 3D program,
der kan gøre det bedre.

Dette er grunden til de hedder keglesnit
og at de hænger sammen.

Vi vil gå lidt mere i dybden
matematisk i andre videoer.

I den næste video,

nu da du ved hvad de er
og hvorfor de hedder keglesnit,

vil jeg snakke om deres formler

og hvordan du genkender formlerne

og hvordan du afbilder
graferne for keglesnit.

Vi ses i næste video.