Divergência 3

Analisando um campo vetorial utilizando a sua divergência.

Agora vamos fazer um exemplo um pouco mais sofisticado, então vamos tentar

analisar o campo vetorial.

E, espero, isto vai fazer tudo um pouco

mais tangível.

Então, vamos dizer que a velocidade do fluido, ou das partículas

no fluido, em qualquer ponto no plano x-y,

digamos que na direção x, é x ao quadrado, x ao quadrado menos 3x

mais 2 na na direção x , mais y ao quadrado menos 3y mais 2

na direção y.

Torná-lo simples de modo que só teremos uma coisa a fatorar.

Então vamos fazer as contas primeiro.

Vamos descobrir a divergência do nosso campo vetorial,

a divergência do nosso campo.

E vou lhes mostrar em breve um gráfico deste campo, por isso vamos

ter uma ideia melhor de como ele realmente se parece, em vez de

meus desenhos não-tão-precisos.

Então, qual é a divergência?

Nós calculamos a derivada parcial da componente-x

em relação a x.

Então, é isso, como há apenas uma variável-x, então não

precisamos nos preocupar em manter y ou z constante.

É apenas a derivada desta expressão

com relação a x.

Então é 2x menos 3.

E então, a adicionamos à derivada parcial do

componente-y, ou a função-y, com respeito a y.

Só existem y's na componente-y, de modo que apenas

calculamos a derivada em relação a y.

Então é mais 2y menos 3.

Ou podemos apenas dizer que a divergência de v, em qualquer ponto

xy, então esta é uma função de x e y, é 2x mais 2y menos 3.

Agora, antes de eu lhes mostrar o gráfico, vamos analisar esta

função um pouco.

Primeiramente, vamos apenas olhar para o campo vetorial original,

e analisar quando é que esse campo vetorial tem alguns

pontos interessantes?

Bem, acho que alguns pontos interessantes são quando um dos componentes, x

ou y, são iguais a 0.

Então, quando é que o componente-x fica igual a 0?

Bem, se nós fatorarmos o componente-x, é a

mesma coisa que, poderíamos reescrever o nosso campo vetorial.

Se apenas fatorarmos isso, que é x menos 1 vezes x menos

2i mais, e o polinômio é o mesmo, apenas com y, para

o componente-y, então y menos 1 vezes y menos 2 vezes j.

Assim, o componente-x é 0 quando x é igual a 1, estas são apenas

as raízes deste polinômio, quando x é igual

a 1 ou 2, certo?

E o componente-y é 0 quando y é igual a 1 ou 2.

E eles são ambos iguais a 0, se tivermos qualquer combinação

desses pontos.

Assim, os pontos onde eles são ambos iguais a 0 são 1, 1, x

é 1, y é 2, certo, porque então os dois componentes

são 0, 2, 1 ou 2, 2.

Portanto, estes são os pontos onde a magnitude da velocidade

do nosso fluido, ou das partículas no fluido, são 0.

E nós vamos ver ist em nosso gráfico, em um segundo.

E deixe-me fazer outra pergunta.

Em que pontos são, bem, vamos primeiro decidir, em que ponto

a divergência é igual a 0?

Digamos, em que ponto existe uma divergência igual a 0.

Deixe-me limpar algum espaço.

Acho que posso apagar isso.

Nós temos os nossos pontos, descobrimos para quais cordenadas a magnitude do campo vetorial é 0.

magnitude do campo vetorial é 0.

Então, vamos tentar descobrir quando a que a divergência é

igual a 0?

Isto é a divergência.

Então, se vamos definir que é igual a 0, 2x mais 2y, 2x

mais 2y, oh, desculpe.

Você sabe quê, isso é 2x menos 3 mais 2y menos 3.

Então isso é menos 6, certo?

Menos 3 menos 3, é menos 6.

Esta é minha maior deficiência, somar e diminuir.

De qualquer forma, a divergência.

2x mais 2y, menos 6.

E nós queremos saber, quando isto de iguala a 0?

Então vamos fazê-la igual a 0.

E nóspodemos simplificar isto um pouco.

Nós podemos dividir ambos os lados da equação por 2, e você terá que x

mais y menos 3 é igual a 0.

E então obter x mais y igual a 3.

Nós podemos terminar aí, ou podemos simplesmente colocá-lo em nossa

forma tradicional mx mais b, que é a maneira que acho

mais fácil de visualizar uma linha.

Podemos dizer que y é igual a 3 menos x.

Assim, ao longo desta linha, a divergência do campo vetorial

v é igual a 0, enquanto a linha y for igual a 3 menos x.

E se estivermos acima dessa linha, a divergência vai ser

positiva, certo, porque se você acabou de transformar isto num sinal de maior que,

haveria um transporte.

Você teria que y é maior do que 3-x.

Assim, y maior do que 3-x, a divergência é positiva.

E, se y é menor que 3 menos x, a divergência é negativa.

E você pode apenas transformar isto em um sinal de menor que, em seguida resolver, e

você terá que y é menor que 3-x, você quer saber quando

a divergência é negativa.

Então eu acho que já fizemos todas as análises possíveis.

Então vamos dar uma olhada no gráfico para ver se ele é

consistente com a nossa intuição do que seja uma divergência

e os números encontrados.

Espero que você possa ver isso.

Então este é o campo vetorial.

Eu não tenho espaço para mostrá-lo, mas eu acho que você se lembra, este

é, você sabe, x ao quadrado menos 3x mais 2.

Esta é a definição do nosso campo vetorial.

Apresentado graficamente aqui.

E descobrimos, nós descobrimos que quando os

componentes-x e componentes-y são iguais a 0,

e então dissemos, quando são ambos iguais a 0?

E nós dissemos, oh, bem no ponto 1, 1.

Bem, este é o ponto de 1, 1, e as magnitudes dos

vetores são 0 nesse ponto.

E, na verdade, eu poderia ampliar um pouco.

Bem por aqui, eles todos apontam para dentro, mas ficam

cada vez menores à medida que se aproximam do ponto 1, 1, certo?

Também disse isso para o ponto 1, 2. x é 1, y é 2.

E aqui, também, vemos a magnitude dos vetores

ficar muito, muito, muito pequena.

Podemos ampliar novamente.

E vemos que a magnitude fica muito pequena.

O outro ponto, 2, 1, mais uma vez, vemos que a magnitude

fica pequena, e então 2, 2.

Então, isso é consistente com o que descobrimos, que o campo

vetorial fica muito pequeno nestes pontos.

E a outra coisa interessante que disse, OK, quando é que

a divergência se iguala a 0?

Bem, a divergência se igualou a 0 ao longo da linha y

igual a 3 menos x.

Assim, a linha y igual a 3 menos x começa, a intercepção do eixo-y

vai ser 3, e vai vir para baixo bem assim.

Certo?

Então, qualquer coisa, em qualquer ponto ao longo dessa linha,

a divergência é 0.

E se nós realmente olharmos para o gráfico, faz sentido.

Eu não posso desenhar neste gráfico, mas, se desenharmos um círculo

bem aqui, vamos supor um círculo sobre isso, a linha y

igual a 3 menos x, veríamos, em um determinado período de

tempo, que um mesmo número de partículas estão entrando através do canto superior

direito e saindo pelo canto inferior esquerdo, certo?

Um monte entrando pelo canto superior direito e um monte saindo

pela parte inferior esquerda.

E os vetores, no entanto, são a mesma coisa.

E se formos ao fundo, se formos aqui sobre a linha,

parece que talvez haja menos entrando, mas

também há menos saindo.

Eu sei que é difícil ver, mas em qualquer lugar ao longo da linha,

você vê as mesmas quantidades entrando e saindo.

E é por isso que a divergência é 0.

Agora, vamos olhar para alguns dos outros pontos.

Aqui em cima, descobrimos que a divergência é positiva.

E isso faz [ininteligível]

um ponto qualquer.

Se fossemos desenhar um círculo em torno desse ponto, vemos os vetores

no lado esquerdo do círculo que você não pode ver,

porque eu não posso desenhar nesse gráfico

Mas, na verdade, vamos imaginar esse quadrado.

Imagine que o quadrado é a minha região, certo?

Este, bem aqui.

Olhando esse quadrado, vemos que os vetores no

lado esquerdo são maiores, que os vetores que saem são maiores do que

os vetores que entram, certo?

Então, se, num determinado período de tempo, saem mais do que

entram, então eu estou me tornando menos denso, ou você poderia dizer

que as partículas estão divergindo.

E isso faz sentido, porque eu tenho uma divergência positiva.

E se formos aqui, onde a divergência é negativa, vamos

escolher um ponto qualquer.

Vamos dizer este quadrado bem aqui.

Vemos que os vetores que entram nele, a magnitude dos

vetores que entram nele, são maiores do que a magnitude dos

vetores que saem dele.

Então, em qualquer determinado período de tempo, mais está entrando do que saindo.

Então, está ficando mais denso, ou estão convergindo.

Então divergência negativa, você pode vê-la como ficando mais denso,

ou estão realmente convergindo.

Na verdade, algo interessante está acontecendo

nestes dois pontos.

Então dissemos que no ponto 2, 1, vemos que na

direção-y eles estão na verdade convergindo, certo?

Acima de y igual a 1, os vetores apontam para baixo,

e abaixo os vetores apontam para cima, certo?

Assim, na direção-y, na verdade estamos convergindo, ou

temos uma divergência negativa.

As coisas estão entrando em qualquer ponto.

Mas na direção-x, as coisas estão sendo empurradas para fora, certo?

Assim, a razão pela qual temos divergência é 0 nesse ponto, você pode

ter partículas que entrando acima e abaixo de um determinado espaço, mas

você tem a mesma quantidade de partículas saindo à esquerda

e à direita.

Então é como se as partículas estivessem sendo desviadas para fora.

Assim, num balanço entre ambas as dimensões, você não tem

aumento ou diminuição da densidade ao longo da linha y

igual a 3 menos x.

E antes que eu fique sem tempo, eu só quero reforçar com você a

intuição básica do porque a divergência é positiva, e porque

isso significa que as coisas estão fluindo para fora, quando a taxa

de mudança é positiva.

Então nós dissemos que a divergência é positiva.

Digamos que neste local, certo?

Portanto, faz sentido, se as nossas derivadas parciais são

positivas, isto significa que a magnitude do nosso vetor está

ficando maior e cada vez maior para valores maiores dos nossos

x e y, certo?

Portanto, se a magnitude dos nossos vetores são cada vez maiores

para valores maiores de x e y, os vetores da

direita vão ter uma maior magnitude do que os

vetores do lado esquerdo.

Eles estão aumentando em magnitude.

E por isso, se eu fosse desenhar uma fronteira, mais iria

estar saindo do direito do que entrando na esquerda.

E assim você tem uma divergência positiva, ou você está

se tronando menos denso.

De qualquer forma, espero não ter confundido você demais,

mas fiquei sem tempo mais uma vez.

Te vejo no próximo vídeo.