Introduction to Conic Sections

Pojďme zjistit, zda se
nemůžeme naučit

něco o kuželosečkách.

Nejdříve ze všeho,
co jsou zač? A proč se jim

říká kuželosečky?

Nejspíše už některé
z nich znáte

a já je tu sepíšu.

Jsou to kružnice,
elipsa, parabola

a hyperbola.

Tady je ‚p‘.

Hyperbola.

A tyhle už znáte.

Když jsem je poprvé
viděl, říkám si,

že přece znám kružnici.

Vím, co je zač parabola.

A trochu přeci vím i o
elipsách a hyperbolách.

Proč se jim probůh
říká kuželosečky?

Prostě a jednoduše proto,
protože jsou průsečíkem

roviny a pláště kužele.

Za okamžik vám to nakreslím.

Ale ještě předtím by
docela dávalo smysl

nakreslit si je samotné.

Změním si barvy.

Kružnice, všichni víme, o co jde.

Podívám se, zda
mohu použít širší

linku pro své kruhy.

Kružnice tedy vypadá zhruba takto.

Všechny body kružnice
jsou od středu stejně vzdálené.

A tato vzdálenost ve
které leží se nazývá poloměr.

Pokud tohle je ‚r‘, a toto
je střed, kružnicí jsou potom

všechny body, které jsou od
středu vzdáleny o ‚r‘.

O kružnicích už jsme
se učili ve škole dříve,

doslova se kolem
nich točí svět.

Elipsa je, laicky řečeno,
zmáčknutá kružnice.

Mohla by vypadat třeba takto.

Udělám elipsu jinou barvou.

Takže elipsa by mohla vypadat takhle.

Například tahle.

Špatně se kreslí nástrojem
který používám,

ale taky se dá naklonit.

Toto je obecný tvar.

A kružnice jsou speciálním
typem elipsy.

Jsou to elipsy, které nejsou
v jednom směru natažené

víc než v jiném.

Je jaksi perfektně
symetrická ve všech směrech.

Parabola.

Už jste se o ní možná
učili v Algebře 2,

nebo pokud se zajímáte
o kuželosečky.

Jenže parabola, oddělím si
tady ostatní čarou,

parabola vypadá asi
takhle, ve tvaru U,

klasická parabola.

Nebudu se pouštět
do rovnic teď hned.

I když ano, protože
tohle už nejspíš znáte.

‚y‘ rovná se ‚x‘ na druhou.

Dále se dá posouvat,
proto můžeme mít dokonce

parabolu, která
vypadá takto.

‚x‘ se rovná ‚y‘ na druhou.

Tyto tvary se dají různě
otáčet, ale myslím že znáte

obecný tvar paraboly.

Povíme si více o tom,
jak se zanáší do grafu,

nebo které jsou
důležité body paraboly.

A na konec,
možná už jste ji viděli,

hyperbola.

Vypadá skoro jako
dvojice parabol, ale ne zcela,

protože křivky jsou
trošku méně do tvaru U

a trochu víc otevřené.

Vysvětlím vám, co tím myslím.

Takže hyperbola
obvykle vypadá takhle.

Pokud toto jsou osy,
tak tady nakreslím

asymptoty.

Snad se mi rovnou podaří...
To je celkem dobré.

To jsou asymptoty.

To ještě není
sama hyperbola.

Ale hyperbola by
vypadala nějak takto.

Je přímo tady a
musí být velmi

blízko asymptotě.

Přibližuje se blíž a
blíž k této modré lince

a na této straně také.

Graf se nám objeví tady
a křivky zase vyskočí zde.

Tato fialová by mohla
být jedna hyperbola.

Nebo by tu mohla
být jiná hyperbola,

řekli bychom vertikální.

Není to úplně přesné,
ale vypadala by

jako tady ta část
pod asymptotou.

A tady nad asymptotou.

Takže tahle modrá
je jedna hyperbola

a fialová je zase
jiná hyperbola.

Takže toto jsou
odlišné grafy.

Jsem si jistý, že se
právě ptáte na to,

proč se jim říká kuželosečky?

Proč se jim neříká
třeba boloidy,

nebo nějaké varianty
slova kruh?

A vlastně, jaký je
mezi nimi vztah?

Je celkem jasné, že
kružnice a elipsy

mají cosi společného.

Že elipsa je jenom
zmáčknutá kružnice.

A možná dokonce to
vypadá, že paraboly a hyperboly

mají něco společného.

Tady zase má být ‚p‘.

Obě mají v názvu ‚bola‘,
a obě mají tvar

otevřeného U.

Přestože hyperbola má
dvě části a více otevřené,

navíc různými směry,
jsou podobné.

Ale jaké je tedy
spojení mezi nimi?

Proto mají právě
v názvu kužel.

Podívejme se, zda dokážu
nakreslit trojrozměrný kužel.

Tohle je kužel.

Tady je vršek.

Mohl jsem nahoře nakreslit elipsu.

Tady to máme.

Vlastně nemá vršek.

Bude pokračovat do
nekonečna tímto směrem.

Kreslím jen výřez,
aby bylo vidět, že jde o kužel.

Tohle by byla spodní strana.

Pojďme najít různé
průniky roviny

s tímto kuželem a uvidíme,
zda se nám povede vytvořit

různé tvary, o nichž
jsme právě mluvili.

Pokud máme rovinu, která
je přímo... Řekněme, že toto

budou osy našeho
trojrozměrného kužele,

takže tady je osa.

Čili když máme rovinu,
která je kolmá na osu,

schválně jak ji nakreslím
v tomto 3D rozhraní,

ta rovina by vypadala takhle.

Takže se objeví nějaká křivka.

Tady je přední část, ta blíže nám,

bude mít i zadní část tady.

Přibližně tak.

A samozřejmě, jsou to
nekonečné roviny,

takže pokračují všemi směry.

Pokud je rovina přesně
kolmá na osu kužele,

rovina pokračuje tudy.

Průnik roviny a tohoto kuželu

bude vypadat následovně.

Díváme se na to pod úhlem,
ale pokud se podíváte

přímo shora, jako kdybyste
stáli přímo nad ní

a koukali na ni shora,

nebo kdybych ji mohl
převrátit, abychom se

mohli podívat přímo shora
na tuto rovinu, tak průnikem

bude kružnice.

Nyní pokud vezmeme rovinu
a malinko ji nakloníme,

tak aby vznikla
následující situace,

schválně jestli to zvládnu správně.

Máme tady situaci,
kdy... Jejda.

To vrátím zpět.

Upravit.

Vrátit.

Pokud vypadá takto
a zde je zadní strana

a já je propojím,

tady je ta rovina.

Nyní máme průnik roviny
a kuželu, který teď není

pod pravým úhlem,
resp. rovina není kolmá k ose

našeho trojrozměrného kuželu.

Pokud se podíváme na
průnik roviny a kuželu,

v příštích videích,
nikoliv v Algebře 2,

budeme řešit průniky
trojrozměrných

objektů a dokazovat,
jak skutečně vypadají.

Vyjde vám rovnice,
kterou vám ukážu

zanedlouho.

Průnik bude vypadat nějak takto.

Myslím, že teď už si ho představíte.

Vypadal by asi takhle.

A kdybyste se na něj
podívali přímo shora,

z úplného nadhledu,
vypadal by asi to,

co jsem tady nakreslil fialově,

vypadal by takto.

Nenakreslil jsem to dobře.

Byla by to elipsa.

Víte, jak vypadá elipsa.

A kdybych to natočil na
druhou stranu, elipsa by

byla nakloněná naopak.

To nám dává představu,
proč jsou tyto obojí

kuželosečky.

A nyní něco zajímavého.

Pokud nakloníme rovinu
ještě víc, až tak, že ji,

řekněme, nakláníme
kolem tohoto bodu,

nyní je naše rovina...
Uvidíme jak to půjde.

Je to hezké cvičení na kreslení v
třídimenzionálním prostoru.

Řekněme, že vypadá takto.

Chci, aby vedla tudy.

Toto je třídimenzionální rovina.

Kreslím ji takovou, aby
protla pouze tuto

spodní část kuželu a
byla rovnoběžná

se stěnou horního kužele.

V tomto případě se průnik
roviny a kužele

nachází přímo v tomto bodě.

Můžete vidět, že nakláním
rovinu okolo tohoto bodu,

v průniku roviny a kužele.

Nyní bude průnik vypadat

nějak takto.

Vypadal by asi tak.

A pokračoval by směrem dolů.

Takže když to nakreslím,
získáme následující.

Kdybych se díval na
rovinu shora

a chtěl ji nakreslit,

tak získáme parabolu.

To je zajímavé.

Když trošku nakláníme,
počínaje kružnicí

nakloníme více,
získáme elipsu.

Získáváme víc a víc
zešikmenou elipsu.

A od určitého místa
elipsa se stává čím dál

více šikmější.

Najednou se objeví,
když je rovina přesně

rovnoběžná se
stěnou kuželu.

Nyní to udělám velmi neexaktně,
ale chci, abyste

měli povědomí.

Objeví se tu a
je to parabola.

Takže vidíte parabolu.

To je to spojení.

Parabola se objeví, pokud
se jedna část elipsy dostane

přes okraj a máme parabolu.

A pak, pokud pokračujeme
s nakláněním,

použiji jinou barvu,
protne rovina obě

strany kuželu.

Schválně jak mi to vyjde...

Pokud je toto má nová
rovina... Jej.

To stačí.

Pokud naše rovina vypadá
takto, a já vím, že teď je to

těžké, a chceme znát
průnik roviny a kužele,

této zelené a kužele,
měl bych to překreslit,

ale snad to pro vás
není moc nepřehledné,

průnik vypadá právě takto.

Protne spodek kužele

a také vršek kužele tady.

A z toho nám vyjde
něco jako tohle.

Tady máme průnik
roviny a spodku kužele.

A tady bude průnik

roviny a vršku.

Opět, tato rovina pokračuje
neomezeně všemi směry.

Takže tady je základní
přehled kuželoseček

a důvod, proč jsou tak nazývány.

Dejte mi vědět, zda to
nebylo moc matoucí, udělám

další video, kde
vše překreslím úhledněji.

Možná zkusím nějakou
fajn 3D aplikaci,

která to zvládne lépe.

Toto je důvod, proč
se jim říká kuželosečky

a spojitost mezi nimi.

A bude to trochu
více matematické

v dalších videích.

Ale v dalším videu,
když už víte, co jsou zač,

a proč se jim tak říká,
budu mluvit o

jejich předpisech a
o tom, jak je rozpoznat.

A jak na základě předpisu nakreslit

graf dané kuželosečky.

Těším se v dalším videu.