АР Изпит по висша математика: 2008 1 b&c

АР Изпит по висша математика: 2008 1 b&c

-

Нека продължим с първата задача от изпита

БЦ по висша математика от 2008 година

Стигнахме част 'б'

-

Това май е прекалено дебело

Така, казват ни, че хоризонтална права y е равна на минус 2 разделя

площта r – това е r – на тве части

Напишете, без да изчислявате, интегрално уравнение за площта

на частта от р, която е под хоризонталните прави

Да нарисуваме y равно на минус 2

Така, y равно на минус 2 ще изглежда ето така

y е просто константа

Това не е достатъчно дебело

Не знам дали виждате това добре

Нека направя по-добела права с по-тъмен цвят

y равно на минус 2 ще изглежда като нещо такова

И ни казват, че тази права разделя площта r

на две части – тази и тази

И това, което търсим, е интегрално уравнение за площта на

частта от р, която е под хоризонталната права

Така, интересува ни площта на тази част от r

И помнете, че тук искат само да запишем израза,

без да го пресмятале

Така, че това би трябвало да ни спести време

Така, как ще открием тази площ ?

Лесната част е да открием израза, чиято

определена интеграла ще вземем

После ще ни е малко по-сложно да

намерим ограничителните точки.

Така, кой е изразът от тази определена интеграла,

който ще използваме ?

Ами, точно както направихме с част 'а,' ще

вземем сумата от няколко правоъгълника

И височината им ще бъде равна на

Разликата между двете функции

-

И това е y равно на минус 2, тогава тази

функция ни е y равно на y на трета

минус 4x

Това е тази крива тук

Значи, височината на всеки от тези малки правоъгълници

ще бъде минус 2 минус x на трета минус 4x

Това е височината на всеки от тези правоъгълници

че широчината им е дь.

че широчината им е dx.

-

Значи, ще умножим това по dx

И сега ще вземем всички суми от x е равно на каквато ни е тази точка

до каквато ни е тази точка.

Значи, трябва да открием този точка, стойността на ф, която ще

имаме тук, и после тази стойност на x

която ще е тук.

които тези две функции се пресичат

които тези две функции се пресичат

Как да намерим тези точки ?

Ами можем да ги изравним

Значи, можем да квжем, за какви стойности на x

x на трета минус 4x е равно на минус 2 ?

За какви стойности на x, стойностите на y ще са същите ?

Ако искаме да запишем това като истински многочлен

Ако искаме да запишем това като истински многочлен,

ще имаме x на трета минус 4x плюс 2 е равно на 0

Всъщност, аз преди малко опитах да снимам клип, в който

да реша това набързо, но го гледах и гледах, докато

си казах, този многочлен е много труден за умножение

Опитах да налучкам или намеря числата – дори

използвах метода на Нютон – и все ми се получаваха странни числа

Започнах да се съмнявам в себе си

И тогава погледнах теста

Мога да ви го покажа

-

За някои задачи (или части от задачи) е нужен

калкулатор за чертаене на графики

И разбрах, че от нас вероятно се иска да използваме

такъв калкулатор, за да открием

корените на този многочлен

Нека направим това

Минало е доста време, откакто съм държал теста AP то висша математика

и чак сега си спомних колко са важни тези калкулатори

Току-що си свалих този емулатор ТI-85

Нека го използваме, за да намерим корените на този многочлен

Пускаме го

-

Ако търсим корени, трябва да използваме

функцията 'поли'

От каква степен е този многочлен ?

Какъв е многочленът от трета степен ?

f на x на трета

Значи, степента е трета, натискаме

А какви са коефициентите ?

Ами, коефициентът на x на трета е 1

Слизаме надолу

Какъв е коефициентът на ь на квадрат ?

Ами, тук нямаме член ь на квадрат, нали ?

Така, че този коефициент е 0

Слизаме надолу

Какъв е коефициентът на члена x

Минус 4

-

Пак слизаме надолу

Какъв е коефицентът на константния член ?

Това ще ни е 2

Сега можем да натиснем 'пресметни'

-

И получаваме три шантави числа. Това ни показва, че много

трудно бихме решили това по аналистичен път ако

имаме обикновен мозък.

Така, да видим

Има три места, в които y равно на минус 2 се пресича

с x равно на x на трета минус 4x

Пресичт се при минус 2,21

Това дори е извън графиката ни

Някаде далеч вляво

Тази крива вероятно се връща долу и

пресича тук, при минус 2

Но пресича и при 1,675, което трябва да е ето тук

Така, това изглежда като 1,675

Пресича и при 0,539, което е ето тук

Значи, можем да използваме тези стойности, които ни даде калкулатора

за чертаене на графики и да ги сложим в определената си интеграла

За тази точка тук, калкулаторът ни каза,

че x е равно на 0,539

Значи, тук слагаме 0,539

И сега тази точка – това са ни границите на интеграция

за нашата определена интеграла, нали така ?

Ще съберем тези малки правоъгълници от x равно

на 0,539 до x равно на 1,675

И ни казаха, че не е нужно да изчисляваме това

така че сме готови с част 'b'

Можем просто да напишем това и да се

надяваме, че ще получим максималния брой точки

А може би биха искали да опростим малко

(макар да се съмнявам, че биха ви отнели точки заради това)

Както и да е, да решим и част 'c'

Ако имаме време

Част 'c'

Казват ни, че площта r е основата на твърдо тяло

За това тяло, всяко напречно сечение, перпендикулярно

на оста x, е квадрат

Намерете обема на твърдото тяло.

Да видим, това е интересно

Да видим, дали мога да го нарисувам

Ще начертая тази крива в перспектива

за да видите твърдото тяло, за което говорят

Това е същата площ r

Значи, отгоре имахме синусна функция

Изглежда като нещо такова

И оттолу имахме многочленна функция, която

би трябвало да изглежда ето така

Опитвам се да я начертая под ъгъл

Искам да ви покажа оста x

-

Това ще ни бъде оста x

-

Нека начертая и оста y

Изглежда като нещо такова

Опитвам се да приложа малко перспектива, за да можем

да визуализираме това, за което ни говорят

-

Значи, това е оста y

Това ни е x y.

И ни казват, че това е площта r, точно

както в предните две части на задачата

Казват, че площта р е основата на твърдо тяло

Значи, това е базата на твърдо тяло

И сега, всяко напречно сечение,

перпендикулярно на оста x...

перпендицулар то тхе x-аьис.

Да видим дали мога да начертая такова сечение

Ето, това е сечение

Все едно взимаме нож и режем така,

успуредно на оста y

-

Да кажем, че взимаме това напречно сечение

Казват ни, че то е квадрат

Това означава, че основата трябва да има същата височина

като височината

Значи, ако вземем напречното сечение тук

ще бъде нещо такова

А тук би било по-малък квадрат, ето така

А ако вземем напречното сечение тук

също бихме имали малък квадрат

-

А това, което искат от нас, е да намерим

обема на твърдото тяло

Сега можете да си представите как изглежда

Имаме малки квадрати, които стават много големи

и после пак стават малки

Как да процедираме ?

Ще направим същото нещо

Сте вземем площта на всеки от тези квадрати (знаем, че са

квадрати ), ще умножим по всяко дь (малките диференциали)

и ще ги съберем от 0 до 2

На първата диаграма, мисля, че имахме 2

О, времето ми изтича

Ще продължим с тази задача в следващия клип

До скоро.

-