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이차식 x² - 2x - 8 = 0을
풀어 봅시다
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지금 밖에서 나무를
자르고 있어서
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소음이 조금 들릴 수도 있어요
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다시 문제로
돌아가 봅시다
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이 문제는 여러 가지
방법으로 풀 수 있어요
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좌변을 인수분해 해서
풀 수도 있지만
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지금은 완전제곱꼴을
사용해서 풀어볼 거예요
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이는 식의 좌변을
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(x + a)² + b꼴로
만들어서
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푼다는 의미에요
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식의 좌변을 이 꼴로
만들어서 풀어 봅시다
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이차식의 좌변을
어떻게 바꿔야
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오른쪽 식과 같은 꼴이
될 수 있을까요?
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먼저 (x + a)² + b를
전개해보면
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x² + 2ax + a² + b가
될 것입니다
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이차식을 x² + 2ax + a² + b꼴로
써 봅시다
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먼저 완전제곱꼴을 만들 때
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일반적으로 사용하는
방법으로 해 볼게요
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x² - 2x와 -8 사이에
공간을 만들겠습니다
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그리고 또 공간을 띄워서
식을 완성해 줍니다
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이차식을 오른쪽 식의
꼴로 만들기 위해
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이차식의 공간을 띄워서
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어떤 수를 더하고
빼줄 거예요
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각 항을 비교해 봅시다
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먼저 왼쪽 식과
오른쪽 식에 x²이 있죠
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오른쪽 식에는 2ax가 있고
왼쪽 식에는 -2x가 있습니다
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-2x가 2ax라면
2a는 -2가 되겠죠
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2a = -2이므로
a = -1입니다
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또는 a의 값은 x항의
계수의 절반이므로
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x항의 계수는 -2이고
그 절반은 -1이 됩니다
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이제 a²을 구해 봅시다
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a가 -1이라면
a²은 1이 될 것입니다
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여기에 1을 써 줄게요
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하지만 이렇게 식의 한 변에만
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어떤 수를 더하거나 빼주면
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식이 성립하지 않기 때문에
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식이 참이 되도록 하려면
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양변에 똑같은 계산을
해줘야 합니다
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그러므로 식의 좌변에
1을 더했다면
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우변에도 1을
더해줘야 합니다
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또는 좌변에서 1을
더하고 빼주면
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방정식의 값이
변하지 않을 거예요
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그러므로 식의 좌변에
1을 더하고 빼 보겠습니다
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이렇게 같은 수를
더하고 빼주면
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식의 값은
변하지 않습니다
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하지만 좌변의 이 부분은
이 형식과 완전히 일치합니다
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x²이 있고
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2ax에서 a는 -1이므로
-2x가 되며
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a²은 (-1)²이므로
1이 됩니다
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그리고 남은 부분은
-8 - 1은 b가 됩니다
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-8 -1 = -9이므로
b는 -9가 됩니다
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초록색으로 표시한 부분을
(x + a)²꼴로 다시 쓰면
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a가 -1이므로
(x + -1)²이 됩니다
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x + -1은 x -1과 같으므로
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(x - 1)²으로
쓸 수도 있어요
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그리고 -9를 써주면
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(x - 1)² - 9 = 0이 됩니다
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여기에서 양변에
9를 더해주면
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좌변에는 완전제곱꼴만
남겠죠
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양변에 9를 더해주면
어떻게 될까요?
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식의 좌변은
9끼리 소거되어서
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(x - 1)²만 남습니다
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식의 우변을 계산해주면
0 + 9 = 9가 되죠
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따라서 식은
(x - 1)² = 9가 됩니다
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어떤 수의 제곱이
9와 같다면
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그 어떤 수는 9의 양
또는 음의 제곱근이 됩니다
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그러므로 x - 1은
3 또는 -3이 될 거예요
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x - 1 = 3 또는
x - 1 = -3이라고 했을 때
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x - 1은 3이므로
제곱하면 9가 되고
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x - 1이 -3일 때도
제곱하면 9가 됩니다
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x - 1 = 3의 양변에
1을 더해주면
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x = 4가 됩니다
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그리고 x - 1 = -3에
1을 더해주면
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-3 + 1 = -2이므로
x = -2가 됩니다
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따라서 x는 4 또는
-2가 될 수 있습니다
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인수분해를 이용해
풀어도 됐을텐데
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왜 완전제곱꼴을 이용해서
풀었을까요?
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완전제곱꼴을 이용하면
모든 문제에 적용할 수 있어요
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나중에 이차방정식의
근의 공식에 대해 배울텐데
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이것이 완전제곱꼴에서
나왔다는 것을 알 수 있을 거예요
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근의 공식을
적용하는 것은
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완전제곱꼴을 만드는 것과
같습니다
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끝났습니다
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