Introduction to Conic Sections

Да видим дали можем да научим
1-2 неща за коничните сечения.

Първо, какво са те и защо

са наречени конични сечения?

Всъщност вероятно разпознаваш няколко от тях

и ще ги запишем.

Те са окръжността, елипсата, параболата

и хиперболата.

Това е п.

Хипербола.

И вече знаеш какви са тези.

Когато първо учех за конични сечения, си казвах:

"Знам какво е окръжност.

Знам какво е парабола."

И дори знам малко за елипси и хиперболи.

Защо се наричат конични сечения?

Да го кажем накратко, понеже те са пресичането

на една равнина и един конус.

Ще ти начертая това след малко.

Но преди да направя това,
вероятно е логично просто да

ги начертаем отделно.

Ще променя цветовете.

Окръжност, всички знаем какво е това.

Всъщност нека видя дали мога да избера по-дебел

писец за окръжностите ми.

Една окръжност изглежда като това.

Тя е всички точки,
които са равноотстоящи от даден център,

и това разстояние, на което са те, е радиусът.

Ако това е r и това е центърът,
окръжността е всички точки,

които са отдалечени от този център точно на разстояние r.

В началото на обучението си научихме какво е

окръжност; тя буквално кара света да се върти.

Елипсата, според Лайман,
е един вид смачкана окръжност.

Ще изглежда като това.

Нека направя елипса в друг цвят.

Една елипса би била ето така.

Може да е така.

По-трудно е да я начертая, използвайки устройствата за чертане, но може

да е наклонена и завъртяна наоколо.

Но като цяло е това.

Всъщност окръжностите са
специален случай на елипса.

Това е елипса, която не е разтеглена

от една страна повече, отколкото от друга.

Един вид перфектно симетрична от всяка страна.

Парабола.

Това го знаеш, ако учиш Алгебра II или

ако те интересуват коничните сечения.

Нека разделим нещата.

Една парабола изглежда подобно на това,

има формата на латинската буква U.

Няма да навлизам в уравненията.

Е, ще го направя, понеже вероятно това ти е познато.

Това е у = х^2

И после можеш да я преместиш наоколо и после дори можеш

да имаш парабола, която е като това.

Това ще е х = y^2

Можеш да завъртиш тези неща, но мисля, че знаеш

общата форма на една парабола.

Ще говорим повече за това как правиш графика
или как знаеш

кои всъщност са интересните точки на една парабола.

След това, последното, може би познаваш това

отпреди, е хипербола.

Тя почти изглежда като две параболи, но не съвсем,

понеже кривите изглеждат по-малко като U и

е малко по-отворена.

Но ще обясня какво имам предвид под това.

Една хипербола обикновено изглежда като това.

Ако това са осите, тогава ако трябва да начертая –

нека начертая малкоасимптоти.

Искам да премина точно през – това е доста добре.

Това са асимптоти.

Това не е реалната хипербола.

Но една хипербола ще изглежда като това.

Те ще са ето тук и доста се доближават

до асимптотите.

Те се доближават все повече и повече
до тези сини прави ето така

и се случва и от тази страна.

Графиките се показват тук горе и после ето тук

и се показват тук.

Това цикламеното може да е една хипербола, не съм

го направил напълно правилно.

Или друга хипербола може да е на, можеш да наречеш

това вертикална хипербола.

Това не е точната дума, но ще изглежда като това,

където е под асимптотата тук.

Това там е над асимптотата.

Тази синята ще е една хипербола и после

цикламената ще е друга хипербола.

Това са различни графики.

Едно нещо, което със сигурност се питаш, е защо

се наричат конични сечения.

Защо не се наричат боли или вариации на

окръжности или нещо подобно?

Всъщност това дори не беше връзката.

Доста е ясно, че окръжностите и елипсите

са някак свързани.

Че една елипса е просто притисната окръжност.

Може би дори изглежда, че параболите и хиперболите

са донякъде свързани.

Това отново е Р.

И двете имат "бола" в името си и двете донякъде

изглеждат като отворени U-та.

Въпреки че една хипербола има две от тези неща и

един вид се отваря в различни посоки, но те изглеждат свързани.

Но каква е връзката между всички тези?

И, честно казано, оттам идва думата "конични".

Да видим дали мога да начертая
един тримерен конус.

Това е конус.

Това е горната част.

Можех да използвам една елипса на върха.

Изглежда ето така.

Всъщност няма връх.

Може да продължи вечно в тази посока.

Просто го изрязвам малко, за да можеш да видиш, че това е конус.

Това може да е долната част.

Нека вземем различни пресичания
на една равнина с този конус

и да видим дали можем поне да създадем различните

форми, за които сега говорихме.

Ако имаме една равнина, която преминава директно – предполагам, ако наречеш

това осите на този тримерен конус –

това са осите.

Ако имаме една равнина, която е точно
перпендикулярна на тази ос –

да видим дали мога да го начертая в 3 измерения.

Равнината ще изглежда като това.

Ще има една права.

Това е предната права, която е по-близо до теб, и после ще

има още една права тук отзад.

Това е достатъчно близо.

Разбира се, знаеш, че това са безкрайни равнини,

така че това продължава във всяка посока.

Ако тази равнина е перпендикулярна на оста

на тези... това е където равнината преминава зад това.

Пресичането на тази равнина и този конус

ще изглежда като това.

Гледаме го под ъгъл, но ако гледаш

право надолу, ако седиш тук и гледаш

тази равнина – ако го гледаш отгоре...

Ако обърна това ето така, тоест

гледаме право надолу към тази равнина, това пресичане

ще е окръжност.

Ако вземем равнината и я наклоним леко надолу,

вместо това, ще имаме ситуация като тази.

Да видя дали мога да направя това правилно.

Имаме ситуация, при която – опа.

Нека редактирам това.

Където е като това и от другата страна,

и ги свързвам.

Това е равнината.

Пресичането на тази равнина, което сега не е

правоъгълно, нито перпендикулярно на оста на

този тримерен конус...

Ако вземеш пресичането на тази равнина и този конус –

и не правиш това в часовете по Алгебра II.

Но в крайна сметка ще направим един вид тримерно

пресичане и ще докажем, че това определено е така.

Определено получаваш уравненията,
които ще ти покажа

в близко бъдеще.

Това пресичане ще изглежда подобно на това.

Мисля, че сега можеш да го онагледиш.

Ще изглежда като това.

И ако погледнеш право надолу към тази равнина,

ако гледаш точно от над равнината, това ще изглежда –

тази фигура, която току-що начертах в лилаво –

ще изглежда подобно на това.

Не я начертах много добре.

Ще е елипса.

Знаеш как изглежда една елипса.

И ако я наклоня на другата страна,

елипсата ще се свие в другата посока.

Но това ти дава просто обща представа за това защо и

двете са конични сечения.

Сега следва нещо много интересно.

Ако продължим да накланяме тази равнина,
ако наклоним равнината така,

че това е – да кажем, че въртим около тази точка.

Сега моята равнина –
да видим дали мога да направя това.

Това е добро упражнение за тримерно чертане.

Да кажем, че изглежда като това.

Искам да премина през тази точка.

Това е тримерната ми равнина.

Чертая я по начин, че просто да пресича

този долен конус, а повърхността на равнината е

успоредна на страната на този горен конус.

В този случай пресичането на равнината с конуса

ще е точно в тази точка.

Можеш да гледаш на това,
все едно въртя около тази точка,

при пресичането на тази точка и правата и конуса.

Сега това, пресичането, ще изглежда

като това.

Ще изглежда ето така.

И ще продължи надолу.

Ако го начертая, то ще изглежда ето така.

Ако бях точно над равнината, ако

трябваше просто да начертая равнината.

И тук получаваш параболата си.

Това е интересно.

Ако продължиш да накланяш – ако започнеш с

една окръжност, наклониш малко,
получаваш елипса.

Получаваш все по-притисната елипса.

Елипсата продължава да става по-притисната и по-притисната, ето така.

И в един момент един вид изскача,

точно когато става успоредна
на страната на този горен конус.

Правя всичко това по-много неточен начин сега, но

искам да ти покажа логиката.

Изскача и се превръща в парабола.

Така че можеш да гледаш на параболата

чрез тази връзка.

Парабола е това, което се случва,
когато една страна на една елипса

се отвори и получаваш тази парабола.

И после, ако продължиш да накланяш тази равнина и ще го направя

друг цвят – така че да пресича

и двете страни на конуса.

Нека видя дали мога да начертая това.

Това е новата ми равнина – опа.

Това е достатъчно добре.

Ако равнината ми изглежда ето така –
знам, че е много трудно

да различаваш това вече –
и ако искаш пресичането на тази равнина,

тази зелена равнина и конуса –

вероятно трябва да начертая отново всичко това,

но се надявам, че не те обърквам
прекалено много –

пресичането ще изглежда ето така.

Ще пресича долния конус тук

и ще пресича горния конус ето тук.

И после ще имаш нещо такова.

Това ще е пресичане на равнината и долния конус.

И после тук горе ще е пресичането на

равнината и горния конус.

Помни, тази равнина продължава
до безкрайност във всяка посока.

Това е просто обща представа за това
какво са коничните сечения

и защо са наречени конични сечения.

Кажи ми, ако това стана объркващо,

понеже може би ще направя друго видео,

където ще го начертая отново малко по-ясно.

Може би мога да намеря добро 3D приложение,

което може да го направи по-добре от мен.

Това е причината всички те да са

конични сечения и
как всъщност са свързани едно с друго.

И ще направя това малко по-математически задълбочено

след няколко видеа.

Но в следващото видео, сега след като знаеш какво са те

и защо се наричат конични сечения, ще говоря

за формулите за тези и как разпознаваш формулите.

И при дадена формула как можеш да направиш графиките

на тези конични сечения.

Ще се видим в следващото видео.