Scientific Notation

Не секрет,що коли Ви будете мати справу з

будь-яким видом науки,Вам доведеться зіткнутися з великими числами.

Немає різниці,чи буде це біологія,хімія або

фізика,числа всеодно присутні.

В багатьох випадках числа великі.

Дуже,дуже великі числа.

Занадто великі числа або дуже,дуже малі

числа,дуже малі.

Ви можете уявити собі дуже велике число.

Якби я запитав Вас:"Скільки атомів є

у тілі людини?"

Або скільки клітин міститься у тілі людини?

Яка маса Землі у кілограмах?

Це вийшли б дуже великі числа.

А якщо б я запитав Вас масу

електрона,то було б дуже,дуже мале число.

Тож при будь-якому типі науки Вам доведеться зустрітися з цим.

Як приклад,дозвольте мені показати Вам один з найбільш уживаних

чисел,які ви побачите,особливо під час хімії,також відоме

як стала Авогадро.

Стала Авогадро.

І якщо б я написав це у звичайний спосіб

запису чисел,воно було б буквально записане,візьмемо

новий колір,як 6 0 2 2 і потім

ще 20 нулів.

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

11,12,13,14,15.16

17,18,19.20.

І навіть якщо б я поставив тут декілька ком ,

воно б не допомогло б покращити ситуацію і зробити число

більш читабельним.

Дозвольте мені поставити пару ком тут.

Це й досі велике число,і якщо б я,ви знаєте,повинен був

написати це на шматку паперу,або я друкував

щось на папері,використовуючи число Авогадро,це б

зайняло все моє життя .

І навіть більше,важко помітити якщо я забув

написати нуль чи я,можливо,написав занадто багато нулів.

У цьому і полягає проблема.

Чи є кращий спосіб записати це?

Чи є кращий спосіб записати це,

ніж отак?

Написати буквально шість з послідуючими 23-ма цифрами

або 6 0 2 2 з двадцятьма нулями.

Щоб відповісти на це питання,у тому випадку,якщо Ви допитливі,

число Авогадро,якщо у Вас є 12 грам Карбону,

особливо дванадцять грам Карбону-12,це буде

кількість атомів у ньому.

І,Ви знаєте,ці 12 грам будуть як 1/50 фунта.

Це дає нам змогу зрозуміти,скільки атомів знаходиться

навколо в будь-який момент часу.

Це величезне число.

Ціль тут не навчити Вас основам хімії.

Мета:проговорити про простіший спосіб написання цього.

І простіший спосіб написання цих чисел ми називаємо

науковою нотацією.

Наукова нотація.

Запамʼятайте мої слова,навіть коли б це було трохи

неприродньо для Вас,це справді простіший спосіб написання речей,

схожих на ці.

Тому дозвольте мені,перед тим як я покажу Вам як це відбувається

Дозвольте показати основну теорію перед науковою нотацією.

Якщо б я запитав Вас ,чому дорівнює 10 у степені 0?

Ми знаємо,що воно дорівнює 1.

А скільки буде 10 у степені 1?

Число буде рівне десяти.

Скільки ж буде 10 у квадраті (у степені 2)?

Це 10 разів по 10,отже число 100.

Скільки 10 у кубі (у степені 3)?

Це добуток 10 на 10 на 10,що

дорівнює 1000.

Я думаю, Ви зрозуміли основний принцип .

10 у степені 0 не має нулів.

Без нулів ,вірно?

10 у степені 1 має 1 0.

10 у степені 2 ,я збирався сказати "подвійна" степінь (сміх).

10 у степені 2 має два нулі ,10 у

степені 3 має 3 нулі.

Не хочеться витрачати даремно час, але я гадаю,що

Ви тепер маєте уявлення про це.

Три нулі.

Якби я збирався піднести число 10 до степені 100,

який вигляд мало б число?

Не думаю,що потрібно тут його розписувати,але це було б

число 1 із 100 нулями.

Тож вийшла б велика купа нулів.

Отже,підрахувавши всі нулі,ми б отримали

у цілому 100 нулів.

Дійсно,це могло б бути цікаво зі сторони.

Ви можете знати або не знати назву цього числа.

Число має назву: ГУГОЛ.

Гугол.

На початку 90-х ,як хтось дав йому назву,

як ви вже знаєте,гугол,у даному розумінні не

пошукова система,а число 10

у степені 100.

Яке являєтья дуже великим.

Це,звичайно, більше ніж кількість атомів,що

установлена у відомому Всесвіті.

У цілому Всесвіті.

Я маю на увазі,Ви знаєте,зʼявляється питання,що

ще можна звідси взяти?

Але,знаєте,нещодавно я вичитав,

якщо я памʼятаю правильно,у цілому Всесвіті атомів міститься

приблизно 10 у 79 або 81 степені.

Але це ,звичайно,не точне число.

Ніхто насправді не може це вирахувати.

Люди просто визначили так,або навіть

краще сказати - здогадались.

Але це,все ж таки,величезне число.

Можливо,навіть буде цікавіше Вам,це число було

мотиваціонним імʼям відомої пошукової

системи Google.

Гугол через "ол"

І я не знаю,чому вони назвали цю систему Google.

Можливо,вони мають таке доменне імʼя,або вони хочуть

вміщати багато інформації.

Напевно,безліч байтів інформації,або

це просто класне слово.

Як би там не було,можливо,це було

улюлене число засновника компанії.

Проте це класна річ,ви знаєте.

У будь-якому разі я відійшов від теми.

Отже,гугол лише 1 із 100 нулями.

Але я міг би записати,що це рівно 10 у степені 100.

Тепер Ви знаєте простіший шлях ,

простіший шлях запису цих чисел.

Це легше.

Насправді,дуже складно записати те,що ніколи б

не викликало проблем із записом.

Але б воно зайняло все моє життя.

Це були тільки 20 нулів.

Сто нулів,мені б довелося заповнити весь екран і

Вам було б нудно,тому я навіть не буду писати.

Отже,це легший запис.

Тож як бачите,приклад із

степенями числа 10 дуже вдалий.

Але як можна записати щось,що не

повʼязане із степенем числа 10?

Але як ми можемо спростити це число ?

Ми як-небудь можемо спростувати його?

Щоб зробити це,Вам потрібно дещо усвідомити.

Це число(х2),ми запишемо його так.

Скільки цифр ми маємо:1,2,

3,та інші 20 нулів.

Отже,23 числа після шести,вірно?

23 числа після шести.

Що трапиться,якщо я додам до нього

степінь числа 10.

Тож що буде колия піднесу число 10 до 23 степені?

З цим пурпурним кольором.

Десять у двадцять третій степені.

Чому воно дорівнює?

Дорівнює 1 із 23 нулями.

Тоді 1,2,3,4,5,6,7,8,9.10,

11,12.13,14,15,16,

17,18.19.20,21,

22,23.

Ви зрозуміли.

Це 10 у степені 23.

Тепер ми можемо записати число Авогадро таким чином?

Тому що коли ми помножимо це число на 6,

якщо ми помножимо 6 на 10 у степені 23,що вийде?

Ми отримаємо 6 з 23 нулями.

Ми маємо 6 і далі вже 23 нулі.

Дозвольте мені записати це.

Ви отримаєте 23 нулі ,на зразок цього.

Тому що все,що я зробив,я взяв це число 6 разів, Ви знаєте як

множити, тож ми помножили 1 на 6 ,і ми отримали 6,

з послідуючими нулями .

Добре,ми отримали 6 з наступними 23-ома нулями.

Це доволі таки корисно.

Але й досі ми не отримали число,схоже на те.

Я маю на увазі,що тут є декілька двійок.

Як можемо ми зробити число більш схожим?

А якщо ми запишемо його десятковим дробом?

Це число(х2) ідентичне цьому числу.

якщо б ці двійки були нулями.

Проте якщо ми хочемо поставити ці двійки сюди,

що потрібно робити?

Ми запишемо число через десятковий дріб.

Можемо сказати,що це так само як і 6.022,

помножене на 10 у степені 23.

І,як бачимо,зараз число ідентичне до цього,

але це набагато легший шлях запису.

Ви могли б перевірити ,якщо хочете.

Це займе багато часу.

Можливо спочатку ми повинні зробити це з меншими числами.

Помноживши 6.022 на 10 у 23 степені,

Ви отримаете точно таке значення

Ви отримаєте число Авогадро.

Сталу Авогадро.

І незважаючи на те,що воно заплутане,або виглядає

трохи незвичним для Вас способом.

Це було лише число,яке ми виписали.

Воно має множення і 10 у певній степені.

Ви скажете,що це не дуже й легко.

Але воно справді легше.

Тому що Ви відразу знаєте,скільки там нулів.

І це,очевидно, набагато коротший шлях

запису чисел.

Давайте розглянемо ще пару прикладів.

Я почав із числа Авогадро,тому що

воно справді показує потребу у науковій нотації,

і Вам не доведеться переписувати ті великі числа по декілька разів.

Зробімо ще пару прикладів.

Ми лише запишемо їх у науковій нотації.

Скажемо,у мене є число,

у мене є число 7345.

Я хочу записати його науковою нотацією.

Я допускаю,що найкращий шлях продумати це...

Добре,я написав ось тут.

10 у степені 3 = 1000.

Ми вже знаємо,що 10 у кубі дорівнює 1000.

По суті найбільша степінь числа 10,що

може поміститися у даному числі.

Це 7000.

Сім тисяч ,далі йде 0.3 тисячі,

а потім 0.04 тисячних.

Не впевнений,що це допоможе Вам.

Ми можемо записати це як 7.345,помножене на 10 у степені 3.

Воно буде мати вигляд,як 7000 та 0.3 тисячних.

Скільки буде 0.3 х 1000?

0.3 х 1000 = 300.

Скільки буде 0.04 на 1000?

40.

Скільки буде 0.005 на 1000?

5.

Тож 7.345 помножити на 1.000 дорівнює 7345.

Давайте порахуємо в стовпчик,щоб все стало зрозуміло.

Я взяв 7.345 та помножив на 1000.

Я роблю це,не беручи до уваги нулі.

По суті я множу 1 на те число(7.345).

У мене виходить 7 3 4 5 та ще три нулі.

Я записую їх у кінці.

Я ще маю три місця для того,щоб поставити крапку.

Один,два,три.

Один,два,три,ставимо крапку.

І ось,у Вас вийшло.

7.345 помножити на 1000 дійсно дорівнює 7345.

Давайте ще декілька прикладів.

Скажемо,ми хотіли записати число 6 у

науковій нотації.

Очевидно,що тут нема потреби застосовувати наукову нотацію,

проте як би Ви виконали це?

Яка найбільша степінь числа 10 міститься у числі 6?

Найбільша степінь 10 ,що міститься у числі 6 - це 1.

Ми можемо записати,якесь число помножити на 10 у степені 0.

Буде 1,вірно?

Так,1.

Скільки буде 6 на 1?

Буде 6.

Тоді шість дорівнює добутку числа 6 на 10 у степені 0.

Вам не потрібно записувати число таким чином.

Це простіше.

А зараз,що коли ми хочемо зобразити щось таким чином?

На початку відео я зазначив,що в тому разі,коли Ви маєте діло

з наукою,Ви зустрінетеся з величезними і малими числами.

Скажемо,Ви маєте число,беремо інший колір...

У Вас 1,2,3,4 і потім 5,

Ви маєте пʼять нулів,після яких йде 7.

Ще раз повторюю, з цим числом важко буде впоратися.

Яка найбільша степінь числа 10,що міститься тут?

Це число взагалі подільне?

Давайте подумаємо.

Всі степені числа 10 ,що ми виконували до цього були

позитивними,інакше кажучи,мали позитивну степінь числа 10.

Ми також можемо використати негативну степінь числа 10.

10 у степені 0 дорівнює 1.

Почнемо звідси.

10 у степені -1 дорівнює 1/10,що дорівнює 0.1.

Міняю колір на рожевий.

10 у степені -2 дорівнює 1/10 у степені 2,що дорівнює

1/100,інакше пишучи 0.01. Я гадаю,

Ви зрозуміли основний принцип.

Дозвольте мені показати Вам ще один приклад,і Ви нарешті все зрозумієте.

10 у степені -3.

Дорівнює 1/10 у степені 3,що

також дорівнює 1/1000,що також дорівнює 0.001.

Основний принцип тут такий,що 10 у негативному степені,

число степеня буде кількістю чисел перед

десятковим дробом.

Тож це не число нулів.

Ось тут,10 у степені -3 ,Ви маєте лише два нулі ,але у Вас є

три числа після крапки.

Яка найбільша степінь числа 10,що поміщається у даному числі?

Скільки чисел після крапки

у нас є?

Один,два,три.чотири,п’ять,шість.

10 у степені -6 буде мати такий вигляд:крапка,за якою

слідують шість чисел,остання з яких

буде одиницею.

Ми маємо п’ять нулів і одиницю.

Це 10 у степені -6.

Щоб отримати це число,потрібно взяти дане число 7 разів.

Якщо ми помножимо його на 7,отримаємо одиницю сім разів,

тоді ми матимемо шість чисел

після крапки.

1,2,3,4,5,6.

Добуток цього числа на 7 повністю дорівнює числу,

з якого ми починали.

Тож ми можемо переписати це число .

Замість того,щоб писати це число кожного разу,

ми можемо написати його рівним цьому числу,або

написати його як добуток семи на дане число(7 х 0.000001).

Але це число має не кращий вигляд за те число,проте в

будь-якому разі воно дорівнює 10 у степені -6.

7 х 10 у степені -6.

Зараз Ви маєте уявлення.

Уявіть число,якби це було число 7,

давайте подумаємо про нього у такому плані.

Якби ми мали 7 та 3 у кінці...

Який шлях вирішення цього прикладу?

Ми зввертаємося до першого числа,що йде після нулів,

тому що саме по ньому ми визначимо найбільшу степінь числа 10,

що вміщається тут.

Якщо ми хочемо уявити,дозвольте мені написати,

написати новий дріб.

Я написав 0.0000516.

Використовуємо наукову нотацію.

Я звертаю увагу на перше число,що йде після нулів,

яке ми бачимо ось тут.

Добре,яка найбільша степінь числа 10,що

поміщається у числі?

1,2,3,4,5,буде

дорівнювати 5.16. Я беру число 5,а решта

залишається за крапкою,помножене на 10,

і це буде найвища степінь числа 10,

що поміщається у цьому числі без нулів.

1,2.3,4,5,як бачимо,виходить

10 у степені -5.

Приведу ще один приклад.

Принцип вирішення полягає у тому,що Ви починаєте

зліва направо,та берете перше ненульове число,

з якого Ви визначаєте степінь.

Це пояснює,звідки я взяв 10 у степені - 5. Я рахував

1,2,3,4,5.

Ви рахуєте до того числа,як

ми робили до цього.

Решту залишаємо за крапкою.

Ще один приклад.

Якщо Ви як і моя дружина хочете вказати на те,що я повинен

ставити 0 перед крапкою,тому що вона лікар,

і якщо люди не помітять дроюу,хтось може

дати надто велику дозу ліків.

Тому давайте писати як вона.

0.0000000008192.

Це супер величезне число,чи не так?

Ви можете забути про нуль,або дописати занадто багато нулів,

що може погано вплинути на кінцевий результат,

особливо наукових досліджень,або Ви неправильно

написали кількість ліків,або...

Я не хочу вдаватися у подробиці.

Як же мені написати це у науковій нотації?

Починаю з ненульового числа,якщо я

йду зліва направо.

Тож вийде 8.192,я лише поставив крапку і написав

8.192 х 10 у степені...

8,9,10,я повинен врахувати це число.

10 у степені -10.

Я вважаю значно розумнішим та легшим записати

це число у такому вигляді,ніж отак.

Зараз приступимо до ще однієї вагомої ознаки

наукової нотації.

Скажемо,у мене є два числа і

я хочу перемножити їх.

Наприклад,я хочу помножити 0.005

на 0.0008.

Насправді це досить просто розв’язується.

Але іноді вони можуть бути дуже величезні,особливо

коли Ви маєте справу із двадцятьма або тридцятьма нулями з двох

сторін від дробової крапки.

Поставлю 0 ,щоб моя дружина зраділа.

Добре,коли Ви робите це методом наукової нотації,це

буде значно простіше.

Це рівняння може бути переписаним,як 5 х 10 у степені...

Рахую:1,2,3. Три місця після крапки,

отже 10 у степені 3.

А тут у нас 8 у степені ... Вибачте,тут помилка!

5 х 10 у степені -3.

Це дуже важливо.

5 х 10 у степені 3 дорівнювало б 5000.

Будьте дуже уважні та обережні з цим.

Чому ж дорівнює це рівняння?

Ми маємо 1,2,3,4 цифри після крапки.

Тоді буде 8 х 10 у степені -4.

Якщо ми перемножаємо числа,

то це можна також розписати як добуток

5 х 10 у степені -3 на 8 х 10 у степені -4.

Нічого особливого у науковій нотації немає.

Воно буквально означає саму назву методу.

Для множення дробових чисел можна слідувати цьому принципу,також

порядок не має значення,тому я можу

написати це я 5 х 8 х (10 у степені -3) х

(10 у степені -4).

Скільки буде 5 на 8?

Ми знаємо,що буде 40.

Отже,маємо,40 х 10 у степені -3 х

10 у степені -4.

І зараз,якщо Ви знаєте правила показників,то Ви маєте знати,

що коли помножити два числа одного типу,Ви можете

просто додати їх показники.

Тобто можна просто додати степені:-3 та -4.

Отже,рівняння буде мати вигляд:40 х10 у степені -7.

Ще один приклад.

Наприклад,ми хочемо помножити число Авогадро.

Знаємо,що воно дорівнює 6.022 на 10 у степені 23.

Давайте помножимо його на

будь-яке мале число.

Скажемо,це буде 7.23 на 10 у степені -22.

Це справді дуже мале число.

Ви будете мати десятковий дріб,за яким

слідує 21 нуль

та 7 2 та 3.

Це число спарвді дуже мале.

Але множення,якщо Ви виконуєте його

науково правильно, 6.022 х 10 у степені 23,помножене на 7.23 х

10 у степені -22.

При бажанні можемо змінити порядок.

Інакше кажучи: 6.022 х 7.23.

Це взята ця частина.

Тож Ви можете зробити це як в першій частині

наукової нотації.

Помножене на 10 у степені 23 х

10 у степені -22.

Зараз Вам потрібно перемножити

дані десяткові дроби.

Це буде 40 з чимось,я думаю.

Не можу виконати цей приклад у голові.

Ось тут у нас 10 у степені 23 ,помножене на 10

у степені -22.

Ви лише додаєте показники.

І отримуєте 10 у першій степені,помножене на 10.

А далі це число,немає різниці,чому воно дорівнює,

я пропускаю його,так як у мене немає калькулятора.

7.23 , давайте подивимося,що з цього вийде.

7.2 , 0.22 , ніби 1/5,

одним словом приблизно буде 41.

Приблизно 41,

помножене на 10 у першій степені.

Якщо вже звести рівняння до кінця,то буде

410 з чимось.

Щоб пересвідчитися у правильності вирішення прикладу,

Вам потрібно виконати множення.

Сподіваюся,Ви бачите,що наукова нотація хоч і одна,

але використовується як для великих ,так і занадто малих чисел.

Також корисно розуміти числа,

записувати їх,і,безумовно,

спрощувати їх.