기울기와 y절편을 이용한 직선의 방정식

이 동영상에서는
많은 문제를 통해서

직선의 기울기과 y절편을 구하고
직선의 방정식을 알아내는 방법을 공부해 봅시다

다시 말하지만
직선의 방정식은

y=mx+b 형태로 되어 있습니다

m은 기울기, b는 y 절편을 의미합니다

그럼 이제 문제를 풀어볼까요?

이 문제에서는 직선의 기울기가 -5라고 합니다

따라서 m=-5 입니다

그리고 y 절편은 6입니다

따라서 b= 6입니다

이 문제는 쉽습니다

종합하면 이 직선의 방정식은

y=-5x+6입니다

어렵지 않은 문제입니다

다음 문제도 풀어봅시다

이 선은 기울기가 -1이고

(4/5, 0)을 지납니다

기울기가 -1이므로

m=-1이라는 것을 알 수 있습니다

하지만 y 절편은 아직 알 수 없습니다

이 직선은
기울기가 -1인

y = -1x + b 형태이고

y절편인 b를 찾아야 합니다

이제 이 좌표를 이용하겠습니다

b를 찾기 위해
이 점이 직선 위에 있다는 사실을

이용해야 합니다

직선이 이 좌표를 지나므로

x=4/5 와 y=0을 대입하면
이 방정식을 만족시켜야 합니다

따라서 각 값들을 대입해보면

x=4/5일 때
y=0입니다

따라서 0 = -1*(4/5) + b 입니다

조금 내릴게요

그럼 우리는 0 = -4/5 + b라는 것을 알 수 있습니다

양변에 4/5를 더합니다

좌변에 4/5를 더하고

우변에도 마찬가지로 4/5를 더합니다

이걸 한 이유는 4/5를 더해야
-4/5를 없앨 수 있기 때문입니다

그럼 b=4/5가 됩니다

이제 두번째 직선의 방정식도 구했습니다

-1곱하기 x를 -x라 쓰면
y = -x + b에서 b=4/5니까

y = -x + 4/5 가 됩니다

다음 문제로 넘어가 봅시다

이 직선은 (2, 6)과 (5, 0)을 지납니다

이 직선은 기울기와 y절편 모두
명확히 주지 않았습니다

하지만 이 좌표들을 통해서
우리는 기울기와 y절편을 모두 구할 수 있습니다

따라서 가장 먼저 해야 할 일은
기울기를 알아내는 것입니다

기울기m은
(y의변화량)/(x의 변화량)입니다

여기서 y의 변화량은 무엇일까요?

이 좌표부터 시작해 보면

6에서 0을 뺍니다

색깔로 구분해 보겠습니다

6 - 0

이것이 y의 변화량입니다

x의 변화량은
2 - 5입니다

이걸 색깔로 구분한 이유는

이 y값을 먼저 쓰면,
즉 6을 여기에 쓰면

이 좌표의 x값도 먼저 써줘야 함을
보여주기 위해서 입니다

그래서 이것이 좌표 (2, 6) 이고,

이 좌표가 (5, 0)임을 알수 있습니다

2와 5의 순서를 바꾸면 안됩니다

만약 바꿨다면 틀린 답을 얻게 될 것입니다

우리가 얻은 값은 얼마일까요?

6 - 0 = 6이고

2 - 5 = -3입니다

따라서 -6/3이므로
값은 -2와 같습니다

이게 바로 이 직선의 기울기 입니다

기울기를 오렌지 색으로 표시하면

y는 기울기인 -2 곱하기 x

더하기 y절편입니다

이제 지난 문제를 푼 방법대로
구할 수 있습니다

이 좌표들 중 하나를
b를 얻기 위해 이용할 수 있습니다.

둘 중 어느 것이든 괜찮습니다

두 점이 모두 직선 위에 있기 때문에

모두 이 방정식을 만족합니다

저는 (5,0)을 이용하겠습니다
왜냐하면 0이 있으면 계산하기 편하기 때문입니다

대입하기가 수월합니다

따라서 (5, 0)을 대입해 보겠습니다

x=5일때 y=0입니다

y에 0을 대입하면

0 = (-2)*5 + b가 됩니다

0 = -10 + b

이 방정식 양변에 10을 더해주면

이 두 숫자는 사라지고

b=10을 얻게 됩니다

그래서 b는 10입니다

이제 직선의 방정식을 구했습니다

이 방정식은

y = -2x +10

끝났습니다

이런 문제를 하나 더 풀어봅시다

이 직선은 (3, 5)와 (-3, 0)을 지납니다

바로 앞의 문제처럼
기울기를 알아내는 것부터 시작합니다

기울기는 m이라고 합시다

기울기는 점이 위로 움직인 거리를
옆으로 움직인 거리로 나눈 것과 같습니다

이것은 y의 변화량을 x의 변화량으로
나눈 것입니다

혹시 숙제를 위해 이것을 듣고 있다면

모든 것을 적을 필요는 없지만

이것이 모두 같은 의미라는 것을
이해하기 바랍니다

그렇다면 이 문제의
(y의 변화량)/(x의 변화량)은 무엇일까요?

이번에는 이 점부터 시작합시다

두 점들 중 아무거나 먼저
뽑을 수 있습니다

이렇게 0-5 라고 해봅시다

좌표의 y값인

끝점을 분자에 씁니다

이것을 처음 배웠을때

x값을 분자에 써야할 것 같았습니다

하지만 아닙니다
y 값을 분자에 써야합니다

이것이 두번째 좌표입니다

-3 - 3 입니다

이것은 좌표 (-3, 0)이고

이것은 좌표 (3, 5)입니다

이 좌표들을 서로 빼줍니다

그러면 어떤 값이 나올까요?

분자의 0-5는 -5가 되고

-3-3은 -6이 됩니다

음수들은 서로 없어집니다

5/6가 나옵니다

그러면 방정식은

y = 5/6x + b 가 됩니다

이제는 저 좌표들 중 하나를 이용해
b를 구할 수 있습니다

계산을 해 봅시다

저는 0이 있는 좌표를 쓰기 좋아합니다

x=-3일때 y=0입니다

x에는 -3 를 대입하고
y에는 0 를 대입했습니다

이 점이 직선 위에 있어서 가능합니다

이 좌표는 직선의 방정식을 만족시킵니다

b의 값을 구해봅시다

그렇게 되면

6과 약분되니 3은 1이 되고

6을 3으로 나누면 2가 됩니다

따라서 방정식은
0 = -5/2 + b가 됩니다

양변에 5/2 를 더합니다

여러분이 보기 쉽게

표기법을 바꾸겠습니다

5/2= b가 됩니다

b는 5/2 입니다

우리가 구하려는 직선의 방정식은
y = 5/6x + b이고

b는 5/2이니
y = 5/6x + 5/2 입니다

끝났습니다

다른 문제를 풀어봅시다

여기 그래프가 있습니다

이 직선의 방정식을 알아내 봅시다

이 문제는 더 쉬울지도 모릅니다

기울기가 뭐죠?

(y의 변화량)/(x의 변화량)입니다

어떻게 알 수 있을까요?

x축 방향으로 1만큼 움직여 봅시다

x의 변화량이 1입니다

x의 변화량이 1입니다

x의 변화량이 1입니다

y의 변화량은 무엇일까요?

y는 정확히 4만큼 올라갑니다

x의 변화량이 1일때
y의 변화량은 4입니다

그래서 (y의 변화량)/(x의 변화량)은

4/1이고

기울기는 4입니다

y절편은 무엇일까요?

그래프를 보면 알 수 있습니다

y 축과 만나는 점은 -6입니다

정확히는 (0,-6)에서 만나게 됩니다

따라서 b는 -6 입니다

이제 직선의 방정식을 구할 수 있습니다

직선의 방정식은
y= (기울기)x + y절편 이므로

y = 4x - 6

-6 은 +(-6)입니다

이것이 이 직선의 방정식입니다

하나만 더 풀어봅시다

f(1.5)는 -3 이고

f(-1)은 2라는 것은

어떤 의미일까요?

이 표현은 어떤 함수에서
x가 1.5 일때

함수값은 -3이라는 것을
멋지게 표현한 식입니다

그래서 좌표 (1.5, -3)은
이 직선 위에 있습니다

x가 -1일 때
함수값 f(x)는 2이므로

(-1, 2) 좌표 역시
직선상에 있습니다

두 좌표를 알게되면
직선의 방정식을 구할 수 있겠죠

이 문제는 함수식에 익숙해지도록
이런식으로 표시했습니다

이런 문제를 보고 당황하지 않게 말입니다

만약에 함수식에 1.5를 대입한다면
-3이 나옵니다

좌표의 y값은 f(x)와 같습니다

따라서 y값은

x가 1.5 일때 -3와 같습니다

여러번 말했으니까 넘어가봅시다

이 선의 기울기를 알아내봅시다

기울기=(y의 변화량)/(x의 변화량)

먼저 이 점부터 시작합시다

2- (-3)이 분자가 되고

-1 -1.5 가 분모가 됩니다

제가 색깔을 써가며 그리는 이유는
-1과 2가 한 좌표에서

나왔다는 것을 보여주기 위해서 입니다

지금은 초록색을 먼저썼지만
만약에 노랑색을 먼저 썼다면

x와 y 둘 다
노랑색 좌표를 먼저 써야 합니다

분자에 2를 먼저 썼다면
분모에 -1도 먼저 써야 합니다

그것이 제가 색깔로
구분해서 쓰는 이유입니다

다시 돌아와서
2 - (-3)은

2 + 3과 같으므로

5가 됩니다

-1 - 1.5는 -2.5입니다

5를 2.5로 나누면 2가 됩니다

그래서 이 선의 기울기는 - 2가 됩니다

사실 어떤 좌표를 먼저 써도

기울기는 같습니다

지금은 이 좌표를 먼저 썼지만

다른 좌표를 먼저 사용해서
계산해 봅시다

-3 -2 /1.5 - (-1)을 계산하면

똑같은 답이 나와야 합니다

계산하면 얼마가 될까요?

-5/1.5-(-1)

결국 1.5+1 입니다

분모는 2.5가 되고

결국-2가 나옵니다

어떤 좌표를 먼저 하든

순서만 잘 맞춰서 계산하면
똑같다는 사실을

보여드리고 싶었습니다

이것이 시작하는 y이면
이것은 시작하는 x입니다

이것이 끝나는 y라면
이것 또한 끝나는 x가 되어야합니다

어쨌든 기울기가 -2라는 사실을
알게 되었습니다

이 직선의 방정식은
y = -2x + b

y절편을 구해 봅시다

두 개의 좌표 중에서

소수가 없는 좌표를 이용해 봅시다

이 좌표의 y=2입니다

x= -1 일때 y=2 입니다

당연히 +b는 아직 존재합니다

그래서 2 = 2 + b

양변에서 2를 빼면

양변에-2를 해주고

왼쪽은 0이 남고 오른쪽은

b가 남습니다

그래서 b는 0입니다

이 직선의 방정식은

y = -2x입니다

이 방정식을 함수식으로 쓴다면

f(x) = -2x 가 되겠죠

y= f(x)이기 때문에
y로 대체하는 것이 가능합니다

이것이 진짜 직선의 방정식입니다

여기서는 'y'의 언급조차 없습니다

바로 f(x)= -2x라고 쓸 수 있죠

이 좌표들 각각은 x와 f(x)의
값을 나타냅니다

결국은 기울기의 정의 자체를

(f(x)의 변화량)/(x의 변화량)이라고
볼 수 있습니다

표기 방법은 다르지만
같은 의미를 나타내고 있습니다